西方早期幾何教科書中的圓面積公式

狄 邁 汪曉勤

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 引言

圓面積是歷史最悠久的數(shù)學(xué)課題之一，在古代東西方不同文明的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中都有記載.公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(Euclid)用窮竭法證明了圓面積之比等于直徑平方之比；阿基米德(Archimedes, 前287-前212)利用窮竭法證明了圓面積等于直角邊長分別等于圓周長和半徑的直角三角形的面積.公元3世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家劉徽利用割圓術(shù)證明了圓面積等于半周與半徑之積.17世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家開普勒(J.Kepler, 1571—1630)利用無窮小方法，將圓轉(zhuǎn)化為直角邊長分別等于周長和半徑的直角三角形[1].微積分誕生后，人們采用極限的方法來求圓面積.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出，要求學(xué)生通過操作，探索并掌握“圓面積”公式，并能解決簡單的實(shí)際問題.現(xiàn)行六年級(jí)數(shù)學(xué)教科書中，人教版與滬教版將圓分割成小扇形，通過等積變形拼成近似平行四邊形來推導(dǎo)圓面積，北師大版除了平行四邊形的拼接，還介紹了多邊形逼近、同心圓堆積等方法.但考慮到學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，教科書無法采用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限方法，學(xué)生往往誤以為圓面積公式只是個(gè)近似公式；而在大學(xué)微積分教學(xué)中，教師往往又因?yàn)楹唵味雎粤嗽摴?如何在“近似”與“精確”之間架設(shè)一座橋梁，是今日教學(xué)的難點(diǎn).

鑒于此，本文聚焦圓面積公式的推導(dǎo)與證明，對(duì)西方早期幾何教科書進(jìn)行考察，以期為今日數(shù)學(xué)教學(xué)提供思想啟迪.

2 早期教科書的選取

本文從有關(guān)數(shù)據(jù)庫中選取120種西方早期幾何教科書為研究對(duì)象，出版時(shí)間分布情況如圖 1 所示.其中，對(duì)于同一作者再版的教科書，若內(nèi)容無顯著變化，則選擇最早的版本，若內(nèi)容有顯著變化，則將其視為不同的教科書.

120種幾何教科書中，圓面積主要位于“正多邊形”、“正多邊形與圓”、“圓”、“面積”、“度量”等章節(jié).其中圓面積大多歸于“正多邊形與圓”一章之中，可見早期教科書多利用正多邊形這一直邊圖形去研究圓.

圖1 120種幾何教科書的時(shí)間分布

3 圓面積公式的證明

在120種幾何教科書中，關(guān)于圓面積公式的推導(dǎo)或證明方法可分為窮竭法、類比法、等積變形法、極限法四類.

3.1 窮竭法

9種教科書采用了古希臘的窮竭法.17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家巴蒂(I. G. Pardies,1636—1673)在其《幾何基礎(chǔ)》中首先證明正多邊形面積為以周長為底、邊心距為高的直角三角形面積，然后用窮竭法證明圓面積等于直角邊長分別等于圓周長和半徑的直角三角形的面積[2].

蘇格蘭數(shù)學(xué)家普萊費(fèi)爾(J. Playfair,1748—1819)在《幾何基礎(chǔ)》(1795)中利用窮竭法證明[3]了

定理1：對(duì)于一個(gè)給定的圓，可以找到兩個(gè)相似的內(nèi)接與外切正多邊形，使其面積與圓面積之差任意小.

定理2：若圖形B的面積大于圓A的任一內(nèi)接正多邊形的面積，并且小于圓A的任一外切正多邊形的面積，則B的面積等于圓A的面積.

然后證明了

定理3：圓的面積等于以圓周長為底、半徑為高的直角三角形的面積.

延長AC至點(diǎn)K和L，使AK與AL分別等于以弦AB與切線段EF為邊的內(nèi)接、外切正多邊形的半周長，AKAH，故AD·AH

圖2 普萊費(fèi)爾對(duì)圓面積公式的證明

圖3 Morton(1830)對(duì)圓面積公式的證明

由于古希臘數(shù)學(xué)家不接受實(shí)無窮而采用繁瑣的窮竭法，但該方法始終是一個(gè)有限的過程，與當(dāng)今所說的極限還有一定的距離，依靠該方法也難以發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論.

3.2 類比法

所謂類比法，就是先證明正多邊形的面積等于周長與邊心距的乘積之半，然后將圓視為“正無窮邊形”，從而得到圓面積為其周長與半徑的乘積之半.19種教科書采用了該方法.例如，17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家奧澤南(J.Ozanam, 1640—1717)在《實(shí)用幾何學(xué)》[7](1684)中通過將正多邊形轉(zhuǎn)化為三角形(圖4)，證明其面積等于底邊長等于周長、高等于邊心距的三角形面積，然后將圓看作“正無窮邊形”，直接得出圓面積公式.

