基于GeoGebra平臺(tái)在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

張科研

【摘要】 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑.在高中函數(shù)主線（主要包含函數(shù)以及數(shù)列）的教學(xué)中融合信息技術(shù)（運(yùn)用GeoGebra）展開(kāi)教學(xué)，有利于激發(fā)高中生的學(xué)習(xí)興趣，優(yōu)化他們的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);高中函數(shù);教學(xué)設(shè)計(jì);GeoGebra

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的實(shí)效性.[1]運(yùn)用GeoGebra輔助高中函數(shù)教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).筆者結(jié)合GeoGebra軟件研究如何在高中函數(shù)教學(xué)中滲透核心素養(yǎng).

一、GeoGebra軟件平臺(tái)

GeoGebra即代數(shù)與幾何，顧名思義，其具有同時(shí)處理代數(shù)運(yùn)算和幾何作圖的能力.GeoGebra最早是由一位年青的奧地利數(shù)學(xué)家設(shè)計(jì)的一款開(kāi)放源代碼的動(dòng)態(tài)幾何軟件.此軟件平臺(tái)可以幫助學(xué)生走進(jìn)以模型為中心的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).某種程度上，我們可以認(rèn)為GeoGebra是認(rèn)知工具，是數(shù)學(xué)變革的工具.

GeoGebra平臺(tái)的特點(diǎn)如下：

（1）操作簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)單易學(xué);

（2）數(shù)形結(jié)合，同步變化;

（3）功能強(qiáng)大，快速展示;

（4）交流方便，師生共學(xué);

（5）源碼開(kāi)放，資源共享.

二、函數(shù)的地位與作用

自變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生以來(lái)，函數(shù)一直處于教學(xué)的核心地位，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊茵稱(chēng)函數(shù)為數(shù)學(xué)的靈魂.[2]

實(shí)際上，在初中階段學(xué)生已經(jīng)初步研究了函數(shù)概念、函數(shù)表示法和函數(shù)圖像的繪制.升入高中，學(xué)生再次走近函數(shù)，從新的角度“重塑”函數(shù)概念，就是利用集合與對(duì)應(yīng)的思想來(lái)深入理解函數(shù)的定義.這符合知識(shí)發(fā)展的螺旋上升和嚴(yán)謹(jǐn)性原則，有利于加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解.

函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容.研究函數(shù)的本質(zhì)有利于學(xué)生實(shí)現(xiàn)從整體、動(dòng)態(tài)、具體的多角度來(lái)把握函數(shù).

三、基于GeoGebra平臺(tái)在高中函數(shù)教學(xué)中滲透核心素養(yǎng)

時(shí)代在不斷發(fā)展，科技在不斷進(jìn)步，要求我們必須將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進(jìn)行整合，以信息化帶動(dòng)教育現(xiàn)代化，發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，優(yōu)化課堂教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

隨著教育信息化2.0行動(dòng)計(jì)劃的推進(jìn)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)深度融合軟件GeoGebra發(fā)展，信息技術(shù)又一次成為研究和認(rèn)識(shí)函數(shù)的強(qiáng)有力工具.

GeoGebra是計(jì)算工具，是教學(xué)工具，是認(rèn)知工具，是數(shù)學(xué)教學(xué)變革工具.[3]我們不難發(fā)現(xiàn)，軟件GeoGebra可以為學(xué)生營(yíng)造出一種多元的數(shù)學(xué)情境.在這樣的智能交互平臺(tái)上，學(xué)生可以打破傳統(tǒng)函數(shù)學(xué)習(xí)的界限，從抽象到具體，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，從有限到無(wú)限，從局部到整體等，多方面、全方位地觀察對(duì)象.這樣做的目的是促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)定義的理解，掌握概念的本質(zhì)屬性，最終讓學(xué)生真正獲得函數(shù)本質(zhì).

基于高中生的認(rèn)知水平，教師可提前布置任務(wù)：小組自行組織，然后小組合作，收集有關(guān)計(jì)算機(jī)軟件GeoGebra的資料，并學(xué)習(xí)一些簡(jiǎn)單的操作.

在實(shí)際教學(xué)中，教師可以嘗試讓學(xué)生參與問(wèn)題的探究實(shí)驗(yàn)，親身感受問(wèn)題解決的過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生良好的創(chuàng)新精神能夠得到培養(yǎng)，從而促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成.

（一）在函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)中滲透

1.輔助情境教學(xué)，發(fā)散學(xué)生的思維，滲透核心素養(yǎng)

在具體的情境教學(xué)中運(yùn)用GeoGebra平臺(tái)，如圖1所示.

2.輔助概念完善，發(fā)展學(xué)生的抽象思維，滲透核心素養(yǎng)

運(yùn)用GeoGebra繪制函數(shù)圖像，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的理解.

