拓展延伸再反思 優(yōu)化認(rèn)知促發(fā)展
——對2021 年新高考Ⅰ卷解析幾何題的幾點思考

四川省南充高級中學(xué)(363100) 李 波

一. 試題評析

2021 年新高考Ⅰ卷與往年相比,整體變化不大,難度適中,著重體現(xiàn)對學(xué)生核心素養(yǎng)與四基、四能的考查,突出基本概念和核心問題,圓錐曲線延續(xù)了八省聯(lián)考的出題方式,考查雙曲線,以圓冪定理為背景;知識上,考查雙曲線的定義、軌跡方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系、兩點間的距離公式、直線的斜率、直線參數(shù)方程的幾何意義、四點共圓;思想方法上,考查從特殊到一般,設(shè)而不求的方法,轉(zhuǎn)化與化歸的思想;核心素養(yǎng)方面,考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算. 試題設(shè)計科學(xué)把握區(qū)分度,第21 題(1)、(2)具有較好的層次性,體現(xiàn)思維的靈活性、深刻性、綜合性與探究性,樸實無華、但棉里藏針,具有較好的探究價值和選拔功能.

二. 解法賞析

評析 根據(jù)題干條件結(jié)構(gòu)特征,利用直線參數(shù)方程的幾何意義,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解,涉及參數(shù)的范圍,在建立時又要用到代數(shù)變換、三角函數(shù)及三角恒等變換等知識,學(xué)習(xí)中要注意這種結(jié)構(gòu)和聯(lián)系.

綜上所述, 當(dāng)A,B,P,Q四點共圓時, 直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

評析 設(shè)L1(x,y) = 0,L2(x,y) = 0,F(x,y) = 0

是兩條不重合的直線和一條曲線的方程, 兩條直線分別與曲線交于兩點, 則過四個交點的曲線方程為L1(x,y)·L1(x,y)+λF(x,y)=0,其中λ為常數(shù).

三. 解后反思

1. 拓展延伸

解題是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的重要手段,如果只解題不反思,達(dá)不到思維的深刻性、探究性. 通過對問題多角度、多層次思考,加深對問題的理解,揭示問題的本質(zhì),進(jìn)而發(fā)現(xiàn)新的問題,總結(jié)一般規(guī)律,增強知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,既開拓視野,也提升解決問題的應(yīng)變能力. 為此,筆者以本題為背景,通過對題目的改編、條件與結(jié)論的互換得出了一系列優(yōu)美結(jié)論,與各位讀者一起分享.

(1)ΔTAB外接圓的圓心在一條直線上;

(2)ΔTAB內(nèi)切圓的圓心在一條直線上;

(3)直線AB的斜率為定值.

證明 (1)證明過程見拓展1. (2)由kT A+kT B= 0 知,直線TA,TB的傾斜角互補,所以直線x=m平分∠ATB,又內(nèi)切圓是角平分線的交點,所以當(dāng)點A在曲線C上運動時,ΔTAB內(nèi)切圓的圓心在一條直線上.

2. 反思“聯(lián)系與規(guī)律”

總結(jié)解題時所用的知識、思想方法與已有知識經(jīng)驗之間的相互聯(lián)系,有利于增強分析和綜合運用能力;從特殊到一般的研究方法,轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想,有利于增強對知識的遷移水平,跳出題海,提高數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng). 在拓展的過程中發(fā)現(xiàn),拓展3 的結(jié)論與部分高考真題、競賽試題有如下銜接關(guān)系:

結(jié)論 考題 題號拓展3(1) 2011 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試 11拓展3(2) 2021 年高考全國卷理科(四川) 20拓展3(3) 2009 年高考遼寧卷理科 20

3. 反思多題一解,注重通性通法

有些習(xí)題可以從不同視角研究,找出最簡潔的解法,既可訓(xùn)練自己的發(fā)散思維,又可以提高對數(shù)學(xué)的審美能力,增強知識間的有機聯(lián)系. 在變式的過程中,去感受探求新知的愉悅,學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與學(xué)科素養(yǎng)也能得到發(fā)展.

筆者在解答2021 年新高考Ⅰ卷的解析幾何大題時,做了如下嘗試: 設(shè)出直線AB、PQ的斜截式方程, 第一步, 聯(lián)立直線與曲線方程,找到根與系數(shù)的關(guān)系;第二步,兩條直線共點T,找到斜率與截距的關(guān)系式;第三步,通過A,B,P,Q四點共圓,建立圓心距與弦長之間的等式關(guān)系;第四步,化簡整理. 操作過程中發(fā)現(xiàn),計算量特別大,不建議采納! 筆者也使用相同的思想方法來解答2021 年高考全國卷理科(四川)第20 題,即設(shè)直線A1A2,直線A2A3的方程為y=kx+b,通過圓心距等于圓的半徑建立關(guān)系式,同樣沒有成功!

但筆者嘗試用本文解法1、拓展3 第(3)問的思想方法來解答該題時,又可以算出. 筆者在反思中發(fā)現(xiàn)兩道試題都有共同特征: 一個主動點、若干個被動點,當(dāng)主動點在移動時、被動點也隨之移動,但幾何性質(zhì)不變,解題時需要以主動點為基礎(chǔ)將幾何問題代數(shù)化,以彰顯通性通法.