“垂直平分線”和“角平分線”的應(yīng)用

阮秋月

【摘要】“垂直平分線”和“角平分線”是學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中常遇和常用的“兩線”，它們?cè)诙x、性質(zhì)和判定等方面具有一些相通點(diǎn).本文嘗試在分析這些相同點(diǎn)的基礎(chǔ)上，尋找用“兩線”解決問(wèn)題的巧妙之處，從而幫助初中生更高效的解題.

【關(guān)鍵詞】“垂直平分線”;“角平分線”;數(shù)學(xué)解題

“垂直平分線”和“角平分線”作為初中數(shù)學(xué)幾何部分的內(nèi)容，在代數(shù)部分也舉足輕重，尤其是在壓軸題中其綜合性體現(xiàn)得非常明顯.同時(shí)，“兩線”結(jié)合也是學(xué)生解題的難點(diǎn)所在，如何巧妙應(yīng)用“兩線”解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)提升學(xué)生的解題效率和準(zhǔn)確率非常關(guān)鍵.

1 “垂直平分線”和“角平分線”的相通之處

“垂直平分線”和“角平分線”雖然是初中幾何部分兩個(gè)不同的教學(xué)內(nèi)容，但是它們的知識(shí)點(diǎn)安排，如定義、性質(zhì)、判定、尺規(guī)作圖等，具有異曲同工之妙.教師要想學(xué)生能夠靈活、巧妙的利用“垂直平分線”和“角平分線”解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，就要讓學(xué)生對(duì)這“兩線”各自的內(nèi)容及其相通之處有所了解[1].本文認(rèn)為，“垂直平分線”和“角平分線”的相通之處主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面：

首先，定義相通.從“垂直平分線”和“角平分線”這“兩線”的定義不難看出，“垂直平分線”重在說(shuō)明線段被平分，而“角平分線”重在說(shuō)明角被平分.所以，從“垂直平分線”和“角平分線”這“兩線”在定義方面的相通之處在于“平分”，即抓住了“平分”也就抓住了從“垂直平分線”和“角平分線”這“兩線”的定義.

其次，性質(zhì)相通.從“垂直平分線”和“角平分線”這“兩線”的性質(zhì)可以看到，“垂直平分線”和“角平分線”這“兩線”都重在說(shuō)明“距離相等”，這是它們的相通之處.不同的是，“垂直平分線”中的“距離”是指點(diǎn)到點(diǎn)的距離，而“角平分線”中的“距離”是指點(diǎn)到邊的距離.總之，抓住“距離相等”和“點(diǎn)到點(diǎn)的距離”、“點(diǎn)到邊的距離”幾個(gè)關(guān)鍵詞，就可以掌握“垂直平分線”和“角平分線”的重點(diǎn)和難點(diǎn).

再次，判定相通.“垂直平分線”和“角平分線”的判定都是證明一條線的屬性或歸屬.如“垂直平分線”的判定定理證明的是一條直線是一條線段的垂直平分線，“角平分線”的判定定理證明的是一條射線是一個(gè)角的平分線.但需要注意它們的不同，那就是證明一條直線為垂直平分線時(shí)，需要分別證明兩個(gè)不同的點(diǎn)在這條直線上，而證明一條射線為角平分線時(shí)，需要說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)角的內(nèi)部[2].由此可見(jiàn)，抓住了它們的不同之處，也就抓住了它們的本質(zhì).

最后，作法相通.從“垂直平分線”和“角平分線”的尺規(guī)作圖方法不難看出，“垂直平分線”的尺規(guī)作圖方法是“角平分線”的尺規(guī)作圖方法的基礎(chǔ)，都要以兩個(gè)不同的端點(diǎn)為圓心，都要以大于線段二分之一的長(zhǎng)度為半徑，都是兩條圓弧的交點(diǎn).換言之，“角平分線”的尺規(guī)作圖是在“垂直平分線”的尺規(guī)作圖基礎(chǔ)上進(jìn)行的[3].另外，作法相通還表現(xiàn)在圖形的構(gòu)造上，都凸顯了全等三角形和等腰三角形.第一，在作“垂直平分線”時(shí)，圓弧的交點(diǎn)和線段端點(diǎn)、垂直平分線就構(gòu)造出了兩個(gè)全等的三角形，在這作“角平分線”時(shí)，兩種不同圓弧的交點(diǎn)與角平分線就構(gòu)成了兩個(gè)全等三角形.第二，線段兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)圓弧交點(diǎn)形成的圖形為等腰三角形;畫(huà)角平分線的理論依據(jù)就是等腰三角形的“三線合一”，即底邊的垂直平分線和頂角的角平分線“合二為一”，這里再一次說(shuō)明了“垂直平分線”的尺規(guī)作圖方法是“角平分線”的尺規(guī)作圖方法的基礎(chǔ).

