關于2022 年廣東一模數(shù)學第20 題的探究

廣東省東莞市常平中學(523570) 馮錦強

1 題目呈現(xiàn)及解答

題目 小王每天17: 00-18: 00 都會參加一項自己喜歡的體育運動,運動項目有籃球、羽毛球、游泳三種. 已知小王當天參加運動項目只與前一天參加的運動項目有關,在前一天參加某類運動項目的情況下,當天參加各類運動項目的概率如下表:

當天前一天籃球羽毛球游泳籃球0.5 0.2 0.3羽毛球0.3 0.1 0.6游泳0.3 0.6 0.1

(1)已知小王第一天打羽毛球,則他第三天做哪項運動的可能性最大?

(2)已知小王參加三種體育運動一小時的能量消耗如下表所示:

運動項目籃球羽毛球游泳能量消耗/卡500 400 600

X 1200 1300 1400 1500 1600 P 0.01 0.09 0.57 0.27 0.06

E(X) = 1200×0.01+1300×0.09+1400×0.57+1500×0.27+1600×0.06 = 1428(卡). 所以小王第一天打羽毛球開始,前三天參加體育運動能量消耗總數(shù)期望為1428卡.

第(1)問解法2 設1 為籃球,2 為羽毛球,3 為游泳,Xn為第n天運動狀態(tài),n ∈N*,P(Xn= 1)表示第n天選擇運動為籃球的概率. 記pij=P(Xn+1=j|Xn=i)表示已知在第n天運動狀態(tài)為i,第n+1 天的運動狀態(tài)為j的轉(zhuǎn)移概率. 易知{Xn,n ∈N*}為馬爾可夫鏈,由題意可得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣:

由題意可知當k=2 時,P(X1=2)=1,故P(i,j,2)=pji·pkj ·P(X1= 2) =pji·pkj. 設Y為前三天運動能量消耗總數(shù)

總卡路里Y (i,j,k)P(i,j,k)1400(1,1,2)p21·p11 =0.15 1300(1,2,2)p21·p22 =0.03 1500(1,3,2)p23·p31 =0.18 1300(2,1,2)p12·p21 =0.06 1200(2,2,2)p22·p22 =0.01 1400(2,3,2)p32·p23 =0.36 1500(3,1,2)p13·p21 =0.09 1400(3,2,2)p23·p22 =0.06 1600(3,3,2)p33·p23 =0.06

Y 1200 1300 1400 1500 1600 P(i,j,k)0.01 0.09 0.57 0.27 0.06

整理得Y的分布列如下:則E(Y)=1200×0.01+1300×0.09+1400×0.57+1500×0.27+1600×0.06=1428(卡).

注 上述第(1)(2)問解法2 用到馬爾可夫相關知識,下面背景探究有相關知識點介紹,或者請讀者查閱文獻[1].

第(1)問解法3 設1 為籃球,2 為羽毛球,3 為游泳,Xn為第n天運動狀態(tài),n ∈N*,P(Xn= 1)表示第n天選擇運動為籃球的概率. 記P(Xn+k=j|Xn=i) 表示為已知在第n天運動狀態(tài)為i,第n+k天的運動狀態(tài)為j的概率,由題意可知,P(X3=j|X2=k,X1=i) =P(X3=j|X2=k),i,j,k ∈N*且{X2= 1},{X2= 2},{X2= 3}為一個完備事件組,故由全概率公式可得,所求

2 背景探究

此題目的出題背景為隨機過程里的馬爾可夫鏈: 設有隨機過程{Xn,n ∈T}, T ={0,1,2,3,···}, 若對于任意的非負整數(shù)n ∈T 和狀態(tài)i0,i1,··· ,in+1,···,條件概率滿足:P(Xn+1=in+1|X0=i0,X1=i1,··· ,Xn=in) =P(Xn+1=in+1|Xn=in), 則稱{Xn,n ∈T}為馬爾可夫鏈. 其中S ={i0,i1,··· ,in+1,···}為狀態(tài)集,X0=i0表示為初始狀態(tài)X0取值i0;P(Xn+1=in+1|X0=i0,X1=i1,··· ,Xn=in) =P(Xn+1=in+1|Xn=in)表示在時刻n取in值的條件下,下一時刻n+1 取值為in+1的概率,也稱一步轉(zhuǎn)移概率,即將來的狀態(tài)只與當前狀態(tài)有關,與過去狀態(tài)無關. 不妨記pij=P(Xn+1=j|Xn=i),有:

(1)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣

注 這兩個性質(zhì)的證明可參考[1]的第220-221 頁.

3 本質(zhì)探究

那么, 全概率公式是否出現(xiàn)過高考試題中? 回顧2019 年全國1 卷理科數(shù)學第21 題, 該題背景是一維隨機游走模型, 也屬于馬爾可夫鏈模型. 在該題目中出現(xiàn)pi=api-1+bpi+cpi+1,(i=1,2,··· ,7),該公式是直接給出,這是因為舊教材并沒有涉及全概率公式,但現(xiàn)在新教材增加了全概率公式章節(jié),學生通過學習該知識后,完全有能力建立該遞推公式,從而求解. 故未來題目有可能先讓學生通過閱讀理解題意建立模型,然后來解題,所以未來備考中需要重視全概率公式及貝葉斯公式.

4 統(tǒng)計與概率備考建議

4.1 以貼近生活例子為載體,進行概念教學

由于統(tǒng)計概率中的一些基本概念相對抽象,如“隨機變量”的定義,通過列舉投骰子、拋硬幣等生活實例,讓學生明白隨機變量本質(zhì)上是隨機事件的數(shù)量表現(xiàn),即在樣本空間上的實值函數(shù). 同時引導學生備考時回歸教材,對統(tǒng)計概率相關概念歸類整理.

4.2 加強閱讀能力和信息處理能力的培養(yǎng)

隨著新高考的改革,高考卷面中的文字量越來越大,這要求考生在限時內(nèi)對文字的提取、分析、準確理解能力有更高的要求,故此,在平時備考中引導學生閱讀,掌握提取關鍵詞能力,提升信息處理和概括的能力.

4.3 加強數(shù)學建模思想的滲透

高中數(shù)學課程標準(2017 版)中明確將數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析作為學生的核心素養(yǎng),因此教師應在統(tǒng)計和概率教學中滲透數(shù)學模型思想,可以以學生的日常生活、社會實際生產(chǎn)作為背景,引入與之相關的實際案例,嘗試開展數(shù)學建?；顒?讓學生在進行探究性學習的過程中科學地、合理地、有效地建立數(shù)學模型,以便更好地落實“四基”和培養(yǎng)“四能”.

4.4 作為中學數(shù)學教師,要促使教師專業(yè)發(fā)展,在“高觀點”下進行教學[2]

近幾年來,命題者通過采用高等數(shù)學中的一些素材來命制高考試題,這種命題現(xiàn)象應該引起老師們的關注. 中學教師要加強對概率論與數(shù)理統(tǒng)計的深度學習,重視其基本原理的研究,提高自身的專業(yè)知識素養(yǎng);教師能站在高觀點的角度看待問題,找到問題的本質(zhì)內(nèi)涵,以便更好地指導中學的數(shù)學教學.