類比思想在初中數(shù)學(xué)中的教學(xué)研究

宋志遠(yuǎn)

【摘要】類比思想既是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育綜合素養(yǎng)的重要方面，又是不斷發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新性數(shù)學(xué)思維能力的重要組成部分.然而，傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)并沒(méi)有對(duì)運(yùn)用類比思想的能力給予足夠的重視，存在著教師主動(dòng)運(yùn)用類比思想方法的意識(shí)薄弱、學(xué)生自身類比分析能力較差等問(wèn)題.本文闡述了類比思想的概念以及它對(duì)于初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性和意義，論述了類比思想在初中課堂教學(xué)中的應(yīng)用和類型，并結(jié)合當(dāng)前初中數(shù)學(xué)類比教學(xué)的現(xiàn)狀，從教師和學(xué)生的角度探討了培養(yǎng)數(shù)學(xué)類比思維能力的有效策略，以期為當(dāng)前基礎(chǔ)教育教學(xué)改革提供一定的參考.

【關(guān)鍵詞】類比思想;初中數(shù)學(xué);教學(xué)策略

數(shù)學(xué)是思維的體操[2].類比思想，這樣一個(gè)具有廣闊自由度和想象力的創(chuàng)造性思想，它不僅為教師提供了更豐富的教學(xué)方式，而且給予了學(xué)生更廣闊的想象力的提升空間，推動(dòng)師生形成學(xué)習(xí)共同體，一起探究全新的知識(shí)概念，探尋多樣的解題思路，探索美妙的內(nèi)在規(guī)律.類比思想在初中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，類比有著可以使數(shù)學(xué)教學(xué)更容易、更形象、更生動(dòng)的魅力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和自主探究能力.

一、類比思想的概述

（一）概念界定

從兩個(gè)或兩類對(duì)象具有某些相似或相同的屬性的事實(shí)出發(fā)，推出其中一個(gè)對(duì)象可能具有另一個(gè)或另一類對(duì)象已經(jīng)具有的其他屬性的思維過(guò)程稱為類比[4].類比思想，也可以簡(jiǎn)單地稱為類比思維，被人們譽(yù)為科學(xué)活動(dòng)中“指路明燈”“思想核心”.類比思想的宗旨是將抽象化的知識(shí)轉(zhuǎn)化為形象化的知識(shí)，將新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)，使學(xué)生可以更好地理解和接受，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，使學(xué)生克服畏難心理，提升學(xué)習(xí)興趣.

初中數(shù)學(xué)中，大量的數(shù)學(xué)知識(shí)可以應(yīng)用到類比的知識(shí)與方法.例如：一次函數(shù)與正比例函數(shù)之間的類比，一元二次方程與一元二次函數(shù)之間的類比.在初中階段，類比思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種非常重要的思想，有助于學(xué)生理解定理概念、發(fā)散思維、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)類比的思想和方法的引導(dǎo)與滲透，在這個(gè)過(guò)程中讓學(xué)生真正體會(huì)數(shù)學(xué)類比思想方法的作用與意義，從而使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)并愛(ài)上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)與創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性得到提高.

（二）教學(xué)意義

當(dāng)前教學(xué)理論研究和實(shí)踐的熱點(diǎn)問(wèn)題之一是如何提高和評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：明確提出四基目標(biāo)與基本要求培養(yǎng)學(xué)生合情推理與演繹推理等能力，進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)思維能力在教學(xué)中的重要性[1].類比思維能力便是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)關(guān)鍵能力之一.

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)：“類比就是一種相似.”類比思想是富有創(chuàng)造性的，在數(shù)學(xué)乃至所有學(xué)科中都起著關(guān)鍵性作用，在初中教學(xué)中的應(yīng)用對(duì)于改善初中數(shù)學(xué)教學(xué)效果、促進(jìn)教學(xué)方法變革及培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)新能力具有重要的意義，在教學(xué)中對(duì)促進(jìn)學(xué)生探究新知識(shí)、培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)、提高課堂教學(xué)的有效性等方面發(fā)揮著不可小視的作用[4].本文對(duì)類比思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義進(jìn)行了研究，希望進(jìn)一步促進(jìn)初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的展開(kāi)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

