從直觀想象的視角研究不等式恒成立問題

湖南省懷化市鐵路第一中學(xué)(418000) 高 用

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》明確指出:“直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間性質(zhì)特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 主要包括: 借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路”.[1]

一、不等式恒成立問題與幾何直觀

不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問題,簡稱不等式恒成立問題,是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題中常見的一種題型,是高考的熱點,它的一般形式可以表述為: 已知不等式f(x,a) ≥0(或者f(x,a)＞0)在指定區(qū)間上恒成立,求參數(shù)a的取值范圍.該問題的求解是找出所有能使不等式在指定區(qū)間上恒成立的a的值構(gòu)成的集合I,即對?a ∈I,都能使得f(x,a) ≥0在指定區(qū)間上恒成立(純粹性),且對?a ∈CRI,都不能使得不等式f(x,a)≥0 在指定區(qū)間上恒成立(完備性).

圖2

從幾何直觀的角度理解不等式恒成立問題:f(x,a)≥0,即函數(shù)f(x,a)的圖象在x軸以上,由于函數(shù)f(x,a)中帶參數(shù)a, 則參數(shù)a起到調(diào)整函數(shù)f(x,a)圖象形狀或位置的作用. 因為a要滿足純粹性,所以a的值要使得函數(shù)f(x,a)圖象在x軸以上,又a滿足完備性,所以a要一直取到使得函數(shù)f(x,a)圖象與x軸第一次相切且該點的橫坐標(biāo)為函數(shù)的極小值點時的值,如圖1-2.

圖1

因此,當(dāng)函數(shù)f(x,a)圖象第一次與x軸相切且該點的橫坐標(biāo)為函數(shù)的極小值點時,就可以得到a的取值的上確界或者下確界,再結(jié)合參數(shù)a對函數(shù)圖象的影響即可確定a的范圍.

二、借助幾何直觀求解不等式恒成立問題

三、必要條件求解策略

四、結(jié)語

數(shù)學(xué)是研究客觀世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科, 即“形”與“數(shù)”,華羅庚先生也說過,“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”,可以看出“數(shù)”與“形”有著密切的聯(lián)系. 利用幾何直觀研究不等式恒成立問題時,借助圖形可以更好地理解不等式恒成立問題,特別是參數(shù)在其中所產(chǎn)生的作用,進而借助形象思維獲得出奇制勝的解法.