大學(xué)解析幾何教學(xué)中的幾點體會

向明啟 趙迪

【摘要】本文主要基于作者在教授大學(xué)解析幾何課程中的一些心得體會，對當(dāng)前大學(xué)解析幾何課程教學(xué)所遇到的問題及思政教育如何融入課程等展開討論，旨在提出提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的有效方法.文章首先分析了當(dāng)前大學(xué)解析幾何課程所面臨的問題，然后從課程思政、教學(xué)內(nèi)容、工程應(yīng)用等幾個方面給出了提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的方法.

【關(guān)鍵詞】解析幾何;課程思政;教學(xué)改革

一、引 言

解析幾何是數(shù)學(xué)系三門基礎(chǔ)課程之一，開設(shè)該課程的初衷主要是幫助學(xué)生從高中數(shù)學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)有個良好的過渡，進(jìn)一步提高學(xué)生的空間想象力、作圖能力、辯證思維能力，以及為一些課程（如高等代數(shù)等）提供幾何直觀實例.從作者幾年的教學(xué)經(jīng)驗來看，目前解析幾何這門課的教學(xué)時間安排、主要教學(xué)內(nèi)容以及與后續(xù)課程的聯(lián)系等都存在諸多問題.

二、解析幾何教學(xué)過程中存在的問題

（一）內(nèi)容復(fù)雜，教學(xué)難度大

大學(xué)解析幾何相對于中學(xué)幾何來說是其知識的一個延伸與擴(kuò)展.中學(xué)時期的幾何知識相對來說比較淺顯，各種方程以及圖形的變化是比較直觀的，學(xué)生較容易理解和接受，在學(xué)習(xí)過程中，解決問題所使用的曲面方程和線性方程也都有固定的公式.而大學(xué)幾何知識的學(xué)習(xí)更加側(cè)重于邏輯思維能力與空間想象力，其內(nèi)容是較復(fù)雜的，有些內(nèi)容是穿插重復(fù)出現(xiàn)的，并且無法進(jìn)行篩選，進(jìn)而加大了教學(xué)難度.

（二）學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)興趣，主動學(xué)習(xí)意識不強(qiáng)

學(xué)好一門課程最重要的就是要有興趣.而如今，不僅僅是中小學(xué)，大學(xué)的課堂教學(xué)也大多采用“灌輸式”的教學(xué)模式，忽視了以學(xué)生為主體的教學(xué)理念，以致學(xué)生只能被動接受知識，通過機(jī)械化地背題、刷題來獲取高分，把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想給忽略了.在繁重的學(xué)習(xí)任務(wù)中，學(xué)生體會不到探索未知領(lǐng)域的神秘和成就感，進(jìn)而磨盡了好奇心和探索興趣.對前期基礎(chǔ)知識理解與掌握不好的學(xué)生較容易在后續(xù)課程的學(xué)習(xí)中失去學(xué)習(xí)動力，學(xué)習(xí)的積極性更加不足.

（三）幾何抽象，難以理解

不同于中學(xué)幾何知識的淺顯明了，大學(xué)解析幾何更加抽象，需要學(xué)生有一定的知識儲備，有較強(qiáng)的邏輯思維能力和空間想象力.又由于受傳統(tǒng)的教學(xué)模式及教學(xué)設(shè)備制約，教師在教學(xué)過程中未能給予學(xué)生充分的空間聯(lián)想和想象思維方面的指導(dǎo)，使得學(xué)生無法構(gòu)建清晰的抽象思維，也難以構(gòu)建解析幾何的空間架構(gòu).

（四）教學(xué)時間安排不合理

解析幾何這門課很多院校都放在大一第一學(xué)期開設(shè)，此時學(xué)生并沒有接觸過多元微分學(xué)，如偏導(dǎo)數(shù)、切平面等，以及矩陣、行列式、線性方程組解的理論等，因此，教師對解析幾何中的很多內(nèi)容無法深入地去講解，矩陣這一非常有用的工具也無法使用.另外，這門課中的一些主要內(nèi)容需要適當(dāng)刪減，比如二次曲面的分類與化簡，顯然這部分只是高等代數(shù)中二次型的簡單例子.因此，作者認(rèn)為解析幾何作為一門單獨的課程，內(nèi)容過于單一，可以嘗試把解析幾何與高等代數(shù)融為一體，或者在高等代數(shù)課講完矩陣行列式之后再開設(shè)解析幾何這門課.

