數(shù)學(xué)理解水平的劃分

李春雷于鳳來(lái)

數(shù)學(xué)理解水平的劃分

李春雷1，2，于鳳來(lái)3

（1．北京師范大學(xué) 教育學(xué)部，北京 100875；2．北京師范大學(xué)良鄉(xiāng)附屬中學(xué)，北京 102488；3．山東省莒縣閻莊街道中心初級(jí)中學(xué)，山東 日照 276535）

基于經(jīng)典的數(shù)學(xué)理解內(nèi)涵的闡釋以及已有各家理解水平的劃分，將學(xué)生數(shù)學(xué)理解劃分為工具性理解、關(guān)系性理解、創(chuàng)造性理解、文化性理解4個(gè)水平，并以均值不等式為典型案例，詳細(xì)解讀學(xué)生各數(shù)學(xué)理解水平的內(nèi)涵和表現(xiàn)形態(tài)．工具性理解水平的價(jià)值不能忽視．學(xué)生個(gè)體數(shù)學(xué)理解水平是發(fā)展變化的，學(xué)生間的數(shù)學(xué)理解水平是有差異的．在力所能及的范圍內(nèi)，鼓勵(lì)學(xué)生追根問(wèn)底式地深層次學(xué)習(xí)，達(dá)到“關(guān)系理解”的水平；鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行自我建構(gòu)，達(dá)到“創(chuàng)造性”理解水平；鼓勵(lì)學(xué)生在歷史文化、審美情趣、人文關(guān)懷中進(jìn)行熏陶，達(dá)到“文化性理解”的水平．

數(shù)學(xué)理解；工具性理解；關(guān)系性理解；創(chuàng)造性理解；文化性理解

信息時(shí)代知識(shí)記憶、數(shù)據(jù)計(jì)算的大部分功能可以由計(jì)算機(jī)代替，人的核心競(jìng)爭(zhēng)力主要體現(xiàn)在對(duì)核心問(wèn)題的理解力、創(chuàng)新力方面．理解是教育的永恒追求，數(shù)學(xué)理解是國(guó)際數(shù)學(xué)教育的重要研究主題．有效的數(shù)學(xué)教學(xué)需要認(rèn)真致力于發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解[1]．基于經(jīng)典的數(shù)學(xué)理解內(nèi)涵的闡釋以及已有各家理解水平的劃分，將學(xué)生數(shù)學(xué)理解劃分為工具性理解、關(guān)系性理解、創(chuàng)造性理解、文化性理解4個(gè)水平，以核心數(shù)學(xué)知識(shí)均值不等式為典型案例，解讀各數(shù)學(xué)理解水平的內(nèi)涵．

1 數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵

1971年，英國(guó)數(shù)學(xué)教育家、心理學(xué)家斯根普指出，理解某事意味著將它同化成適當(dāng)?shù)膱D式，這說(shuō)明理解具有主觀性[2]．新知識(shí)進(jìn)入現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或者促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變，學(xué)習(xí)者才能理解知識(shí)．希爾伯特和卡彭特將數(shù)學(xué)理解看作是表征數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)事實(shí)的內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果，如果數(shù)學(xué)的內(nèi)部表征成為個(gè)人內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，則數(shù)學(xué)被個(gè)人理解了；而如果數(shù)學(xué)知識(shí)和已有的網(wǎng)絡(luò)由更強(qiáng)或者更多的關(guān)系聯(lián)結(jié)著，則說(shuō)明這個(gè)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)事實(shí)或思想被人徹底地理解了[3]．1978年，格里諾認(rèn)為，數(shù)學(xué)理解是一個(gè)過(guò)程，代表某種概念的關(guān)系結(jié)構(gòu)能夠被理解[4]．1991年，皮瑞和基倫將數(shù)學(xué)理解當(dāng)作一種整體的、動(dòng)態(tài)的、層次的、非線性的、超驗(yàn)回歸的、內(nèi)在化的心理過(guò)程[5]．分析以上研究者對(duì)理解內(nèi)涵的剖析可知，盡管有人認(rèn)為理解是一種過(guò)程，有人認(rèn)為理解是一種結(jié)果，但有著共同之處或相似之處，“圖示”“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”“知識(shí)網(wǎng)絡(luò)”“關(guān)系”“聯(lián)結(jié)”“整體”成為了理解涵義的關(guān)鍵詞，都在于“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”狀態(tài)的描述．