但在目前初中課堂教學(xué)的實(shí)際工作中，類比思想方法的傳播和滲透卻不盡人意，主要存在以下問(wèn)題：（1）當(dāng)前教師在課堂教學(xué)中主動(dòng)運(yùn)用類比思想方法的意識(shí)較為薄弱;（2）部分初中教師對(duì)于類比思想在教學(xué)中滲透的能力有待提高，部分學(xué)生表示對(duì)如何運(yùn)用類比思想進(jìn)行學(xué)習(xí)和解題感到無(wú)從下手;（3）通過(guò)走訪調(diào)查可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解題的過(guò)程中對(duì)于類比思想的運(yùn)用較少，自身類比分析能力較弱.目前，應(yīng)試教育還未真正轉(zhuǎn)化為素質(zhì)教育，為了提高升學(xué)率，免不了采用“題海戰(zhàn)術(shù)”，由于類比思維的欠缺，導(dǎo)致一些學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中做了許多遍類似的題目卻不自知，影響到學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展和提升[5].在對(duì)近年來(lái)的數(shù)學(xué)中考試題進(jìn)行研究之后，我們不難發(fā)現(xiàn)試卷中對(duì)類比思想方法的考查比例呈上升趨勢(shì).因此，如何在初中教學(xué)實(shí)踐中更好地滲透類比思想、培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力，這成為當(dāng)前需要我們教育工作者深入研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.

二、初中數(shù)學(xué)中類比思想的類型

類比數(shù)學(xué)思想的基本類型多種多樣，依據(jù)我們理解初中類比數(shù)學(xué)的各種類比思維方式特征和各種類比自身的基本特點(diǎn)，可以把基本類型大致劃分成以下三種類型：簡(jiǎn)化處理類比、結(jié)構(gòu)優(yōu)化類比、降維類比[2].

（一）簡(jiǎn)化處理類比

簡(jiǎn)化類比，即簡(jiǎn)化該問(wèn)題的基本條件和結(jié)論，通過(guò)對(duì)命題進(jìn)行類比，得到啟示，進(jìn)而尋求原命題的解決思路與方法，這一基本類型在日常的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用比較廣泛[4].這種類比類型可以促使數(shù)學(xué)分析方法和其他數(shù)學(xué)知識(shí)的相互關(guān)聯(lián)、溝通更加有效，使解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的效率有所提高，激發(fā)學(xué)生的類比思維，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)類比思維能力.

例如：已知x+y=6，xy=6，求x2+y2 .

解析：觀察題目可以發(fā)現(xiàn)，已知式中各字母的次數(shù)為1，待求式的次數(shù)為2，這就需要我們?cè)趯で蠼忸}思路與方法之前，先將待求式進(jìn)行降次處理.

解：∵x+y=6，∴（x+y）2=36，

∴x2+y2+2xy=36，

∴x2+y2=36-2xy.

∵xy=6，

∴x2+y2=36-12，

∴x2+y2=24.

在充分運(yùn)用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論和思想方法解題的過(guò)程中，應(yīng)多注意觀察式中已知項(xiàng)與未知項(xiàng)之間的聯(lián)系，將需要求解的問(wèn)題與已知條件加以對(duì)照，并進(jìn)行多角度、多方位的綜合聯(lián)想，從已知條件中尋找相似之處，以便對(duì)數(shù)式的整體框架結(jié)構(gòu)、解題的思路和方法、問(wèn)題分析及結(jié)論等做到進(jìn)一步的推遷、延伸，最終得出正確結(jié)論[3].簡(jiǎn)化處理類比有利于學(xué)生發(fā)散思維，根據(jù)所學(xué)的知識(shí)類比陌生的新知識(shí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的問(wèn)題意識(shí).

