《數(shù)學(xué)通報》問題2562的一個推廣

龐良緒

(上海市市西中學(xué) 200040)

1 引言

《數(shù)學(xué)通報》2020年第9期問題2562提出了一個不等式如下：

問題2562[1]設(shè)a,b,c>0，且a+b+c=3，證明：

(1)

《數(shù)學(xué)通報》2020年第10期刊登了問題提供者給出的一種證明，[2]文[3]給出了(1)式的另一種證明.

本文從項數(shù)與指數(shù)出發(fā)，給出(1)式的一個推廣.

(2)

2 二個引理

為證明(2)式，先給出二個引理.

引理1(Cauchy不等式)[4]設(shè)xi，yi(i=1,2,…,n)是實數(shù)，則有

等號當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時成立.

3 結(jié)論的證明

證明由引理1知，yi(i=1,2,…,n)是正實數(shù)，有

(3)

等號當(dāng)且僅當(dāng)y1=y2=…=yn時成立.

(利用(3)式)

(利用引理2)

4 討論

在本文定理中，取s=n，得

(4)

在推論1中，取n=3,k=2，則(4)變成(1)式，所以，(2)式是(1)的推廣.

推論2設(shè)a,b,c>0，且a+b+c=3，則有

推論3設(shè)a,b,c,d>0，且a+b+c+d=4，則有