西蒙將教師當(dāng)作數(shù)學(xué)理解的主體，認(rèn)為數(shù)學(xué)理解是指教師根據(jù)學(xué)生的行為經(jīng)驗(yàn)建立一個(gè)連貫和具有潛在價(jià)值的組織，能將學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)能力[6]．梅耶基于學(xué)生的視角，認(rèn)為理解是學(xué)生創(chuàng)造性地利用呈現(xiàn)的信息去解決問(wèn)題的能力[7]．?dāng)?shù)學(xué)理解的主體是教師還是學(xué)生，是教師對(duì)數(shù)學(xué)本體知識(shí)的理解，還是教師對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的把握，或是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解？這個(gè)問(wèn)題必須要搞清楚．?dāng)?shù)學(xué)理解水平的劃分關(guān)注的是學(xué)生數(shù)學(xué)理解水平的把握和判斷．

學(xué)生數(shù)學(xué)理解是指學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，知道數(shù)學(xué)概念、定理、公式、符號(hào)、思想方法、應(yīng)用、創(chuàng)造的真實(shí)樣態(tài)，知道所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)對(duì)象是什么、為什么、還能探究什么的一系列知識(shí)與技能．學(xué)生數(shù)學(xué)理解對(duì)象的核心是概念和關(guān)系．學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解是指知道數(shù)學(xué)概念的定義、內(nèi)涵（如概念的特征和性質(zhì)）、外延（如分類與分類標(biāo)準(zhǔn)）、來(lái)源的真實(shí)樣態(tài)．學(xué)生對(duì)關(guān)系的理解是指知道數(shù)學(xué)定理、法則、公式及其推導(dǎo)過(guò)程，知道數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系、隨機(jī)關(guān)系等數(shù)學(xué)研究對(duì)象之間相互關(guān)系的真實(shí)樣態(tài)．

2 數(shù)學(xué)理解的層次劃分

1976年，斯根普將理解分為工具性理解（instrumental understangding）和關(guān)系性理解（relational understanding）兩種模式[8]：前者是知道事物是什么，但不知為什么；后者是既知道事物是什么，也知道事物為何這樣，它揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程和邏輯規(guī)律，蘊(yùn)含著一定的數(shù)學(xué)思想．1982年斯根普將數(shù)學(xué)理解又細(xì)分為工具性、關(guān)系性、邏輯性和符號(hào)性理解4種模式．

1978年，巴克斯頓將理解劃分為死記硬背（rote）、觀察（observational）、深刻理解（insightful）和邏輯理解（formal or logic understanding）4個(gè)水平[9]．

1982年，比格斯和科利斯描述的SOLO理論[10]，將學(xué)習(xí)者對(duì)某一個(gè)具體問(wèn)題的反應(yīng)水平分為前結(jié)構(gòu)水平（prestructural）、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平（unistructural）、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平（multistructural）、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平（relational）、拓展抽象水平（extended abstract）5個(gè)不同的層次[11]（見圖1）．其中單點(diǎn)結(jié)構(gòu)、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)依次表示學(xué)習(xí)者只知道一個(gè)相關(guān)方面、知道幾個(gè)相關(guān)方面、知道將幾個(gè)相關(guān)方面形成一個(gè)整體的結(jié)構(gòu)；最高理解水平為拓展抽象，代表學(xué)習(xí)者能夠調(diào)用頭腦或題目中的多個(gè)認(rèn)知素材，得到的結(jié)論或觀點(diǎn)具有高度概括性、抽象性、衍生性、新穎性．

