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    數(shù)學(xué)問題解答

    2022-07-12 12:30:34
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2022年2期
    關(guān)鍵詞:移項(xiàng)內(nèi)切圓共圓

    2641已知△ABC的外接圓過點(diǎn)B、C的切線交于點(diǎn)P,延長BA至點(diǎn)D,使AD=AB,作DE∥BC交直線PB于點(diǎn)E.求證:

    (華中師范大學(xué) 國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 彭翕成 430079;山西省臨縣一中 李有貴 033200)

    2642已知a,b,c,d≥0,a+b+c+d=1,且

    求p的最大值.

    ( 陜西省咸陽師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 安振平 712000 )

    解先證:在x≥0時(shí),有

    事實(shí)上,不等式(*)等價(jià)于

    (3x+2)(3x2-4x+3)≥6

    而上面的不等式顯然成立,即(*)不等式成立.

    在不等式(*)里,令x=a,b,c,d,得4個(gè)不等式

    疊加,便有

    2643設(shè)雙曲線C的兩焦點(diǎn)為F1、F2,兩準(zhǔn)線為l1、l2,過雙曲線上一點(diǎn)P,作平行于F1F2的直線,分別交準(zhǔn)線l1、l2于M1、M2,直線M1F1與M2F2交于點(diǎn)Q,則P、Q、F2、F1四點(diǎn)共圓.

    (江西省都昌縣第一中學(xué) 劉南山 332600)

    根據(jù)對稱性知點(diǎn)Q在y軸上,

    所以∠F1QF2=∠F1PF2,

    故P、Q、F2、F1四點(diǎn)共圓.

    (2)當(dāng)x0≠-c時(shí),

    所以∠F1QF2=∠F1PF2,

    故P、Q、F2、F1四點(diǎn)共圓.

    綜上所述,P、Q、F2、F1四點(diǎn)共圓.

    2644在三角形ABC中,求證:

    cosAcosB+cosCcosA+cosBcosC

    (山東省單縣園藝中心校 張建平 274300)

    證明

    =(1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)+(1+cosA)(1+cosB)(1+cosC)-2

    =(1-∑cosA+∑cosAcosB-cosAcosBcosC)

    +(1+∑cosA+∑cosAcosB+cosAcosBcosC)

    -2

    =2∑cosAcosB.

    所以欲證結(jié)論成立.

    注:本題在2022年第1期出題時(shí),出現(xiàn)描述錯(cuò)誤,經(jīng)山東省壽光市教育科學(xué)研究中心張明同老師及華南農(nóng)業(yè)大學(xué)資源環(huán)境學(xué)院甘超一同學(xué)指出,在這里給予了更正,同時(shí)本題的證明采用了甘超一同學(xué)提供的方法.在此向張明華老師及甘超一同學(xué)表示感謝!

    2645如圖,△ABC中,直線AP,BP,CP分別與各自對邊所在的直線交于點(diǎn)D,E,F.

    (i)求使得

    (ii)求使得

    S△PBD+S△PEA=S△PDC+S△PAF=S△PCE+S△PFB的所有點(diǎn)P.

    (重慶市長壽龍溪中學(xué) 吳波 401249)

    解設(shè)S△PBC=λ1,S△PCA=λ2,S△PAB=λ3.

    (i) 不難求得

    這表明,△ABC所在平面上除三邊所在直線外的所有點(diǎn)均滿足(i)中的等式.

    (ii)S△PBD+S△PEA=S△PDC+S△PAF

    =S△PCE+S△PFB

    由第一個(gè)等式移項(xiàng)可得

    所以λ2=λ3,

    或者λ1(λ1+λ2)(λ1+λ3)=λ2λ3(λ2+λ3).

    (1)當(dāng)λ2=λ3時(shí),顯然點(diǎn)P在△ABC中線AD上.代入消元可解得λ1=λ2或者λ1=2λ2.

    當(dāng)λ1=λ2=λ3時(shí),點(diǎn)P就是△ABC的重心;

    當(dāng)λ1=2λ2=2λ3時(shí),點(diǎn)P是△ABC中線AD的中點(diǎn).

    同樣的討論(對λ1=λ2或λ1=λ3)可知:點(diǎn)P是△ABC另兩條中線的中點(diǎn)時(shí)也滿足(ii)中的等式.

    (2)當(dāng)λ1(λ1+λ2)(λ1+λ3)=λ2λ3(λ2+λ3)時(shí),有

    注意到λ1+λ2+λ3=S△ABC,上式可化為

    在(1)中已討論了λ1,λ2,λ3有兩個(gè)相等的情形,此處可設(shè)λ1,λ2,λ3兩兩不等.因此同上可得另外兩個(gè)等式:

    所以三式相等,約去公因式S△ABC可得

    將第1個(gè)等式移項(xiàng)分解可得

    (λ1+λ2+λ3)(λ1-λ2)=0.

    即(λ1-λ2)S△ABC=0.

    所以λ1=λ2.同理λ2=λ3.此時(shí)即是重心.

    這個(gè)解在前面已得到過.

    綜上可知:滿足(ii)中的等式的點(diǎn)P共有四個(gè)——△ABC的重心和其三條中線的中點(diǎn).

    2022年2月號問題

    (來稿請注明出處——編者)

    (河南輝縣一中 賀基軍 453600)

    2647設(shè)R,r,p分別表示△ABC的外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑、半周長,求證:

    (1)

    (河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467001)

    2648設(shè)△ABC的內(nèi)切圓I與邊BC,CA,AB分別切于D,E,F(xiàn).記AB=c,BC=a,CA=b,若BE=CF,求證:b=c.

    (湖北省公安縣第一中學(xué) 楊先義 434300)

    (河南省周口師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 李居之 466001;北京航空航天大學(xué)圖書館

    宋慶 100191)

    2650已知⊙O1與⊙O2相交的一個(gè)交點(diǎn)為A,直線BC與⊙O1、⊙O2相切于B、C,⊙O3為△ABC的外接圓,O3關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為D,點(diǎn)M為O1O2的中點(diǎn).求證:∠O1DM=∠O2DA.

    (江西省高安市石腦二中 王典輝 330818)

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