數(shù)學(xué)循環(huán)論證的思考及其價值展望

李鋒雷，孔德宏

數(shù)學(xué)循環(huán)論證的思考及其價值展望

李鋒雷，孔德宏

（云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650050）

循環(huán)論證的核心問題是推理過程中的邏輯是否嚴謹．?dāng)?shù)學(xué)證明的過程是否為循環(huán)論證，根據(jù)不同的標(biāo)準，有不同的結(jié)果．以學(xué)科體系、教材體系為標(biāo)準，得到4種體系下的循環(huán)論證：（1）同一教材體系；（2）不同教材體系；（3）同一學(xué)科體系；（4）不同學(xué)科體系．循環(huán)論證所帶來的價值有很大的應(yīng)用前景：能夠讓知識的學(xué)科價值更加充分發(fā)揮，能夠降低學(xué)生負擔(dān)．未來教材改革應(yīng)關(guān)注：（1）教材改革應(yīng)兼顧知識的學(xué)術(shù)邏輯與學(xué)生的心理邏輯；（2）教材改革應(yīng)注重教育邏輯的完善；（3）教材改革可考慮從循環(huán)論證根源的剖析上攝取“營養(yǎng)”．

循環(huán)論證；教材體系；跨學(xué)科體系；核心素養(yǎng)；教材改革

1 問題提出

“循環(huán)論證”一詞最早出自于亞里士多德《分析前篇》第十四節(jié)，“循環(huán)論證”是指用來證明論題的論據(jù)本身的真實性要依靠論題來證明的邏輯錯誤．其邏輯結(jié)構(gòu)可歸納為兩類：①對于命題，蘊含，假設(shè)成立，所以成立；②對于命題、、，蘊含，蘊含，蘊含，假設(shè)成立，所以成立，所以成立，所以成立．關(guān)于數(shù)學(xué)證明過程中的循環(huán)論證，張景中院士曾有過精辟論述：“孤立地看待一個命題的證法，很難肯定它是否犯了‘循環(huán)論證’的錯誤．”[1]究其原因，在于數(shù)學(xué)證明過程是否存在循環(huán)論證的錯誤，依據(jù)不同標(biāo)準，有不同的判定結(jié)果．剖析循環(huán)論證產(chǎn)生的根源，可以歸納出4種體系下的循環(huán)論證：（1）同一個教材體系中，條件到結(jié)論的推導(dǎo)有多種途徑，同一個命題的證明，途徑a是循環(huán)論證，途徑b則不是；（2）不同的教材體系中，不同知識體系下的知識點出現(xiàn)的先后順序不同，致使同一個證明過程在A知識體系下是循環(huán)論證，在B知識體系下又不是了；（3）同一學(xué)科體系中，現(xiàn)階段知識的嚴謹證明需要用到后階段的知識，然而現(xiàn)階段學(xué)生的認知水平不夠，不能講授后階段的知識，導(dǎo)致循環(huán)論證；（4）不同學(xué)科體系之間，數(shù)學(xué)學(xué)科本身是一個十分嚴謹?shù)墓砘w系，數(shù)學(xué)定理不以其它學(xué)科的規(guī)律或者原理為依據(jù)，從而用其它學(xué)科的規(guī)律或原理來證明數(shù)學(xué)定理導(dǎo)致了循環(huán)論證．?dāng)?shù)學(xué)證明中的循環(huán)論證與學(xué)生的邏輯推理等核心素養(yǎng)息息相關(guān)，具有重要的學(xué)科價值．同時“循環(huán)論證”各種類型產(chǎn)生的根源與教材知識結(jié)構(gòu)有著緊密的聯(lián)系，結(jié)合人教版普通高中教科書數(shù)學(xué)2019版（以下簡稱新教材）以及地方版本教材，通過對其深入研究，為教材改革提供新的方向[2]．