圖4 正多邊形的等積變形

18世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家拉梅(B. Lamy, 1640—1715)在其《幾何基礎(chǔ)》[8](1731)中、布爾格尼(L.de Bourgogne)在其《幾何基礎(chǔ)》[9](1735)中、瓦里尼翁(P.Varignon，1654—1722)在其《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》[10](1734)中、克萊羅(A. C. Clairaut,1713—1765)在其《幾何基礎(chǔ)》[11](1753)中、英國數(shù)學(xué)家米勒(J. Muller, 1699—1784)在《新數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》[12](1773)中都采用了這種方法.

“正無窮邊形”一說源于微積分發(fā)明者之一萊布尼茨(G. W. Leibniz, 1646—1716)的切線定義.18世紀(jì)，微積分尚未嚴(yán)密化，極限概念還不清晰，這種說法為數(shù)學(xué)家所普遍采用.

3.3 極限法

79種教科書利用“極限”工具來推導(dǎo)面積公式.有些教科書證明：當(dāng)圓內(nèi)接或外切正多邊形邊數(shù)n趨向無窮時(shí)，其周長(分別用pn和Pn表示)和面積(分別用sn和Sn表示)的極限分別是圓周長C和圓面積S；有些教科書則不加證明地直接利用了上述結(jié)論.不同教科書推導(dǎo)或證明圓面積公式的方法有以下幾種情形.

3.4 等積變形法

3.4.1 三角形法

圖5 開普勒?qǐng)A面積公式推導(dǎo)

18世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家布爾格尼除了將圓視為“正無窮邊形”外，還將圓視為“由無窮多個(gè)同心圓構(gòu)成的圖形”，把每一個(gè)圓周“拉直”，圓就轉(zhuǎn)化成了直角邊長分別等于圓周長和圓半徑的直角三角形.這種方法源于17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里(B. Cavalieri, 1598—1647)的“不可分量法”，其基本思想是：線由點(diǎn)構(gòu)成，面由線構(gòu)成，體由面構(gòu)成.如圖6，過半徑OA的端點(diǎn)A作圓的切線，取點(diǎn)B，使AB的長度等于圓周長，聯(lián)結(jié)OB.過OA上任意一點(diǎn)C作OA的垂線，交OB于D.易證：CD等于以O(shè)C為半徑的圓的周長.因此，圓O的面積等于Rt△OAB的面積[9].里瓦爾德(F. Rivard, 1697—1778)在其《幾何基礎(chǔ)》(1739)和《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》(1752)中也采用了同樣的方法.[17-18]

圖6 同心圓方法

Slaught(1911)則不通過等積變形，而直接將無窮多個(gè)小三角形的面積相加得到圓面積公式[19]，如圖7所示.

圖7 Slaught(1911)對(duì)圓面積公式的推導(dǎo)

3.4.2 平行四邊形法

3種教科書采用了平行四邊形法.Lardner(1840)采用了該方法.以圓心為頂點(diǎn)，將圓劃分為數(shù)個(gè)全等的扇形，相應(yīng)數(shù)量的相等扇區(qū)之和便是圓的面積.無限劃分扇形，沿某一扇形半徑展開，將每個(gè)小扇形弧邊上兩個(gè)點(diǎn)相接，把兩個(gè)如此操作的圓拼在一起時(shí)可以更直觀地得到一個(gè)圓的面積等于其周長與半徑乘積之半(見圖8).[20]

圖8 Lardner(1840)中平行四邊形拼接

Schoch(1904)將圓內(nèi)接正n邊形中的n個(gè)等腰三角形移到同一直線上，且相鄰兩個(gè)三角形有一個(gè)公共頂點(diǎn)，將圖形補(bǔ)成一個(gè)矩形如圖9所示，易見，圓內(nèi)接正n邊形的面積等于矩形面積之半，即正n邊形邊長與邊心距乘積之半.

圖9 圓內(nèi)接n邊形的面積

類似地，如圖10所示，將圓分割成許多小扇形，將小扇形移到一排，其中相鄰兩個(gè)扇形有一個(gè)公共點(diǎn)；將其補(bǔ)成一個(gè)近似的長方形，得到圓面積等于周長與半徑乘積之半.[21]

圖10 Schoch(1904)中的圓面積求法

Willis(1922)則將圓等分割成許多小扇形，然后將它們拼成近似平行四邊形(圖11(2)).作者設(shè)問：需要將圓分成幾部分才能拼成圖11(3)的樣子？該矩形的底與高各是多少？由此可得圓面積嗎？[22]顯然，矩形的底是圓的半周長，矩形的高是圓的半徑.因此，當(dāng)分割的份數(shù)無限大時(shí)，圓面積等于矩形面積.