（五）學(xué)生對解析幾何應(yīng)用背景的了解不夠

學(xué)生對解析幾何應(yīng)用背景的了解不夠，導(dǎo)致其學(xué)習(xí)積極性不高.實際上，解析幾何在建筑、食品等方面都有較多應(yīng)用.教師可以充分挖掘這方面的素材，讓學(xué)生了解解析幾何應(yīng)用的廣泛性.

鑒于上述問題，作者認(rèn)為解析幾何課程應(yīng)該主要側(cè)重培養(yǎng)大學(xué)生的空間想象能力，并讓學(xué)生了解解析幾何的基本思想及實際應(yīng)用.

三、新形勢下解析幾何課程的教學(xué)舉措

（一） 課程融入思政教育

按照中共中央和國務(wù)院頒布的《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)和改進(jìn)大學(xué)生思想政治教育的意見》文件精神，教師要恰當(dāng)?shù)?、靈活地把思政教育融入專業(yè)課程的教學(xué)之中.教師要根據(jù)所教課程的特點，自然地將思政教育融于教學(xué)之中，這樣才能更好地達(dá)到教書育人的目的，才能為我國社會主義事業(yè)培養(yǎng)合格的接班人.因此，在大學(xué)解析幾何教學(xué)中，教師要有意識地把思政教育工作滲透到自己日常的教學(xué)中去，不斷提高學(xué)生的思想政治水平，為社會主義事業(yè)培養(yǎng)合格的接班人.解析幾何課程的教師要充分挖掘思政元素，可從數(shù)學(xué)建模、解析幾何發(fā)展史、數(shù)學(xué)家（如費馬、笛卡爾等）的故事、辯證唯物主義哲學(xué)思想、解析幾何在工程中的實際應(yīng)用等方面入手.

比如，教師可向?qū)W生介紹中國古代數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”、“東方第一幾何學(xué)家”蘇步青、“微分幾何之父”陳省身等，以加強(qiáng)對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育，并激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣.又如，正負(fù)陰陽對立，四象八卦輪回，其在幾何圖形上都有體現(xiàn)，也都體現(xiàn)了辯證的思想.中國傳統(tǒng)文化對西方近代科學(xué)的創(chuàng)立有重大作用，教師加強(qiáng)對學(xué)生的思政教育，可增強(qiáng)學(xué)生的文化自信、民族自尊心和自豪感.

（二） 優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

首先，教師可在教學(xué)時補(bǔ)充線性方程組內(nèi)容、減少向量代數(shù)中向量基本概念等的講解.其次，對教學(xué)內(nèi)容的講解要注重幾何直觀性.比如，課程第一章中對很多有關(guān)向量方面的初等結(jié)果的證明非常煩瑣，對于這部分內(nèi)容，教師應(yīng)盡量借助幾何圖形去直觀說明.最后，對內(nèi)容講解的順序進(jìn)行調(diào)整.譬如，可以先講解平面曲線理論，或在第一堂解析幾何課讓學(xué)生了解解析幾何的發(fā)展歷史、關(guān)鍵人物、發(fā)展現(xiàn)狀及與后續(xù)課程的關(guān)系等.

例1 解析幾何發(fā)展歷史.

學(xué)習(xí)一門課程首先要搞清楚這門課程的發(fā)展背景、應(yīng)用及其與后續(xù)課程的聯(lián)系.圖1基本概括了解析幾何的發(fā)展歷史.

（三）利用數(shù)學(xué)軟件作圖

利用數(shù)學(xué)軟件Matlab作圖能有效地幫助學(xué)生形成良好的空間想象能力，特別是空間曲面的圖像，如單葉雙曲面、馬鞍面圖形的形成原理等，教師可以在課上用PPT動態(tài)演示給學(xué)生看，以增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受.

例2 用Matlab作出單葉雙曲面x2+y24-z29=1的圖形.

首先給出其參數(shù)方程

x=sec ucos v，

y=2sec usin v，

z=3tan u，

然后利用Matlab中的ezmesh函數(shù)給出其圖形.

特別地，Matlab還可以畫出平面截單葉雙曲面及旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面生成的圖形，這有助于學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合、動靜結(jié)合的思想，同時，加深學(xué)生對截痕法的理解.

課后教師可留一些練習(xí)，讓學(xué)生用Matlab作圖，以提升學(xué)生的空間想象能力、實踐能力及學(xué)習(xí)的積極性.