圖1 SOLO分類理論的5種水平

1987年，格里諾和賴?yán)麑?shù)學(xué)原理劃分為3個(gè)逐漸復(fù)雜的理解水平：可以依據(jù)原則解決問(wèn)題但缺乏對(duì)原則認(rèn)識(shí)的“遵從水平”，可以完成性能評(píng)估判斷性任務(wù)和應(yīng)用問(wèn)題但只可意會(huì)不可言傳的“隱性理解水平”，能夠口頭陳述知識(shí)原則和程序結(jié)果的“顯性理解水平”[12]．

1988年，皮瑞—基倫建立的“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型[13]（圖2），將數(shù)學(xué)理解分為8個(gè)水平，分別為初步了解（primitive knowing）、產(chǎn)生表象（image making）、形成表象（image having）、關(guān)注性質(zhì)（property noticing）、形式化（formalizing）、觀察評(píng)述（observing）、組織結(jié)構(gòu)（structuring）和發(fā)明創(chuàng)造（inventing）．將“發(fā)明創(chuàng)造”作為理解的最高層次，用返回原處揭示數(shù)學(xué)理解的非單向性．

圖2 皮瑞—基倫理解模型

1998年，威金斯和麥克泰格指出，理解包括解釋（explanation）、釋義（interpretation）、運(yùn)用（application）、洞察（perspective）、移情（empathy）和自知（self-knowledge）6個(gè)維度[14]．這種分類綜合了個(gè)體所展現(xiàn)的認(rèn)知理解、學(xué)習(xí)的遷移以及情感共鳴．

2006年，索耶強(qiáng)調(diào)了概念理解的重要性，指出在今天的知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代，僅記憶事實(shí)性知識(shí)和程序性知識(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，重要的是能對(duì)復(fù)雜概念形成深刻的概念性理解，并能基于這些理解生成新的觀點(diǎn)、新的理論、新的產(chǎn)品和新的知識(shí)[15]．

2012年，扎爾曼·尤西斯金在第12屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME12）上，發(fā)表了題為“什么是對(duì)數(shù)學(xué)的理解？”的研究報(bào)告，將數(shù)學(xué)理解劃分為算法技能、性質(zhì)證明、應(yīng)用情境、隱喻表征、歷史文化共5個(gè)維度[16]．

2009年，鞏子坤構(gòu)建了包括直觀理解、程序理解、抽象理解、形式理解的數(shù)學(xué)理解模型，認(rèn)為形式理解是基于邏輯推理，來(lái)證實(shí)運(yùn)算結(jié)果的合理性[17]．2012年，徐彥輝認(rèn)為數(shù)學(xué)理解包括記憶性、解釋性、探究性3種方式[18]．2013年，匡金龍等將數(shù)學(xué)理解劃分為經(jīng)驗(yàn)性、形式化、結(jié)構(gòu)化、文化性共4個(gè)理解層級(jí)[19]．2014年，王瑞霖等確立的數(shù)學(xué)理解層次結(jié)構(gòu)的理論模型，包括表象理解、解釋理解、建立聯(lián)系、思想運(yùn)用和創(chuàng)造生成5個(gè)層次[20]．2018年，谷曉沛等將函數(shù)概念的理解水平確定為感知水平、釋義水平、關(guān)聯(lián)水平、抽象水平[21]．

從以上學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)理解的分析來(lái)看，數(shù)學(xué)理解水平是有層次之分或階段之分的，但分類標(biāo)準(zhǔn)的不同，語(yǔ)義內(nèi)涵的不同，導(dǎo)致分類結(jié)果的不同，也導(dǎo)致對(duì)學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)理解水平評(píng)價(jià)時(shí)，仁者見仁，智者見智．應(yīng)借鑒整合已有研究成果，尋找數(shù)學(xué)理解層級(jí)的字面語(yǔ)義與內(nèi)涵能夠較好統(tǒng)一、主體層級(jí)少而精、層級(jí)鑒別方法比較清晰的分類方法．