2 幾種循環(huán)論證類型的剖析

以學(xué)科體系、教材體系為標(biāo)準，對數(shù)學(xué)上的循環(huán)論證進行分類剖析，可以得到以下4類情況．

第一，同一個教材體系中的同一個命題的證明，途徑a是循環(huán)論證，途徑b不是．

（1）函數(shù)()=2單調(diào)性不同證明途徑的剖析．

考慮到學(xué)生已有的認知水平，高中階段指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的“證明”教學(xué)中，僅是根據(jù)觀察圖象的上升、下降趨勢來得出的．這種方法在邏輯上是不嚴謹?shù)?，教學(xué)中可以通過作商法對其單調(diào)性進行補充證明，但同樣是作商法，途徑a犯了循環(huán)論證的錯誤，途徑b則沒有，下面呈現(xiàn)證明()=2單調(diào)遞增的兩種途徑．

說明①：途徑a是通過作商比較(1)和(2)的大小，從而得出函數(shù)()=2的單調(diào)性，但這里1=20<2用到了指數(shù)函數(shù)()=2的單調(diào)性，故用單調(diào)性證明單調(diào)性，犯了循環(huán)論證的錯誤．

說明②：這里換一種角度去思考：判定上述證明過程犯了循環(huán)論證的錯誤是因為它用到了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．在新教材必修第一冊第三章第三節(jié)（第89頁）學(xué)到了冪函數(shù)，而指數(shù)函數(shù)在第四章學(xué)習(xí)，故可以繞過指數(shù)函數(shù)單調(diào)性而選擇冪函數(shù)的單調(diào)性進行證明，則避免了循環(huán)論證，將其證法改寫為：

圖1 作差法證明函數(shù)增減性

從以上分析可知，在同一教材體系中，命題與結(jié)論推導(dǎo)的途徑具有多樣性[3]．同一個命題的證明，一條途徑是循環(huán)論證，走另一條又不是了．

第二，不同教材體系下，同一個證明在A知識體系下是循環(huán)論證，在B中則不是．

（1）三角恒等式證明勾股定理的剖析．

現(xiàn)有的教材體系中，初中學(xué)習(xí)勾股定理，高中學(xué)習(xí)三角恒等式，下面給出勾股定理的一種證法．

證明：三角恒等式證明勾股定理

說明①：在現(xiàn)有的教材體系中（以人教版教材為例），勾股定理是在八年級下冊學(xué)習(xí)的，而三角恒等式是在高中學(xué)習(xí)的，且三角恒等式的證明用到了勾股定理，這樣的證明自然是犯了循環(huán)論證的錯誤的．

說明②：但是在張景中院士提出的“新中學(xué)三角體系”中[4-5]，利用“面積法定義正弦”，得到正弦和角公式，再通過正弦和角公式得到三角恒等式，最后得到勾股定理，其簡要邏輯體系如圖2所示．

圖2 中學(xué)教材體系

從圖2可知，在原來的教材體系中，勾股定理是知識的“生長點”，三角恒等式是知識的“延伸點”，但是在張景中院士的體系中，則反之．這樣一來，上述證明在不同的教材體系中，其循環(huán)論證的判定結(jié)果也不同．

（2）向量法證明勾股定理的剖析．

在新教材必修第二冊第六章平面向量及其應(yīng)用后安排了一個數(shù)學(xué)探究（第63頁）：用向量法研究三角形的性質(zhì)，探究活動的引言部分是用向量法推導(dǎo)勾股定理，如圖3．

圖3 用向量法推導(dǎo)勾股定理

說明①：平面幾何證明勾股定理時，需要添加輔助線、構(gòu)造正方形等，不僅復(fù)雜，而且不容易想到，使用向量法則可以避免這些．這樣的安排似乎是十分合理的，但正如張景中院士所說，對其進行尋根問底的追問，則又是循環(huán)論證了．新教材必修第二冊第6頁的“閱讀與思考”中介紹了向量及向量符號的由來，向量最初應(yīng)用于物理學(xué)，被稱為矢量，如力、位移、速度、電場強度、磁感應(yīng)強度都是向量……向量是一種帶幾何性質(zhì)的量，向量的加法（即平行四邊形法則）在物理上是指合力是由兩個（及以上）的分力進行合成，合成過程中用到了正交分解，而正交分解則用到了勾股定理，故用向量法證明勾股定理在一定意義上也是一種循環(huán)論證．

