歐氏空間的等積變換的性質(zhì)

王朝霞，張 慶

（唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）

數(shù)學(xué)研究

歐氏空間的等積變換的性質(zhì)

王朝霞，張 慶

（唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）

首先給出了歐氏空間的等積變換的定義。其次給出4個(gè)引理并利用這些引理給出了有限維歐氏空間的兩個(gè)線性變換為等積變換的充要條件，其中一個(gè)充要條件反應(yīng)了兩個(gè)等積變換在規(guī)范正交基下的矩陣關(guān)系，另一個(gè)充要條件反應(yīng)了兩個(gè)等積變換之間的關(guān)系。最后給出了無限維歐氏空間為等積變換的一個(gè)充要條件及等積變換的一個(gè)性質(zhì)。

歐氏空間；線性變換；等積變換；規(guī)范正交基

1 引言

在歐氏空間V中，若,σ τ 為V的兩個(gè)正交變換，則對(duì)任意的ξ, η∈V，都有

反之，如果對(duì)任意的ξ, η∈V，都有

那么,σ τ 未必是為V的兩個(gè)正交變換。本文要研究保持內(nèi)積不變的同一歐氏空間的兩個(gè)線性變換的關(guān)系。

2 預(yù)備知識(shí)

定義 在歐氏空間V中，,σ τ 為V的兩個(gè)線性變換，若對(duì)任意的ξ, η∈V都有

則稱,σ τ 為V的兩個(gè)等積變換。

引理1[1]若V是歐氏空間，V的向量組

線性無關(guān)的充要條件是及

引理2 若V是歐氏空間，V的兩個(gè)向量組為由X, Y的任意性知ATA=BTB=0，即ATA=BTB。

由引理及定理1可得定理2。

定理2 若σ,τ為n維歐氏空間V的兩個(gè)線性變換，則σ,τ為V等積變換的充要條件是存在正交變換φ，使得φσ=τ。

證明 充分性。若存在正交變換φ，使得σ=φτ，則對(duì)任意的ξ,η∈V，都有

σ（ ξ）,σ（ η）=φ（ τ（ ξ））, φ（ τ（ η））=τ（ ξ）,τ（ η）

因此σ,τ為V的兩個(gè)等積變換。

必要性。若σ,τ為V的兩個(gè)等積變換，設(shè)

為歐氏空間V的一個(gè)規(guī)范正交基，σ,τ關(guān)于

的矩陣分別為A,B，由定理1，ATA=BTB，而ATA的位于第i行第j列的元素為

而BTB的位于第i行第j列的元素為

從而

由引理4，存在V的正交變換φ使得

即

又α1,α2,Λ,αn為歐氏空間V的一個(gè)規(guī)范正交基，于是φσ=τ。

推論1 設(shè)矩陣A,B為n階實(shí)矩陣，則ATA=BTB的充要條件是存在n階正交矩陣U，使得B=UA。

證明：若σ, τ為n維歐氏空間V的兩個(gè)線性變換，并且σ, τ關(guān)于V的規(guī)范正交基α1,α2,Λ,αn的矩陣分別為A,B。由定理1知，ATA=BTB的充要條件σ,τ為V的等積變換，由定理2知σ, τ為V的等積變換的充要條件是存在正交變換φ，使得φσ=τ，設(shè)并且正交變換φ關(guān)于V的規(guī)范正交基α1,α2,Λ,αn的正交矩陣為U，則B=UA。

2.2 無限維歐氏空間的兩個(gè)線性變換為等積變換的性質(zhì)

當(dāng)歐氏空間V不是有限維歐氏空間時(shí)，在討論等積變換時(shí)，不能利用規(guī)范正交基及矩陣這樣的工具，在某些條件下有以下定理。

定理3 若σ, τ為歐氏空間V的兩個(gè)線性變換，且σ或τ為可逆變換，則σ, τ為V等積變換的充要條件是存在正交變換φ，使得φσ=τ。

證明 充分性的證明與定理2相同。

必要性：若σ, τ為V的兩個(gè)等積變換，不妨設(shè)σ為可逆變換。對(duì)任意的ξ,η∈V，設(shè)

則α，β∈V。由于σ, τ為V的兩個(gè)等積變換，則

即

所以

所以，τσ-1為正交變換，令φ=τσ-1，則τ=φσ，其中φ為正交變換。

定理4 若σ,τ為歐氏空間V的兩個(gè)等積變換，則σ（V ）與τ（V ）同構(gòu)。

證明 對(duì)任意ξ∈V，令φ: σ（ ξ）→τ（ ξ），則φ是σ（V）到τ（V）的映射，且為滿射。對(duì)任意ξ, η∈V，若

由于σ, τ為V的兩個(gè)等積變換，則

所以，σ（ξ）=σ（η），即φ是σ（V ）到τ（V）的單射。對(duì)任意的ξ, η∈V及任意實(shí)數(shù)k, l，

對(duì)任意的ξ, η∈V，

因此，φ是σ(V)到τ(V)的同構(gòu)映射，亦即σ(V)與τ(V)同構(gòu)。

[1]王品超.高等代數(shù)新方法[M].濟(jì)南:山東教育出版社, 1989:462-463.

[2]張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)(第5版)[M].北京:高等教育出版社,2007:302.

[3]白述偉.高等代數(shù)選講[M].哈爾濱:黑龍江教育出版社, 1996:312.

（責(zé)任編輯、校對(duì)：趙光峰）

Properties of the Equi-Inner Product Transformation of Euclidean Space

WANG Zhao-xia, ZHANG Qing
(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Tangshan 063000, China)

This Paper introduces the definition of the equi-inner transformation of Euclidean space. Then gives four lemmas and two necessary and sufficient conditions of what the linear transformation is the equi-inner transformation. One of the necessary and sufficient conditions hint the matrix relations between the two equi-inner transformation matrices under standard orthogonal basis, the other one hint the relationship between two equi-inner transformations. Finally, the necessary and sufficient condition and a property are derived for infinite dimension Euclidean space is an equi-inner transformation.

euclidean space; linear transformation; equi-inner product transformation; standard orthogonal basis

O151

A

1009-9115(2012)05-0030-04

2012-07-20

王朝霞（1963-），女，河北唐山人，教授，研究方向?yàn)榇鷶?shù)。