2 基于“兩線”的初中數(shù)學(xué)題巧解思路

2.1 利用“平分”巧解

例1

如圖1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，交AC于點(diǎn)E，DE垂直平分AB于點(diǎn)D.

求證：BE+DE=AC.

點(diǎn)撥與解析本題是典型的“垂直平分線”和“角平分線”結(jié)合問(wèn)題.由于BE、DE和AC很難發(fā)現(xiàn)他們之間的數(shù)量關(guān)系，但是可以通過(guò)轉(zhuǎn)化的方法將這三條線段化為一條，這就是數(shù)學(xué)中典型的化歸思想.具體可以按如下步驟操作：首先需要借助“垂直平分線”的性質(zhì)將BE和AE相互轉(zhuǎn)換，然后要利用“角平分線”的性質(zhì)將CE和DE相互轉(zhuǎn)換.在轉(zhuǎn)換之后，便容易由AC=AE+EC得到AC=BE+DE.

2.2 利用“距離相等”巧解

例2

如圖2所示，已知∠AOB 平分線上一點(diǎn)E，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為點(diǎn) C，D.

求證：（1）OC=OD;（2）OE是CD的垂直平分線.

點(diǎn)撥與解析 本題中兩次利用到了“距離相等”，第一次是利用了角平分線中的“點(diǎn)到邊距離相等”，即DE=EC，第二次是利用了垂直平分線的“點(diǎn)到點(diǎn)距離相等”，即OD=OC，這是“垂直平分線”和“角平分線”中典型的“距離相等”相通之處.看到“∠AOB 平分線上一點(diǎn)E，且EC⊥OA，ED⊥OB”，馬上就要想到是角平分線的性質(zhì)，看到“OC=OD”，馬上就要想到是否與線段的垂直平分線有關(guān)，這都是靈活解題的表現(xiàn).而“垂直平分線”和“角平分線”還有“全等三角形”相通之處，所以（1）（2）兩問(wèn)是否可以借助這一相通之處解決就變得非常重要.

2.3 利用“全等”巧解

例3

如圖3所示，在△ABC中，DF是邊BC的垂直平分線，AD是△BAC一個(gè)外角的角平分線，DF與AD相交于點(diǎn)D，DE⊥于 E，且 AB > AC.

求證：BE-AC=AE.

點(diǎn)撥與解析 本題是要證明BE、AC、AE三邊之間的關(guān)系，而從圖形中不難發(fā)現(xiàn)AB-BE=AE.很明顯，這需要構(gòu)造三角形并證明它們?nèi)?，恰巧“垂直平分線”和“角平分線”有一個(gè)相通之處是“作法相通”，根據(jù)上文分析其實(shí)就是“三角形全等”.基于此，就應(yīng)該馬上想到如何利用“垂直平分線”和“角平分線”構(gòu)造出“全等三角形”，而這就需要連接DB和DC，同時(shí)還需要過(guò)D點(diǎn)作DM⊥AC.這樣作輔助線的靈感主要來(lái)自三個(gè)方面：其一，連接DB和DC是由“DF是邊BC的垂直平分線”這個(gè)條件想到;其二，過(guò)D點(diǎn)作DM⊥AC是由“AD是△BAC一個(gè)外角的角平分線”這個(gè)條件想到;其三，構(gòu)造“全等三角形”是由“BE-AC=AE”這個(gè)條件想到.

2.4 利用“相等”巧作輔助線

例4

已知，如圖4所示，點(diǎn)B、C在∠A的兩邊上，且AB=AC，P為∠A內(nèi)一點(diǎn)，PB=PC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分別為E、F.

求證：PE=PF.