說明②：從上述討論中，基于新教材體系，一定意義上可以認為向量法證明勾股定理是犯了循環(huán)論證的錯誤的，但換一種體系來看，則又不是了．判斷其犯循環(huán)論證的錯誤是基于物理學(xué)中力的合成用到的正交分解，而在數(shù)學(xué)上是直接定義了向量的加法、減法從而得到向量的平行四邊形法則的，故這樣來看，用向量法證明勾股定理是沒有犯循環(huán)論證的錯誤的，如在滬教版教材體系中，初中教材就定義了平面向量及其加減運算，并在教材中初步介紹了用向量工具證明幾何問題．

第三，同一學(xué)科體系中，現(xiàn)階段知識的嚴謹證明需要借助后階段的知識導(dǎo)致循環(huán)論證．

在基礎(chǔ)教育階段普遍存在著這樣一種現(xiàn)象，基于學(xué)生的認知水平，一些現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)知識不可能得到嚴格的證明，如前面談到的指數(shù)函數(shù)單調(diào)性證明就是如此，因為高中階段是無法嚴格定義無理指數(shù)冪的，而指數(shù)函數(shù)定義域又是全體實數(shù)，故無法在高中階段給出其函數(shù)單調(diào)性的嚴格證明．

說明①：上述證明過程用到了圓面積公式：

顯然，在這個過程中，也用到了(sinx)′=cosx，從而用到了極限，因此是犯了循環(huán)論證的錯誤．也有學(xué)者通過其它方法[7]來避免使用極限及其推論來得到圓面積公式，從而排除了利用不等式時產(chǎn)生循環(huán)論證的可能，但本質(zhì)上都用到了（單位）圓周長度的存在性．復(fù)旦大學(xué)樓紅衛(wèi)教授于2017年在《大學(xué)數(shù)學(xué)》上發(fā)表了有關(guān)論述，他認為：弧度的建立依賴于單位圓周是可求長的，而極限的討論基于單位圓周長的定義，更確切地說，需要基于定積分的理論．因此，尋求講授定積分理論前給出的嚴格證明并不現(xiàn)實[8]，具體證明過程可參閱文獻[8]．

第四，不同學(xué)科體系中，數(shù)學(xué)定理不以某個物理規(guī)律的正確性作為自己成立的條件．

跨學(xué)科素養(yǎng)長期以來都是學(xué)者所熱衷的話題，其意義也顯然，學(xué)科與學(xué)科之間的碰撞產(chǎn)生的火花，對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣具有重要意義．?dāng)?shù)學(xué)與物理學(xué)這兩個學(xué)科之間的聯(lián)系就十分密切，這兩個學(xué)科如何產(chǎn)生火花，一些文獻就有談到．如一篇文章就談到了“用物理方法證明正弦定理和余弦定理”[10]，下面為其簡要證明過程．

“很顯然，這3個力是相互平衡的共點力”，其作用線相交于三角形ABC的外心O．以O(shè)為原點，對Fa、Fb、Fc進行正交分解，如圖5所示．

分別得到：

聯(lián)立（1）、（2）、（3）、（4）得到：

分別化簡（5）、（6）即得正弦定理、余弦定理．

說明①：上述證法看似沒問題，但在“很顯然，這3個力是相互平衡的共點力”處犯了循環(huán)論證的錯誤[11]．?dāng)?shù)學(xué)中用來說明三角形邊角關(guān)系的正弦定理成立與否，直接決定了這個3個力是不是平衡力，其簡要證明過程如下（正弦定理與余弦定理等價，故以正弦定理為例）．

對線框所收受到的力進行分解（只標(biāo)出分力的方向，未標(biāo)出其大?。?，如圖6所示．

圖6 受力分解

即垂直方向上，F與F在垂直于F作用線上的分力大小相等，方向相反；平行方向上，F與F在平行于F．作用線上的分力大小之和等于F，方向相反．

說明②：從上述證明過程分析得到，若正弦定理不成立，則上述結(jié)論中的等式（7）、（8）至少有一個不成立，從而使得F、F、F合力就一定不為0，即不是平衡力.故用物理原理證明正弦定理，其本質(zhì)上還是用到了正弦定理，故犯了循環(huán)論證的錯誤．