斯根普早期將數(shù)學(xué)理解分為“工具性理解”和“關(guān)系性理解”兩種模式；皮瑞—基倫建立的“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型中的最高層級(jí)為“發(fā)明創(chuàng)造”，不妨將其稱為“創(chuàng)造性理解”；匡金龍等將數(shù)學(xué)理解的最高層級(jí)認(rèn)定為“文化性理解”．將數(shù)學(xué)理解劃分為“工具性理解”“關(guān)系性理解”“創(chuàng)造性理解”“文化性理解”，能否較好統(tǒng)攝以上各家的分類方法？分析見表1．

2.1 “工具性理解”的統(tǒng)攝性

“工具”，人們能夠識(shí)別它，對(duì)外懂得它有什么用途，知道怎樣用，記住操作步驟就可以了，而不太關(guān)心它的內(nèi)部構(gòu)造．斯根普認(rèn)為“工具性理解”是知道事物是什么，但不知為什么，將“工具”一詞運(yùn)用到“數(shù)學(xué)理解”的最低層次，語(yǔ)義上也達(dá)到了生產(chǎn)“工具”與數(shù)學(xué)問(wèn)題解決“工具”內(nèi)在意蘊(yùn)的吻合．學(xué)者們所劃分的“死記硬背”“觀察”“單點(diǎn)結(jié)構(gòu)”“遵從”“隱性理解”“初步了解”“產(chǎn)生表象”“形成表象”“關(guān)注性質(zhì)”“記憶事實(shí)性知識(shí)和程序性知識(shí)”“算法技能”“符號(hào)性””“直觀理解、程序理解”“記憶性”“經(jīng)驗(yàn)性理解”“表象理解”“感知”水平，都能被較好地統(tǒng)攝到“工具性理解”水平．

2.2 “關(guān)系性理解”的統(tǒng)攝性

“關(guān)系”，代表至少兩個(gè)事物之間具有的聯(lián)系，而不是事物孤立的存在．斯根普認(rèn)為“關(guān)系性理解”既知道事物是什么，也知道事物為何這樣．斯根普后來(lái)細(xì)分的“邏輯性”水平和其他學(xué)者劃分的“深刻理解”“邏輯理解”“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”“顯性理解”“形式化”“觀察評(píng)述”“結(jié)構(gòu)化”“解釋”“釋義”“性質(zhì)證明”“組織結(jié)構(gòu)理解”“建立聯(lián)系”“思想運(yùn)用”水平，都能被較好地統(tǒng)攝到“關(guān)系性理解”水平．

2.3 “創(chuàng)造性理解”的統(tǒng)攝性

創(chuàng)造性、創(chuàng)新性反映了從無(wú)到有、從有到新的過(guò)程．學(xué)者們劃分的“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”“拓展抽象”“發(fā)明創(chuàng)造”“運(yùn)用”“洞察”“自知”“生成新的觀點(diǎn)、新的理論、新的產(chǎn)品和新的知識(shí)”“應(yīng)用情境”“隱喻表征”“抽象理解”“探究性”“創(chuàng)造生成”“關(guān)聯(lián)”水平，都能被較好地統(tǒng)攝到“創(chuàng)造性理解”水平，代表學(xué)習(xí)者發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)對(duì)象間的不易被察覺(jué)到的關(guān)系，建立了研究對(duì)象的遠(yuǎn)距離聯(lián)系，能將所獲得的數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)一步推廣到更大領(lǐng)域，面對(duì)種種不確定性和非連貫性能夠自發(fā)地創(chuàng)造．

2.4 “文化性理解”的統(tǒng)攝性

數(shù)學(xué)不僅蘊(yùn)藏著強(qiáng)大的理性精神，也彰顯著巨大的人文情懷．扎爾曼·尤西斯金劃分的最后一個(gè)維度“歷史文化”水平，威金斯和麥克泰格劃分的“移情”水平，都能被較好地統(tǒng)攝到“文化性理解”水平．移情是指一種能深入體會(huì)他人的情感和觀點(diǎn)的能力，促使學(xué)習(xí)者能夠從多個(gè)角度思考問(wèn)題，開闊胸襟．