（四）介紹解析幾何的應(yīng)用

無論是信息與計算科學(xué)專業(yè)或統(tǒng)計學(xué)專業(yè)的學(xué)生，還是飛行器動力工程、空中交通管理、計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)等專業(yè)的學(xué)生，經(jīng)常會問一句話：“我們學(xué)習(xí)解析幾何有哪些應(yīng)用？”針對自己所授課班級的專業(yè)特點，如果任課老師能或簡單或深入地提及相關(guān)應(yīng)用，對學(xué)生來說則既開闊了視野，也知道了學(xué)往何處用.這對提升學(xué)生和任課教師的工程應(yīng)用能力有很大的幫助，也符合學(xué)校對人才培養(yǎng)的要求.

教師向?qū)W生介紹解析幾何在工程技術(shù)中的應(yīng)用，如漸開線齒輪的齒廓曲線、火力發(fā)電站的供水塔、廣州電視塔、測繪學(xué)中的等高線地形圖等，可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高其創(chuàng)新思維能力.同時，教師向?qū)W生介紹生活中的實際物體有助于優(yōu)化課堂氛圍，如“鳥巢”頂層采用馬鞍形層蓋設(shè)計自然美觀，且馬鞍面是直紋面，其抗剪能力強(qiáng)，馬鞍型薯片的構(gòu)造也是基于此.

例3 馬鞍形薯片.

在講雙曲拋物面之前，為了吸引學(xué)生的注意力，活躍課堂氣氛，教師可以講有關(guān)薯片的問題，在講解完雙曲拋物面方程及圖形特征之后，與馬鞍形薯片、與馬鞍面的圖形進(jìn)行對比.

圖3分別為馬鞍形薯片與馬鞍面x2a2-y2b2=±2z.

例4 解析幾何在曲面造型技術(shù)中的應(yīng)用.

近些年，由于計算機(jī)圖形學(xué)和計算機(jī)輔助設(shè)計的不斷發(fā)展，曲面造型技術(shù)已被航空航天、媒體、醫(yī)療服務(wù)及工業(yè)化產(chǎn)品設(shè)計等領(lǐng)域廣泛采用.曲面造型是作圖軟件CAD的重要組成部分和研究內(nèi)容.曲面造型的研究目標(biāo)主要是計算機(jī)系統(tǒng)中曲面的設(shè)計、分析及顯示等.曲面造型技術(shù)的靈感常來源于船舶、飛機(jī)等物體的外形工藝.在20世紀(jì)60年代，Coons，Bezier等人為其奠定了理論基礎(chǔ).近些年，曲面造型理論及其應(yīng)用是計算機(jī)圖形學(xué)和輔助幾何設(shè)計領(lǐng)域研究的熱點與前沿問題.對物體進(jìn)行計算機(jī)模擬或分析比對實際物體進(jìn)行測量或處理要容易得多.曲線曲面造型技術(shù)是計算機(jī)圖形學(xué)、模擬仿真等領(lǐng)域的基礎(chǔ).空間中立體的幾何表示幾乎都要用到相關(guān)的曲面造型技術(shù)，如飛機(jī)、船舶等的外觀設(shè)計，動力性質(zhì)分析，實物模擬仿真，CT圖像重構(gòu)等，因此，曲面造型理論與技術(shù)的發(fā)展對相關(guān)應(yīng)用領(lǐng)域的研究是至關(guān)重要的.

曲面造型技術(shù)主要研究曲面表示、求交、拼接，以及曲面的變形、簡化、轉(zhuǎn)換等.特別地，曲面表示作為計算機(jī)圖形學(xué)的重要研究內(nèi)容，是曲面造型的理論基礎(chǔ)和核心問題，也是大學(xué)解析幾何課程的重要研究內(nèi)容.

大學(xué)解析幾何課程中的曲面理論主要研究二次曲面的一般方程、參數(shù)方程及化簡等，特別是對曲面幾何不變量的研究，是曲面理論研究的重要內(nèi)容之一.曲面方程的顯示表示式是z=f（x，y），曲面方程還可以用隱式方程來表示，即F（x，y，z）=0.當(dāng)函數(shù)F是多項式時，該隱式曲面方程也稱為代數(shù)方程.隱式方程的優(yōu)點在于：容易判斷函數(shù)F（x，y，z）與零的關(guān)系，即易于判斷點是落在所表示曲面上還是曲面的內(nèi)側(cè)或外側(cè).曲面隱式方程具有幾何運算下的封閉性，特別是隱式曲面方程之間求交、等距操作等幾何運算的結(jié)果均可表示成隱式形式，這對曲面造型系統(tǒng)的統(tǒng)一設(shè)計提供了極大的方便.隱式曲面方程有更多的自由度可以用于曲面控制，同時在構(gòu)造復(fù)雜曲面時可以得到更高的光滑性，也可以得到更多的形狀控制方法.

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