構(gòu)造函數(shù)解題教學(xué)設(shè)計(jì)示例

張 昆

(安徽省淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 235000)

在探究數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的思路時(shí)，解題主體需要依據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題所提供的具體信息特點(diǎn)，從信息中選擇相應(yīng)的要素構(gòu)成擬似于數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)(定義，公理，公式，定理；或者問(wèn)題現(xiàn)場(chǎng)中所提供的真命題等)結(jié)構(gòu)的信息輪廓，據(jù)此，選擇使用具體的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)作為范疇性框架，封裝信息要素，解決面臨的數(shù)學(xué)問(wèn)題.這種將外在數(shù)學(xué)化信息形成擬似于數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的過(guò)程稱為“構(gòu)造”，運(yùn)用“構(gòu)造”的途徑探究數(shù)學(xué)問(wèn)題解決思路的心理活動(dòng)過(guò)程稱為“構(gòu)造法”.[1]這里舉一個(gè)高考?jí)狠S題的例子，說(shuō)明使用構(gòu)造函數(shù)解題的教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施，其具體途徑在于，充分暴露組織問(wèn)題信息要素形成信息輪廓特點(diǎn)，從信息輪廓特點(diǎn)中萌生出適合于解題的具體函數(shù)解析式的心理活動(dòng)過(guò)程.

例1(2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試浙江卷理科數(shù)學(xué)·題22·壓軸題)已知1

(Ⅰ)證明：函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)有唯一零點(diǎn)；

關(guān)于第(Ⅰ)問(wèn)的解答略.承認(rèn)函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)存在唯一零點(diǎn).

關(guān)于第(Ⅱ)問(wèn)的第(1)小題，筆者實(shí)錄自己在安徽省廬江中學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施的關(guān)鍵環(huán)節(jié)(省略號(hào)表示學(xué)生思維活動(dòng)的暫時(shí)中斷).

師：有價(jià)值的想法.那么，如何證明不等式②？

注在探究不等式②及其一類問(wèn)題的證明思路過(guò)程中，使用過(guò)去經(jīng)驗(yàn)形成的數(shù)學(xué)觀念，即在具體函數(shù)作為條件的問(wèn)題中，如果知道了在具體定義域內(nèi)的函數(shù)的單調(diào)性，那么要比較兩個(gè)自變量值大小可以轉(zhuǎn)化為比較這兩個(gè)自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大小而達(dá)到目的；反之，要比較兩個(gè)具體函數(shù)值的大小可以轉(zhuǎn)化為比較其中的兩個(gè)自變量的大小.這是一個(gè)觀念性問(wèn)題，更深層次上說(shuō)，這個(gè)數(shù)學(xué)觀念其實(shí)來(lái)源于函數(shù)與自變量之間形成了一對(duì)矛盾，矛盾對(duì)立面的雙方在一定條件下能夠互相轉(zhuǎn)化.在以具體函數(shù)作為條件的比較相關(guān)量大小的問(wèn)題中，自變量與函數(shù)產(chǎn)生的矛盾對(duì)立面的轉(zhuǎn)化條件是具體函數(shù)在相關(guān)定義域內(nèi)的單調(diào)性.這種數(shù)學(xué)觀念學(xué)生通過(guò)平時(shí)學(xué)習(xí)與解題，已經(jīng)內(nèi)化為經(jīng)驗(yàn)存在于自己的智囊中了，從而面對(duì)這類問(wèn)題時(shí)，就可以直接應(yīng)用了.

師：通過(guò)生2的詳盡分析，這一問(wèn)題思路清晰了起來(lái).可惜，生2沒(méi)有思考出證明不等式④的具體途徑，那么如何證明不等式④？

生：……

注(1)格式塔心理學(xué)派的創(chuàng)始人韋特海默在其名著《創(chuàng)造性思維》中指出，“產(chǎn)生創(chuàng)造性思維的最大敵人就是，在處理相關(guān)信息時(shí)，通過(guò)回憶過(guò)去已經(jīng)掌握了的知識(shí)或某些事實(shí)，通過(guò)不辭勞苦的態(tài)度，盲目地應(yīng)用學(xué)習(xí)過(guò)了的那些零碎的東西；而不是從信息的本來(lái)面目上，從結(jié)構(gòu)上，從結(jié)構(gòu)的要求上統(tǒng)觀全局.后者的價(jià)值在于，隨著結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的產(chǎn)生，決定了萌生思維活動(dòng)的心理矢量，發(fā)現(xiàn)信息要素之間的空隙，情境的不完全性，導(dǎo)致有問(wèn)題之處的具體化從而改變心理矢量.這種心理矢量的地點(diǎn)與方向沒(méi)有一點(diǎn)是偶然的，所有使用的信息元素，它們不管來(lái)自回憶或目前的情境，都是由于信息要素的功能而實(shí)現(xiàn)，才進(jìn)入到這個(gè)心理過(guò)程之中，它是結(jié)構(gòu)上所需要的，它把初始情境帶著空隙以及朦朧的狀態(tài)轉(zhuǎn)化為明朗的，完整的終極情境狀態(tài)：一句話，從不完善的格式塔轉(zhuǎn)變?yōu)橥晟频母袷剿盵2].