綜上所述，“工具性理解”注重的是數(shù)學(xué)結(jié)論的事實(shí)性及其簡(jiǎn)單應(yīng)用性，“關(guān)系性理解”注重的是數(shù)學(xué)知識(shí)獲得的過(guò)程性及其結(jié)構(gòu)性，“創(chuàng)造性理解”注重的是數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性及其擴(kuò)展性，“文化性理解”注重的是數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史性和人文性．因而可將學(xué)生“數(shù)學(xué)理解”的水平從時(shí)空上劃分為“工具性理解”“關(guān)系性理解”“創(chuàng)造性理解”“文化性理解”4個(gè)水平．前3者是從空間維度闡釋數(shù)學(xué)理解的由淺到深、逐漸復(fù)雜的層次水平，最后者是從時(shí)間維度、歷史角度、精神層面、審美情趣視角闡釋數(shù)學(xué)理解的層次水平．

表1 新的數(shù)學(xué)理解水平劃分對(duì)已有觀點(diǎn)的統(tǒng)攝對(duì)照

3 案例解讀學(xué)生數(shù)學(xué)理解水平的層次劃分

3.1 工具性理解水平

工具性理解表現(xiàn)為“知其然，不知其所以然”．工具性理解水平的學(xué)生，知道符號(hào)所指代事物的意義，或是一種程序性的關(guān)于規(guī)則如何操作．工具性理解涉及的知識(shí)較少，短期內(nèi)有作用，但長(zhǎng)期內(nèi)作用有限；需要記住數(shù)學(xué)知識(shí)，加重了記憶負(fù)擔(dān)．工具性理解水平有以下表現(xiàn)形態(tài)．

理解事實(shí)性知識(shí)是什么．學(xué)生知曉數(shù)學(xué)研究對(duì)象的定義和規(guī)律，即對(duì)數(shù)學(xué)概念、理論、思想以及觀點(diǎn)等了解，但未能完全認(rèn)識(shí)，乃是一種機(jī)械記憶．如學(xué)生知道兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值、幾何平均值的概念，知道均值不等式的文字表征：“兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它們的幾何平均值．”

理解知識(shí)屬性是什么．學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，基于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能梳理、歸納、概括事物的某些特征與規(guī)律，知道一些屬性，能夠描述其意義，具有鮮明的個(gè)性化特征．如學(xué)生知道均值不等式是一個(gè)絕對(duì)不等式．

理解知識(shí)的功能是什么．學(xué)生能夠說(shuō)明其作用，簡(jiǎn)單初步使用該對(duì)象的某些性質(zhì)，解決一些封閉性數(shù)學(xué)問(wèn)題．如學(xué)生見到問(wèn)題：“對(duì)于均值不等式，它有什么用？你想一想可以研究哪些問(wèn)題？”能夠回答出均值不等式可應(yīng)用于大小的比較、求函數(shù)的最值以及值域、求解參數(shù)的取值范圍等．

理解操作程序是什么．學(xué)生將問(wèn)題解決算法化，能夠按規(guī)則運(yùn)算，依照固定的模式獲得正確答案．精確的計(jì)算和對(duì)各種題型的熟練把握似乎成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主旋律，對(duì)問(wèn)題的反應(yīng)常常停留在死記硬背操作步驟的層次，不明白為什么要采取這樣的順序．如學(xué)生知道均值不等式求最值的程序?yàn)椤耙徽ㄈ嗟取?，并且能夠熟練操作，但是不清楚順序調(diào)整將會(huì)出現(xiàn)哪些問(wèn)題．

3.2 關(guān)系性理解水平

關(guān)系性理解表現(xiàn)為“不僅知其然，還知其所以然”．關(guān)系性理解水平的學(xué)生，能夠?qū)?shù)學(xué)定理、原理、規(guī)則進(jìn)行邏輯分析或證明，將數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和論證提升為數(shù)學(xué)思想方法層面，與周圍知識(shí)進(jìn)行邏輯聯(lián)結(jié)，將知道的一系列的數(shù)學(xué)事實(shí)構(gòu)建成知識(shí)體系和模型，關(guān)系圖式是一種高質(zhì)量的關(guān)系組織形式．關(guān)系性理解減少了記憶負(fù)擔(dān)，過(guò)濾了頭腦中無(wú)效的信息，適應(yīng)新任務(wù)的能力更強(qiáng)，記憶更長(zhǎng)久．關(guān)系性理解水平有以下表現(xiàn)形態(tài)．