圖11 Willis(1922)關(guān)于圓面積公式的證明

該方法較之僅僅將圓分割成三角形割開來算更加直觀，對(duì)比起“極限法”來說更便于理解，也是當(dāng)今教科書多采用的方式.但是在早期教科書中出現(xiàn)較晚且次數(shù)寥寥，究其原因，其一，在早期，人們?cè)谧C明方式與思想上受阿基米德的影響，運(yùn)用正多邊形逼近圓并追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程；其二，20世紀(jì)之初，“培利運(yùn)動(dòng)”促使數(shù)學(xué)教育注重幾何直觀，主張學(xué)生更多地自主探求數(shù)學(xué)中的規(guī)律而非教師引導(dǎo)下進(jìn)行空洞的邏輯推理，此時(shí)教科書才開始將學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)作為知識(shí)的發(fā)生點(diǎn)，運(yùn)用直觀的等積變形進(jìn)行幾何知識(shí)的教授.

4 證明方式的演變

以世紀(jì)為單位，圖12給出了各個(gè)方法的時(shí)間分布.

圖12 四種證明方式的時(shí)間分布

圓面積推導(dǎo)方法的演變呈現(xiàn)出由單一走向多元，最終回歸單一的趨勢.

窮竭法源于古希臘，是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家在“患”上“無窮恐懼癥”、不接受實(shí)無窮的情況下所設(shè)計(jì)的方法.受古希臘數(shù)學(xué)的深刻影響，窮竭法在17—19世紀(jì)不絕如縷，少數(shù)教科書運(yùn)用它以避開“無窮”概念.隨著微積分的創(chuàng)立與發(fā)展，人們逐漸接受“無窮”概念，窮竭法逐漸被拋棄，類比法和等積變形法登上了歷史舞臺(tái)；而隨著19世紀(jì)微積分的嚴(yán)密化和極限概念的完善，極限法后來居上，最終成為主流方法.

18世紀(jì)到20世紀(jì)之間，直觀性較強(qiáng)的“等積變形法”一直有一席之地，它是最符合低學(xué)段學(xué)生的方法，并且體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究“數(shù)形結(jié)合”的特點(diǎn).

5 教學(xué)啟示

以上我們看到，圓面積公式大致經(jīng)歷了從窮竭法到類比法、再到等積變形法、最終到極限法的歷史發(fā)展過程，體現(xiàn)了極限概念從無到有、不完善到完善的演進(jìn)過程.圓面積公式的歷史為我們提供了若干教學(xué)啟示.

(1)運(yùn)用類比，發(fā)現(xiàn)結(jié)論.首先讓學(xué)生觀察正多邊形隨著邊數(shù)越來越多，形狀越來越像圓；接著，通過等積變形，將圓內(nèi)接正多邊形轉(zhuǎn)化為三角形(圖4)，得到正多邊形面積公式；最后，通過類比，猜想圓可以轉(zhuǎn)化為三角形(圖5)，進(jìn)而得到圓面積公式.或者，首先讓學(xué)生觀察：兩組同樣的三角形(每一組含1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)等等)可拼成平行四邊形；接著，將同樣兩個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形中的各個(gè)等腰三角形剪下來，拼成平行四邊形；最后，通過類比，猜想得到兩個(gè)圓可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)平行四邊形，進(jìn)而得到一個(gè)圓的面積.

(2)通過技術(shù)，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.同心圓方法源于17世紀(jì)卡瓦列里的“不可分量法”，在今天看來并不嚴(yán)密，通過技術(shù)(如利用Geogebra軟件)，可以讓無窮小方法可視化：先將圓分割成一系列同心圓環(huán)，依次將這些圓環(huán)“拉直”，拼成近似三角形，然后讓諸圓環(huán)不斷變細(xì)、從而得到相應(yīng)的圖形越來越接近真實(shí)的三角形.

(3)關(guān)注方法，聯(lián)系古今.歷史上出現(xiàn)了圓面積公式的許多推導(dǎo)或證明方法，教師可以設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，讓學(xué)生分享自己的方法，并通過“古今聯(lián)系”的策略進(jìn)行評(píng)價(jià)，讓學(xué)生穿越時(shí)空與數(shù)學(xué)家對(duì)話，成為課堂的主人.