師：非常好.那么如何證明不等式⑥？

注從筆者鼓勵(lì)學(xué)生探究這個(gè)問(wèn)題的解題思路過(guò)程中認(rèn)識(shí)到，設(shè)出函數(shù)⑦只是學(xué)生經(jīng)由長(zhǎng)期思考結(jié)果的“一朝分娩”罷了.而思考怎樣設(shè)出函數(shù)⑦的心理活動(dòng)過(guò)程，卻猶如“十月懷胎”，學(xué)生需要從這種“十月懷胎”的思考過(guò)濾中吸取各種各樣的養(yǎng)分，才能助力于“一朝分娩”.教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施必須要注重于這種“十月懷胎”的心理過(guò)程，對(duì)于尋找函數(shù)式⑦與設(shè)出函數(shù)式⑦這一問(wèn)題的兩個(gè)方面，學(xué)生所投入的時(shí)間與思維資源大相徑庭，迥然有別.這就啟示數(shù)學(xué)教師，在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施的過(guò)程中，充分暴露了構(gòu)造函數(shù)式⑦的心理活動(dòng)過(guò)程，就是通過(guò)不斷地啟發(fā)學(xué)生使用過(guò)去已經(jīng)建立起來(lái)的數(shù)學(xué)觀念與在某些關(guān)鍵環(huán)節(jié)中需要萌生新的數(shù)學(xué)觀念的交替過(guò)程，完成了探究解題思路任務(wù)，萌生與定型了新數(shù)學(xué)觀念，如此才能幫助學(xué)生提高構(gòu)造能力，獲得情感皈依.這種構(gòu)造途徑所生成的經(jīng)驗(yàn)，容易遷移到解題主體面臨的信息情境中去，形成具體的數(shù)學(xué)解題新經(jīng)驗(yàn)[3].

注這里由于受到篇幅所限，沒(méi)有實(shí)錄課堂教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié).不過(guò)，從這個(gè)問(wèn)題的解答實(shí)際過(guò)程認(rèn)識(shí)到，所構(gòu)造出函數(shù)是對(duì)于不等式⑧的一系列探究活動(dòng)，從而得到了不等式的結(jié)果.盡管這里比較詳細(xì)地寫(xiě)出了證明不等式⑧的邏輯路徑，但必須提請(qǐng)數(shù)學(xué)教師注意的是，在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中，重在啟發(fā)學(xué)生從將不等式⑧轉(zhuǎn)化為不等式時(shí)探究活動(dòng)的心路歷程，這就是將證明不等式⑧的邏輯表達(dá)過(guò)程轉(zhuǎn)化為學(xué)生發(fā)現(xiàn)思路的心理發(fā)生過(guò)程，否則就是將這道題解答的邏輯過(guò)程奉獻(xiàn)于學(xué)生，那很難發(fā)揮數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題教學(xué)目標(biāo).對(duì)此，高三數(shù)學(xué)教師必須思之再思，慎之又慎.

毛主席在其名論《中國(guó)革命戰(zhàn)爭(zhēng)的戰(zhàn)略問(wèn)題》一文中指出，“對(duì)于人，傷其十指不如斷其一指；對(duì)于敵，擊潰其十個(gè)師不如消滅其一個(gè)師”.[4]將這種解決問(wèn)題時(shí)干凈徹底的思想應(yīng)用到指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上來(lái)，那就要求數(shù)學(xué)教師通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施，幫助學(xué)生徹底理解清楚解決一道數(shù)學(xué)題的想法的來(lái)龍去脈與思維的活水源頭，這對(duì)于教師的施教與學(xué)生的學(xué)習(xí)，都具有十分重要的指導(dǎo)作用.在解題教學(xué)中，教師認(rèn)真地啟發(fā)學(xué)生從問(wèn)題信息所可能具有結(jié)構(gòu)性特點(diǎn)出發(fā)，獨(dú)立認(rèn)真地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的思路，例如，在本例探究不等式②的證明思路中，啟發(fā)學(xué)生通過(guò)自己思維活動(dòng)，比較獨(dú)立地構(gòu)造函數(shù)式⑦，就會(huì)促使學(xué)生對(duì)“構(gòu)造法”產(chǎn)生良好體驗(yàn)，理解“構(gòu)造法”探究數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)要義，為遷移到面臨新的問(wèn)題信息時(shí)合理使用“構(gòu)造法”創(chuàng)造出良好的條件.