理解證明的過(guò)程．學(xué)生知道為何一個(gè)數(shù)學(xué)陳述是正確的或者某個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)則來(lái)自哪里，能夠邏輯證明數(shù)學(xué)結(jié)論的嚴(yán)密性、正確性．例如對(duì)于問(wèn)題：“想一想均值不等式可以用哪些方法證明？”學(xué)生能夠給出均值不等式的綜合法、比較法、反證法、分析法等證明方法，表明理解了這一不等式成立的根據(jù)．

理解數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的深化與發(fā)展．學(xué)生知道新觀念能夠與哪些已有結(jié)構(gòu)可以融合，將事物按照最簡(jiǎn)潔、最規(guī)則、最協(xié)調(diào)、最具聯(lián)系的方式進(jìn)行組織．從宏觀上來(lái)看，結(jié)構(gòu)是各要素之間協(xié)調(diào)與綜合關(guān)系的組成模式；從微觀來(lái)看，結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為知識(shí)間的聯(lián)系與層次遞進(jìn)；從發(fā)展觀來(lái)看，學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)和心理結(jié)構(gòu)是不斷深化的．如在均值不等式的學(xué)習(xí)中，學(xué)生知道在概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，增添了3個(gè)新成員，即算術(shù)平均值、幾何平均值、均值不等式；在運(yùn)算結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，算術(shù)平均值是加、除的運(yùn)算結(jié)果，幾何平均值是乘積、開方的運(yùn)算結(jié)果；在數(shù)列結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，算術(shù)平均值、幾何平均值分別是兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)、正的等比中項(xiàng)；在大小的順序結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，不等號(hào)體現(xiàn)算術(shù)平均值、幾何平均值內(nèi)在必然的大小關(guān)系；在等價(jià)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，“當(dāng)且僅當(dāng)”條件就是一種等價(jià)關(guān)系，“大于或等于”又可以等價(jià)表征為“不小于”；在數(shù)學(xué)思想結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，化歸思想、解方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于均值不等式的研究至關(guān)重要；在數(shù)學(xué)工具結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，比較兩個(gè)數(shù)或式的大小、求函數(shù)的最值或值域問(wèn)題，又增添了一個(gè)工具“均值不等式法”；在不等式結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，均值不等式是絕對(duì)不等式，而不是解不等式等．

3.3 創(chuàng)造性理解水平

創(chuàng)造性理解表現(xiàn)為“不僅知其然、知其所以然，還能知新的‘然’‘所以然’”．創(chuàng)造性理解水平的學(xué)生，能夠?qū)?shù)學(xué)觀念運(yùn)用于變式狀態(tài)下的數(shù)學(xué)情境，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象之間的遠(yuǎn)距離關(guān)聯(lián)，提出新問(wèn)題，進(jìn)行新猜想，在新的情境中舉一反三，解決一些復(fù)雜的問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)提出改革建議．創(chuàng)造性理解是超越關(guān)系理解的更高級(jí)的理解，具有創(chuàng)新的特征．創(chuàng)造性理解水平有以下表現(xiàn)形態(tài)．

理解數(shù)學(xué)拓展抽象的意義．學(xué)生能夠以已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或體驗(yàn)為基礎(chǔ)，獲取新的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或體驗(yàn)，自我認(rèn)識(shí)、自我反思、自我完善、自我超越、自我創(chuàng)造，成為思考者、發(fā)現(xiàn)者、發(fā)明者、創(chuàng)新者．學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果，除了獲得知識(shí)和技能外，還有長(zhǎng)時(shí)間積累后形成的創(chuàng)新思維模式，達(dá)到孔子所說(shuō)的“從心所欲不逾矩”的境界．如“你能類比兩個(gè)數(shù)的均值不等式，猜測(cè)出3個(gè)、4個(gè)等更多數(shù)的均值不等式嗎？”學(xué)生能夠遵循數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的內(nèi)在邏輯，擴(kuò)充均值不等式的維度，升華為個(gè)正數(shù)的均值不等式．