這說明在不同學(xué)科體系中，數(shù)學(xué)是可以脫離其它具體學(xué)科而獨立發(fā)展的．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科本身是一個十分嚴謹?shù)墓砘w系，所有的數(shù)學(xué)定理，都不會以某個物理原理或物理規(guī)律的正確性作為自己成立的條件，從而用其它學(xué)科的規(guī)律或原理來證明數(shù)學(xué)定理就會導(dǎo)致循環(huán)論證．

3 循環(huán)論證的價值分析與展望

3.1 知識體系的“變動”所帶來的價值分析

教材是教育得以進行的基本條件，在整個人才培養(yǎng)過程中占有十分重要的位置．習(xí)近平指出：“學(xué)科體系與教材體系密不可分．學(xué)科體系建設(shè)上不去，教材體系就上不去；反過來，教材體系上不去，學(xué)科體系就沒有后勁．”數(shù)學(xué)教材往往是數(shù)學(xué)課程發(fā)展、研究過程以及整個數(shù)學(xué)教育史中最為可靠和重要的歷史見證[12-13]．不同的教材體系對學(xué)生的學(xué)習(xí)是有不同的影響和價值的[14]，在剖析循環(huán)論證產(chǎn)生根源的過程中分析得到，在不同教材體系中知識點先后的順序是不同的，致使條件到結(jié)論的推導(dǎo)途徑不同，從而可能導(dǎo)致循環(huán)論證．這樣得到一種新的角度，即通過“變動”數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的時間順序，不僅可以避免循環(huán)論證，更大地發(fā)揮知識的學(xué)科價值，同時還能減輕學(xué)生的負擔(dān)，從而完善教材編寫過程中的教育邏輯[15]．故循環(huán)論證所帶來的價值有很大的應(yīng)用前景，這一點在新教材和一些地方版本的教材中就有明顯體現(xiàn)．

3.1.1 讓知識的學(xué)科價值更加充分發(fā)揮

在新教材中，“解三角形”不再單獨設(shè)立章節(jié)，而是納入第六章第四節(jié)平面向量的應(yīng)用，其推導(dǎo)途徑也發(fā)生了改變，改用向量法推導(dǎo)正弦定理（教材第45頁）．其合理性顯然，向量集數(shù)與形于一身，每一種向量運算都有相應(yīng)的幾何意義，通過向量證明某些幾何圖形的性質(zhì)，比平面幾何中“從圖形的已知性質(zhì)推出待證的性質(zhì)”更為簡便，而且證明過程是程序化的，充分體現(xiàn)了向量運算的作用[16]．這樣的安排，對比舊版教材，更大地發(fā)揮了平面向量的幾何價值，既使得“平面向量的應(yīng)用”這一節(jié)內(nèi)容不再單薄，也加強了向量與平面幾何的聯(lián)系，突出了數(shù)學(xué)學(xué)科的整體性．而且更大地發(fā)揮了一些知識的學(xué)科價值甚至是跨學(xué)科價值．雖然這些“變動”的教育價值有待更多的研究去分析論證，但在數(shù)學(xué)學(xué)科價值上已經(jīng)使得一些數(shù)學(xué)知識煥發(fā)出新的生命力，這是有意義的．

3.1.2 能夠降低學(xué)生負擔(dān)