具體操作如下：

（1）首先找到按鈕“視圖”，然后右鍵下拉菜單中找到“指令欄”，打開(kāi)繪圖區(qū)和代數(shù)區(qū).輸入y=-ax3+8x2+4x-1后通過(guò)滑桿參數(shù)工具創(chuàng)建一個(gè)動(dòng)態(tài)參數(shù)a（-5≤a≤5），繪制出函數(shù)圖像，并且在x軸上任取一點(diǎn)A，畫(huà)出當(dāng)x=b時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像上的點(diǎn)B;

（2）再過(guò)點(diǎn)B向y軸作垂線，垂足為點(diǎn)C，鼠標(biāo)左擊點(diǎn)A并在x軸上左右拖動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)C在y軸上顯示的蹤跡就是對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像上點(diǎn)B在y軸上的投影，可觀察到函數(shù)的自變量變化以及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化.

如圖2所示.

我們可以利用滑桿參數(shù)工具a的改變?cè)俅误w會(huì)函數(shù)概念，讓學(xué)生更加清晰地認(rèn)識(shí)到：（1）函數(shù)的定義域就是A所構(gòu)成的集合，值域就是C所構(gòu)成的集合;（2）當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，值域也隨之發(fā)生變化，即每一個(gè)x都對(duì)應(yīng)著唯一確定的函數(shù)值.

教師使用GeoGebra軟件將函數(shù)概念的抽象性以動(dòng)態(tài)、直觀的方式展現(xiàn)出來(lái)，可以讓小組同學(xué)動(dòng)手嘗試設(shè)置函數(shù)進(jìn)行操作演練，提升核心素養(yǎng).

3.輔助概念辨析，發(fā)展學(xué)生的批判思維，滲透核心素養(yǎng)

對(duì)于習(xí)題：深刻理解函數(shù)相等的含義，并判斷下列哪個(gè)函數(shù)與函數(shù)y=x相等.

f=x2; f（x）=（x）2; u=3v3;m=n2n.

運(yùn)用GeoGebra繪制函數(shù)圖像并求函數(shù)值，具體操作如下：首先找到按鈕“視圖”，然后右鍵下拉菜單中找到“指令欄”，打開(kāi)繪圖區(qū)和代數(shù)區(qū)，在指令欄中輸入函數(shù)表達(dá)式即可.

要求：（1）學(xué)生可以自主完成，對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，如y=x，直接輸入“f（x）=x”，然后按回車(chē)鍵，即可繪制出函數(shù)圖像（如圖3）;

（2）對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)，如f（x）=x2，

我們要借助內(nèi)置的基本函數(shù)——算術(shù)平方根函數(shù)，即“sqrt（x）”，可以直接輸入“f（x）=sqrt（x2）”，然后按回車(chē)鍵，即可繪制出函數(shù)圖像（如圖4）;

（3）對(duì)于可以復(fù)合的函數(shù)，我們可以進(jìn)行如下操作：首先在指令欄輸入兩個(gè)函數(shù)f（x），g（x），然后在指令欄中再輸入h（x）=g（f（x）），就可以得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像.

比如，f（x）=x，g（x）=x2，然后在指令欄中再輸入h（x）=g（f（x）），就可以得到f（x）=（x）2.

分析兩個(gè)函數(shù)是否相等，始終要堅(jiān)持“一個(gè)中心、兩個(gè)基本點(diǎn)”，這里“對(duì)應(yīng)關(guān)系”為中心，“定義域和值域”為基本點(diǎn).讓學(xué)生明確：對(duì)于函數(shù)y=f（x），x∈A，函數(shù)u=g（v），v∈C，只有A=C，x0∈A，都有f（x0）=g（x0）成立，我們才可以說(shuō)這兩個(gè)函數(shù)是相等的.

（二）在函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)設(shè)計(jì)中滲透

函數(shù)單調(diào)性反映函數(shù)的“局部性質(zhì)”.通過(guò)引入必要的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言使定性刻畫(huà)上升到定量刻畫(huà)，能夠?qū)崿F(xiàn)變化規(guī)律的精確化表達(dá).這樣一種從形象直觀到定性刻畫(huà)再到抽象的符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)的研究過(guò)程，以及通過(guò)引入數(shù)學(xué)符號(hào)、借助代數(shù)語(yǔ)言精確定量地刻畫(huà)變化規(guī)律的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的一般過(guò)程，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力甚至核心素養(yǎng)都具有重要意義.運(yùn)用GeoGebra繪制函數(shù)圖像，可以感受函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性，如圖4所示.

（三）在冪函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)中滲透

以一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中涉及的函數(shù)為背景，讓學(xué)生理解一類(lèi)具體函數(shù)（冪函數(shù)）的研究?jī)?nèi)容和方法.在研究過(guò)程中融合信息技術(shù)，運(yùn)用軟件GeoGebra輔助學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)如何在一般函數(shù)的概念及基本性質(zhì)的指導(dǎo)下展開(kāi)研究.

1.運(yùn)用GeoGebra軟件繪制五種常見(jiàn)的冪函數(shù)

GeoGebra軟件功能強(qiáng)大，能實(shí)現(xiàn)數(shù)形的完美轉(zhuǎn)換.通過(guò)軟件GeoGebra，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)五個(gè)函數(shù)的特點(diǎn)，并能發(fā)現(xiàn)它們的共性特征.