理解數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用．學(xué)生能夠?qū)F(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的循環(huán)中不斷生成和重構(gòu)知識(shí)．?dāng)?shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)、寓于現(xiàn)實(shí)并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，應(yīng)用化的精神是數(shù)學(xué)的生命，根植于現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)充滿著生機(jī)活力．如“我們生活中哪些最值問(wèn)題可以用均值不等來(lái)處理？”機(jī)器人興趣小組組長(zhǎng)張玉瓊（化名）以建機(jī)器人場(chǎng)地為背景提出真實(shí)的研究問(wèn)題：“要在科技活動(dòng)室用屏風(fēng)圍出一個(gè)矩形機(jī)器人活動(dòng)場(chǎng)地．（1）若矩形場(chǎng)地的面積為6.25 m2，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，所用屏風(fēng)最少？最少要購(gòu)買屏風(fēng)長(zhǎng)多少米？（2）現(xiàn)有屏風(fēng)長(zhǎng)為10 m，問(wèn)這個(gè)矩形活動(dòng)場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬各為多少米時(shí)，屏風(fēng)圍成活動(dòng)場(chǎng)地的面積最大？最大面積是多少平方米？”此問(wèn)題來(lái)源于校園真實(shí)科技生活，學(xué)生能夠很快進(jìn)入研究角色．教育家蘇霍姆林斯基說(shuō)：“智慧出在人的手指尖上，實(shí)踐操作不僅僅是身體的動(dòng)作，而且是與大腦的思維活動(dòng)緊密聯(lián)系著的．”[22]解決活動(dòng)場(chǎng)地中的數(shù)學(xué)最值問(wèn)題，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新熱情．

3.4 文化性理解水平

文化性理解水平的學(xué)生，能夠理解數(shù)學(xué)史對(duì)觀念、精神、思維方式等產(chǎn)生的影響，受到數(shù)學(xué)家優(yōu)秀品格的熏陶，進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的欣賞，在追求數(shù)學(xué)美的過(guò)程中來(lái)加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解．阿恩海姆指出，一旦達(dá)到了對(duì)某一范式最簡(jiǎn)單的理解，它就會(huì)顯得更穩(wěn)定、有更多意義、更容易掌握．具有秩序、統(tǒng)一的事物更符合知覺(jué)簡(jiǎn)化性傾向，更易于使人產(chǎn)生審美體驗(yàn)[23]．狄德羅曾指出，數(shù)學(xué)中所謂美的問(wèn)題，是指一個(gè)難于解決的問(wèn)題，所謂美的解答，是指一個(gè)對(duì)于困難復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)易解答[24]．文化性理解水平有以下表現(xiàn)形態(tài)．

理解數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的脈絡(luò)．學(xué)生知道數(shù)學(xué)概念、定理與歷史上哪些大事件、關(guān)鍵人物相關(guān)，能夠說(shuō)數(shù)學(xué)故事，提煉故事中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，挖掘故事中孕育的數(shù)學(xué)精神，注入數(shù)學(xué)文化意義．如學(xué)生知道第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)2002年在北京國(guó)際會(huì)議中心隆重舉行，會(huì)標(biāo)是以三國(guó)時(shí)期吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的，趙爽的弦圖不僅能夠證明勾股定理，還能夠探究得到均值不等式．

理解數(shù)學(xué)的人文價(jià)值．學(xué)生知道數(shù)學(xué)概念、定理蘊(yùn)藏的德育價(jià)值、人文關(guān)懷．如關(guān)于均值不等式中等號(hào)何時(shí)取，學(xué)生能用自己父母年齡做實(shí)例加以說(shuō)明．當(dāng)父母年齡恰好相同時(shí)取等號(hào)，當(dāng)父母年齡不同時(shí)取絕對(duì)不等號(hào)，這說(shuō)明學(xué)生關(guān)注父母的年齡和生日，有很好的教育意義．