新教材必修第二冊第六章安排的數(shù)學(xué)探究（教材第63頁）：用向量法研究三角形的性質(zhì)，其探究活動的引言部分是用向量法推導(dǎo)勾股定理，探究活動主要內(nèi)容是用向量法推導(dǎo)三角形的3條中線交于一點（重心）及其性質(zhì)．在原來的教材體系中，向量法是在高中學(xué)習(xí)，而三角形重心及其性質(zhì)在初中學(xué)習(xí)．新教材中用向量法推導(dǎo)重心及其性質(zhì)，這樣安排的價值也很明顯，平面幾何中證明重心的定義時，用到的幾何方法不僅復(fù)雜，而且不容易想到，使用向量法不僅可以完全避免這些，同時還能在證明過程中，“順便”得到三角形的一個重要性質(zhì)（三角形重心是中線的三等分點）．這說明通過“變動”數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的時間順序得到新的教材體系，繼而得到新的證明方法，既避免了循環(huán)論證，又能減少學(xué)生的學(xué)業(yè)負擔(dān)．給教材研究者一種新的啟示——將向量“變動”到初中去學(xué)習(xí)．向量在幾何中的價值，舉足輕重，章建躍認為，初中數(shù)學(xué)難學(xué)源于初中幾何難學(xué)[17-18]，數(shù)學(xué)成績的兩極分化發(fā)生在平面幾何的學(xué)習(xí)中．若是在初中就能夠初步地學(xué)習(xí)向量，對指導(dǎo)后續(xù)的幾何學(xué)習(xí)是一大助力，這對學(xué)生的負擔(dān)也是很大的解放．這一點在滬教版初中教材（2007版）中就有體現(xiàn)，在第二十二章第四節(jié)就學(xué)習(xí)了平面向量及其加減運算，并在章末的閱讀材料（第118頁）中初步介紹了用向量法證明幾何問題．

3.2 知識體系的“變動”對未來教材改革的展望

各科教材知識體系的構(gòu)成，都有其內(nèi)在的邏輯，總體來看，教材的編寫邏輯表現(xiàn)有3個方面．其一是學(xué)術(shù)邏輯，即根據(jù)學(xué)科或?qū)W術(shù)領(lǐng)域知識生成、發(fā)展、演變的邏輯來編寫，其表現(xiàn)形式為由易到難、由淺至深，所注重的是知識與知識之間的相互聯(lián)系，保持知識的銜接順序，使教材內(nèi)容有條不紊、井然有序．其二是心理邏輯，根據(jù)這一邏輯，教材編寫主要是根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、認知水平和認知習(xí)慣，以學(xué)生易于接受、樂于接受、能夠接受為導(dǎo)向．其三是教育邏輯，即把學(xué)術(shù)邏輯和心理邏輯結(jié)合起來，使教學(xué)內(nèi)容既兼顧學(xué)科知識的關(guān)聯(lián)性，又有利于學(xué)生學(xué)習(xí)掌握[19]．

3.2.1 教材改革應(yīng)兼顧知識的學(xué)術(shù)邏輯和學(xué)生的心理邏輯

新教材中向量法證明“解三角形”中的一些定理，相比于一些方法確實具有簡便性，但教材的編排順序發(fā)生了改變．在原來的教材中，正弦定理的學(xué)習(xí)先于余弦定理，在新教材中，則反之．這樣的安排是考慮了向量數(shù)量積運算中出現(xiàn)了角的余弦，故先學(xué)余弦定理，再學(xué)正弦定理．同時教材中也指出探索和證明這兩個定理的方法很多，有些方法比向量法更簡潔，而且先學(xué)余弦定理，再學(xué)正弦定理，也沒有體現(xiàn)學(xué)術(shù)邏輯中由易到難的表現(xiàn)形式，究其原因，在于教材編排要考慮其知識結(jié)構(gòu)的整體性．受限于此，這樣的安排總是有種美中不足的感覺，故在未來的教材改革中，可以考慮兼顧知識體系的整體性，又能優(yōu)化正弦定理的推導(dǎo)方法．即兼顧知識的學(xué)術(shù)邏輯和學(xué)生的心理邏輯．

3.2.2 教材改革應(yīng)注重教育邏輯的完善

3.2.3 教材改革應(yīng)在循環(huán)論證根源的剖析上攝取“營養(yǎng)”

從某種意義上來說，新教材中的這種“變動”，使得一個數(shù)學(xué)證明是否循環(huán)論證的界定結(jié)果發(fā)生了改變，反之，對循環(huán)論證的研究可以“反哺”，從而促進教材“變動”．循環(huán)論證的類型有很多，目前的新教材中也未涉及，新教材作為一種風(fēng)向標(biāo)，效仿新教材的一些“變動”，考慮把循環(huán)論證的各種類型納入未來教材中的探究活動、閱讀材料甚至是教材內(nèi)容，對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、促進未來教材改革具有重要意義．這樣的展望是合理的，這是因為教材改革本身就要兼顧知識的學(xué)術(shù)邏輯與學(xué)生的心理邏輯．循環(huán)論證產(chǎn)生的根源與知識的學(xué)術(shù)邏輯息息相關(guān)，教材的“變動”則考慮的是學(xué)生的心理邏輯，這二者相輔相成，故教材改革可以考慮從循環(huán)論證根源的剖析上攝取“營養(yǎng)”．

