通過(guò)分離直線確定參數(shù)的取值范圍

四川省綿陽(yáng)市開元中學(xué)(621000) 敬加義 余勝藍(lán)

英國(guó)紐卡斯?fàn)柎髮W(xué)自動(dòng)化學(xué)院(NE17RU) 敬鎧臨

在高考和各地的模考試題中,確定方程或不等式中參數(shù)的取值范圍常常是該套試卷的壓軸題,其解法基本是分類討論法或分離常數(shù)法,這些解法對(duì)考生的綜合數(shù)學(xué)能力要求很高,許多考生難得高分. 本文通過(guò)分離直線,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像研究,通過(guò)數(shù)形結(jié)合,利用直線的斜率k和y軸上截距的幾何意義,化歸為特定的直線與曲線位置關(guān)系,達(dá)到確定參數(shù)取值范圍之目的,從而也達(dá)到降低難度的效果. 通過(guò)教學(xué)實(shí)踐,效果不錯(cuò).

一、化歸為y =kx 型

例1 (2022 年金太陽(yáng)高三聯(lián)考理科卷) 已知函數(shù)f(x)=x+aln(x+b)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),且a ＜0.

圖1

例2 (2019 年高考全國(guó)Ⅰ卷文科) 已知函數(shù)f(x) =2 sⅰnx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

當(dāng)x ∈[0,x0)時(shí),h(x) ≥0;當(dāng)x ∈(x0,π]時(shí),h(x) ≤0.所以g(x) 在[0,x0) 單 調(diào)遞增, 在(x0,π] 上單調(diào)遞 減,g(x)max=g(x0) = 2 sⅰnx0-x0cosx0,g(0) = 0,g(π) =π.作出g(x) 圖像如圖2. 其中P(π,π), 線段OP的方程y=x(x ∈[0,π]),l在陰影區(qū)域內(nèi),kl≤kOP,即a+1 ≤1,所以a≤0. 故a的取值范圍是(-∞,0].

圖2

二、化歸為y =k(x+x0)型

圖3

圖4

例4 (2017 年高考全國(guó)Ⅰ卷理科) 已知函數(shù)f(x) =ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

三、化歸為y =kx+b 型

例5 (2021 年高考海南卷)已知函數(shù)f(x) =aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a= e 時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解 (1)略;(2)

圖5

例6 (2021 年浙江模擬卷)已知函數(shù)f(x)=e2x-(a+2)x,a ∈R.

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

圖6

四、化歸為y =k(x+x0)+y0 型

圖7

(1)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值;

(2)若f(1)=0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn),證明:e-2＜a ＜1.

解 (1) 略; (2) 證明: 因f(0) =f(1) = 0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1) 內(nèi)有零點(diǎn), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,所以g(x) =f′(x)在(0,1) 上應(yīng)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

圖8

由f(1)=0?e-a-b-1 = 0?b= e-a-1, 因此,g(x) =f′(x) = ex-2ax-b= ex-2ax-e+a+1,所以f′(x)=0,即ex-2ax-e+a+1=0,也即方程