2.運(yùn)用GeoGebra軟件深度拓展探究?jī)绾瘮?shù)

比如，先制作一個(gè)動(dòng)態(tài)滑桿a，范圍是[0，5]，然后在指令欄中輸入，按下回車(chē)鍵，就可以繪制冪函數(shù)圖像，如圖5所示.

（四）在指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)中滲透

1.在研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，為了幫助學(xué)生清楚理解底數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的影響，在同一直角坐標(biāo)系下分別獲得多個(gè)函數(shù)，總結(jié)歸納出一般情況下指數(shù)函數(shù)的特征.

任務(wù)：可以嘗試讓學(xué)生自行操作，通過(guò)改變底數(shù)，觀察指數(shù)函數(shù)圖像中的“變”與“不變”.

先制作一個(gè)動(dòng)態(tài)滑桿a，范圍是[0.001，5]（a≠1），然后在指令欄中輸入，按下回車(chē)鍵，就可以繪制出指數(shù)函數(shù)圖像，如圖6所示.

2.類(lèi)比指數(shù)函數(shù)，在研究對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，為了幫助學(xué)生理解底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的影響，在同一直角坐標(biāo)系下分別獲得多個(gè)函數(shù)，總結(jié)歸納出一般特征.

任務(wù)：嘗試讓學(xué)生自行操作，通過(guò)改變底數(shù)，觀察對(duì)數(shù)函數(shù)圖像中的“變”與“不變”.

先制作一個(gè)動(dòng)態(tài)滑桿a，范圍是[0.002，5]（a≠1），然后在指令欄中輸入，按下回車(chē)鍵，就可以繪制出對(duì)數(shù)函數(shù)圖像，如圖7所示.

（五）在正弦、余弦函數(shù)圖像的教學(xué)設(shè)計(jì)中滲透

新課程改革以后，三角函數(shù)出現(xiàn)在現(xiàn)有高中必修教材中，體現(xiàn)了函數(shù)家族的“龐大”.正弦、余弦函數(shù)圖像依舊是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).

正弦、余弦函數(shù)的圖像如圖8所示.

（六）在數(shù)列通項(xiàng)公式的教學(xué)設(shè)計(jì)中滲透

數(shù)列是一種特殊的函數(shù).把數(shù)列的學(xué)習(xí)與研究置于函數(shù)的大背景下，不僅可以利用函數(shù)的視角、思想方法來(lái)探究數(shù)列、促進(jìn)對(duì)數(shù)列知識(shí)的理解和學(xué)習(xí)，而且能深化對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí).在教學(xué)中，要讓學(xué)生體驗(yàn)用不同的方法表示具體數(shù)列，鞏固對(duì)通項(xiàng)公式的理解.依托信息技術(shù)軟件GeoGebra，學(xué)生嘗試體驗(yàn)、交流、分享，進(jìn)而對(duì)數(shù)列產(chǎn)生濃厚的興趣，這樣學(xué)生就自然而然地理解為什么數(shù)列是“特殊”的函數(shù).

例1 根據(jù)下面數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)，并畫(huà)出它們的圖像.

（1）an=n2+n2;（2）an=cos（n-1）π2.

引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用GeoGebra軟件深入了解數(shù)列，并學(xué)會(huì)把握數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系.題（2）的圖像如圖9所示.

四、結(jié) 語(yǔ)

核心素養(yǎng)的培育絕非一朝一夕就能完成的，一線教育工作者需在教學(xué)活動(dòng)中潛移默化地滲透.

具體應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：

1.研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，把握函數(shù)思想的“高度”和“深度”

我國(guó)數(shù)學(xué)教育家劉亦衍曾說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)教育的核心問(wèn)題是樹(shù)立函數(shù)觀念”.[3]研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，感悟函數(shù)思想的“高度”和“深度”，才能高屋建瓴地從整體上把握教材，在教學(xué)中滲透核心素養(yǎng).

2.融合信息技術(shù)，把握數(shù)學(xué)思維的“寬度”和“廣度”

現(xiàn)代信息技術(shù)支持下的高中課程整合（如計(jì)算機(jī)軟件GeoGebra的運(yùn)用），有利于學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)新素養(yǎng).反過(guò)來(lái)，學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新素養(yǎng)的發(fā)展、核心素養(yǎng)的提升，有利于信息技術(shù)的迭代更新，進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)教育乃至人類(lèi)的長(zhǎng)久發(fā)展.在社會(huì)不斷發(fā)展的今天，高中生對(duì)現(xiàn)代信息技術(shù)有了一定了解，為信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程融合奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).隨著信息技術(shù)的發(fā)展，從傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)境到動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)境的轉(zhuǎn)變，能為學(xué)生的探究活動(dòng)提供更大的空間，為學(xué)生的發(fā)展注入活力.

“互聯(lián)網(wǎng)+數(shù)學(xué)教育”將“抽象數(shù)學(xué)”變得“生動(dòng)美麗”，有益于激發(fā)高中生的學(xué)習(xí)熱情，優(yōu)化他們的科學(xué)知識(shí)體系，提高他們的創(chuàng)新精神，從而進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

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[3]王貴軍.GeoGebra與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2017.

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