點(diǎn)撥與解析 本題是非常典型的“兩線”問(wèn)題.在“兩線”問(wèn)題中，往往需要依靠作輔助線才能得到解決，而如何作輔助線，其中有一定技巧，抓準(zhǔn)題中“相等”關(guān)系的量非常關(guān)鍵，如本題中的“AB=AC”、“PB=PC”，都是巧作輔助線的突破口.所以，本題的解決思路大體是：首先，如圖5所示連接AP.然后，根據(jù)

AB=AC、PB=PC，外加一條公共邊AP，就證明了△ABP和△ACP是全等三角形，在此基礎(chǔ)上得到∠BAP=∠CAP.再結(jié)合P為∠A內(nèi)一點(diǎn)，得到AP為∠A的角平分線.最后，根據(jù)PE⊥AC，PF⊥AB，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可知PE=PF.需注意的是，首先，本題中證明AP是∠A的角平分線不能僅憑∠BAP=∠CAP這一個(gè)條件得到，而需結(jié)合P為∠A內(nèi)一點(diǎn)這個(gè)條件，因?yàn)椤敖瞧椒志€的判定”中明確了“在角的內(nèi)部”這一基礎(chǔ)條件，切勿遺漏.其次，本題中綜合了角平分線的性質(zhì)和判定，而這學(xué)生對(duì)這兩大內(nèi)容極易混淆，在本題解決過(guò)程中切勿因混淆而致錯(cuò).

3 “兩線”問(wèn)題解決過(guò)程中應(yīng)避免的錯(cuò)誤

在初中數(shù)學(xué)幾何部分，“垂直平分線”和“角平分線”是非常重要且基礎(chǔ)的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，其一方面體現(xiàn)在知識(shí)體系規(guī)善上，另一方面體現(xiàn)在解題思維拓展上.但是，無(wú)論從哪個(gè)方面審視該知識(shí)點(diǎn)，都應(yīng)注意以下易錯(cuò)點(diǎn)的規(guī)避：

第一 準(zhǔn)確理解“平分”.相對(duì)而言，角平分線中的“平分”比較容易理解，無(wú)論是在其性質(zhì)還是判定都是如此.這里所說(shuō)的準(zhǔn)確理解“平分”，重點(diǎn)在于垂直平分線.如圖6所示，由于DE垂直平分AB，易得DE⊥AB和AD=DB，這是正確的解題思路.但是，很多同學(xué)容易在類(lèi)似于圖6的問(wèn)題中出錯(cuò)，認(rèn)為在DE垂直平分AB的情況下還可以得到ED=FD.

第二 準(zhǔn)確區(qū)分性質(zhì)與判定.無(wú)論是垂直平分線，還是角平分線，它們都有性質(zhì)與判定.

首先，垂直平分線的性質(zhì)是“線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”，垂直平分線的判定是“到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.即線段垂直平分線可以看成到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合”.不難看到，垂直平分線的性質(zhì)和定理是互逆的，要想精準(zhǔn)掌握，還需仔細(xì)揣摩.這里需注意的是，在判定垂直平分線時(shí)，需證明兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)在一條直線上才能得到該直線為垂直平分線上，這是學(xué)生極易犯錯(cuò)之處.如圖6所示，只依靠AE=BE，DE垂直AB只能證明點(diǎn)E在直線EF上，還應(yīng)用同樣的方法證明點(diǎn)F也在直線EF上，然后才能得到直線EF是線段AB的垂直平分線.另外需注意的是垂直平分線是直線，而角平分線是射線，這是它們的本質(zhì)屬性.

其次，角平分線的性質(zhì)是“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”，角平分線的判定是“角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，都在這個(gè)角的平分線上”.這里需要注意的是，“角平分線的判定”中明確了“角的內(nèi)部”這一基礎(chǔ)條件，證明時(shí)切勿遺漏該條件.正如例4中，在證明AP是∠A的角平分線時(shí)，一定要結(jié)合“∠BAP=∠CAP”和“P為∠A內(nèi)一點(diǎn)”兩個(gè)條件.要知道，在例4中明確給出了“P為∠A內(nèi)一點(diǎn)”，學(xué)生在解本題時(shí)要意識(shí)到這一條件絕對(duì)不是命題者“多此一舉”.

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉頓.兩線聯(lián)姻，輕松解題[J].初中生之友，2011（29）：32-33.

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[3] 趙興榮，祁樂(lè)珍.線段垂直平分線與角平分線的“證”與“用”[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究， 2011（20）：86-86.