4 數(shù)學(xué)理解層次劃分的反思

學(xué)生數(shù)學(xué)理解水平劃分還可做進(jìn)一步探討．為便于操作，采用了工具性理解、關(guān)系性理解、創(chuàng)造性理解、文化性理解4個(gè)水平的劃分方法．工具性理解、關(guān)系性理解、創(chuàng)造性理解水平是逐步提高的，這三者主要體現(xiàn)在學(xué)生認(rèn)知領(lǐng)域的遞進(jìn)關(guān)系．而文化性理解水平主要是體現(xiàn)在情感、態(tài)度、審美、意志、價(jià)值觀領(lǐng)域，是不可或缺的一種理解水平．事實(shí)上，可以將學(xué)生數(shù)學(xué)理解的水平劃分為兩個(gè)維度，即認(rèn)知維度的數(shù)學(xué)理解水平、情感維度的數(shù)學(xué)理解水平，在它們的交叉點(diǎn)做更加深入的研究．

學(xué)生數(shù)學(xué)理解水平是發(fā)展變化的、有差異的．?dāng)?shù)學(xué)概念的形成和關(guān)系的建立具有層次性，因而數(shù)學(xué)理解不是一蹴而就的，具有動(dòng)態(tài)性、階段性、漸進(jìn)性等特征．要接受學(xué)生數(shù)學(xué)理解的差異性，讓學(xué)生在突破自我中努力達(dá)到自己潛在的最高理解水平．在力所能及的范圍內(nèi)，鼓勵(lì)學(xué)生追根問(wèn)底式的深層次學(xué)習(xí)，摒棄浮光掠影式的表層次學(xué)習(xí)，達(dá)到“關(guān)系理解”的水平；鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)知識(shí)的自我建構(gòu)，達(dá)到“創(chuàng)造性”理解水平；鼓勵(lì)學(xué)生在數(shù)學(xué)的歷史文化中進(jìn)行熏陶，達(dá)到“文化性理解”的水平．

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The Division of the Level of Mathematical Understanding

LI Chun-lei1, 2, YU Feng-lai3

(1. Faculty of Education, Beijing Normal University, Beijing 100875, China；2. Liang Xiang High School Affiliated to Beijing Normal University, Beijing 102488, China;3. Yanzhuang Street Central Junior Middle School of Ju County, Shandong Rizhao 276535, China)

Based on the interpretation of the connotation of classical mathematical understanding and the division of existing understanding levels, students’ mathematical understanding is divided into four levels: instrumental understanding, relational understanding, creative understanding and cultural understanding. Taking the mean value inequality as a typical case, this paper interprets the connotation and manifestation of students’ various levels of mathematical understanding in detail.The value of the level of instrumental understanding cannot be ignored. The level of students' individual mathematical understanding is developing and changing, and the level of students’ mutual mathematical understanding is different. Within the scope of the ability, students are encourage to pursue in-depth learning, to achieve the level of “relational understanding”. Students are encouraged to self-construct knowledge and to achieve the “creative understanding” level; they are encouraged to be nurtured in history and culture, aesthetic taste and humanistic care, so as to reach the level of “cultural understanding”.

mathematical understanding; instrumental understanding; relational understanding; creative understanding; cultural understanding

2022–04–09

北京市教育學(xué)會(huì)“十四五”教育科研課題——基于高階能力培養(yǎng)的大單元教學(xué)課程設(shè)計(jì)研究（FSYB2021-002）

李春雷（1967—），男，河北香河人，正高級(jí)教師，博士，主要從事數(shù)學(xué)教育和學(xué)生創(chuàng)新能力發(fā)展研究．

G447

A

1004–9894（2022）04–0068–06

李春雷，于鳳來(lái)．?dāng)?shù)學(xué)理解水平的劃分[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（4）：68–73．

[責(zé)任編校：陳雋、陳漢君]