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)作為一門邏輯科學(xué)，一個數(shù)學(xué)證明過程是否循環(huán)論證，其判定結(jié)果隨著體系的不同而不同：循環(huán)論證可以在同一教材體系討論，也可以在不同教材體系討論，甚至可以在不同學(xué)科體系討論．究其原因，在于其它學(xué)科的一些原理或是規(guī)律的正確性是以相關(guān)的數(shù)學(xué)定理為依據(jù)，而數(shù)學(xué)學(xué)科本身是一個十分嚴謹?shù)墓砘w系，從一些不加定義的原始概念以及一些不需要證明的公理出發(fā)，按照一定的邏輯法則將知識系統(tǒng)化，最后形成一個螺旋上升的有機整體[20]．循環(huán)論證的研究正是“寄生”于這樣一種有機的整體，其研究的生命力自然旺盛．經(jīng)過多年的實踐，中國高中數(shù)學(xué)教材已具有一定的系統(tǒng)性．為適應(yīng)時代的發(fā)展，體現(xiàn)新的教育教學(xué)理念，依據(jù)課程標(biāo)準，其改革可在落實立德樹人根本任務(wù)、體現(xiàn)核心素養(yǎng)、創(chuàng)新呈現(xiàn)方式、關(guān)注師生體驗等方面進行創(chuàng)新探索與實踐[21]．這給數(shù)學(xué)教育研究者一種新的啟示或提供了某種新的視角[22]，基于學(xué)科本身特性的研究可以達到更大的認識深度，循環(huán)論證的研究價值有待更多學(xué)者去挖掘．

[1] 彭翕成．也談“循環(huán)論證”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2008（2）：27-28．

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[10]徐英．用物理方法證明正弦定理和余弦定理[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2006（9）：17-18．

[11]王偉民．再談“用物理原理證明數(shù)學(xué)問題”是在“循環(huán)論證”[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018（1）：63-65．

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Thinking and Value Prospect of Mathematical Circular Argument

LI Feng-lei, KONG De-hong

(Faculty of Mathematics, Yunnan Normal University, Yunnan Kunming 650500, China)

The core problem of circular argument is whether the logic in the reasoning process is rigorous. Whether the process of mathematical proof is a circular argument or not has different results depending on different criteria. The circular argument under the four systems can be obtained taking the discipline system and the textbook system as the standard: (1) the same textbook system; (2) different textbook systems; (3) the same discipline system; (4) different discipline systems. The value brought by circular argument has great application prospects: it can make the disciplinary value of knowledge more fully utilized and reduce the burden on students. This paper puts forward some thoughts for the future reform of textbooks: (1) The reform of teaching materials should take into account the academic logic of knowledge and the psychological logic of students; (2) the reform of teaching materials should focus on the improvement of educational logic; (3) the reform of teaching materials should consider ingesting “nutrition” from the analysis of the root cause of circular argumentation.

circular argument; teaching material system; interdisciplinary system; core literacy; reform of the teaching material

G423.3

A

1004–9894（2022）04–0074–06

李鋒雷，孔德宏．?dāng)?shù)學(xué)循環(huán)論證的思考及其價值展望[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2022，31（4）：74-79．

2022–03–22

云南省學(xué)位委員會2019—2021年“中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究案例庫”項目（04400205020502133）；云南師范大學(xué)研究生核心課程建設(shè)項目——數(shù)學(xué)課程與教材研究（YH2018-C06）

李鋒雷（1997—），男，江西上饒人，碩士生，主要從事數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)教材研究．孔德宏為本文通訊作者．

[責(zé)任編校：陳漢君、陳雋]