（二）結(jié)構(gòu)優(yōu)化類比

結(jié)構(gòu)優(yōu)化類比相較于簡(jiǎn)化處理類比，對(duì)類比層次的思維有一些更高的要求，因?yàn)樗鼪](méi)有現(xiàn)成的類比所要解決的問(wèn)題，但這并不意味著它不能被恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用，需要我們仔細(xì)觀察，嚴(yán)格地進(jìn)行邏輯推理.根據(jù)物品的性質(zhì)和定義類比分析，基于已知問(wèn)題的結(jié)構(gòu)相似性，以適當(dāng)?shù)念惐仍厝〈?，最后從最初的?wèn)題類比轉(zhuǎn)換到另一個(gè)問(wèn)題.這種類型在數(shù)學(xué)類比思維方法的應(yīng)用上是非常廣泛的，特別是在數(shù)與形相結(jié)合的問(wèn)題上，解決問(wèn)題是非常有效的[5].

例如：c2+d2通過(guò)結(jié)構(gòu)類比可以將其巧妙轉(zhuǎn)化為以下三種問(wèn)題：

（1）直角三角形中的斜邊長(zhǎng);

（2）直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)間距離;

（3）根式中的算術(shù)平方根形式[3].

再如：在學(xué)習(xí)中心對(duì)稱圖形后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用表格形式呈現(xiàn)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的異同點(diǎn)，以及中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系.

（三）降維類比

當(dāng)我們深入研究一個(gè)特定高緯度地區(qū)的幾何設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)，可以首先研究和幫助設(shè)計(jì)一個(gè)類似的和一個(gè)相對(duì)維度較低的幾何問(wèn)題，或?qū)⒃瓎?wèn)題直接轉(zhuǎn)化為維度較低的問(wèn)題，對(duì)其解進(jìn)行分析，從而使幾何抽象問(wèn)題變得更加具體和簡(jiǎn)單，然后采用各種數(shù)學(xué)方法來(lái)解決后者，或是嘗試充分利用從中獲得的研究結(jié)論，來(lái)幫助分析和設(shè)計(jì)解決原來(lái)那個(gè)維度相對(duì)較高的幾何問(wèn)題，我們將這種方法稱為降維類比[2].它在立體幾何中應(yīng)用比較廣泛.

例如：一只螞蟻從放在桌面上的實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)G處，其中AB=4，BC=2，BF=1，求螞蟻爬過(guò)的最短距離是多少.

分析： 要求螞蟻爬過(guò)的最短距離，我們需要把立體圖形展開(kāi)成平面圖形，找到起點(diǎn)和終點(diǎn)，然后根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”連接兩點(diǎn)，進(jìn)而找到最短路徑.這樣就將立體圖形中的最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形中利用勾股定理求斜邊長(zhǎng)的問(wèn)題.由于展開(kāi)有多種情況，所以我們要分情況討論A到G的長(zhǎng)度.

解： 第一種情況： 當(dāng)螞蟻行走正面和右面時(shí)，AG=62+12=37.

第二種情況： 當(dāng)螞蟻行走正面和上面時(shí)，AG=42+32=5.

第三種情況： 當(dāng)螞蟻行走左面和上面時(shí)，AG=52+22=29.

因?yàn)?<29<37，所以螞蟻爬過(guò)的最短距離為5.

求一只螞蟻在一立方體上兩個(gè)相對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)之間爬行時(shí)的最短距離[4]，許多學(xué)生面對(duì)這種問(wèn)題，都表示有一定難度，無(wú)從下手.這時(shí)，我們就可以通過(guò)運(yùn)用降維類比的方法將此問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，把它轉(zhuǎn)移到平面幾何當(dāng)中，就變成了在矩形中求兩個(gè)相對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)之間的距離問(wèn)題.因此，教師在課堂教學(xué)的過(guò)程中，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生嘗試把抽象問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其變得更加簡(jiǎn)單與具體，通過(guò)點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與到探究研討的過(guò)程中——提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、設(shè)計(jì)解決方案、得到結(jié)論、檢驗(yàn)證明，幫助他們樹(shù)立起學(xué)習(xí)幾何的信心[5].

三、培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力的有效策略

類比思想是數(shù)學(xué)思想中的核心內(nèi)容之一，它能促進(jìn)學(xué)生類比思維能力的培養(yǎng)和形成，促進(jìn)核心學(xué)科素質(zhì)的培養(yǎng)和確立.然而，在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于教學(xué)方法的運(yùn)用，教師缺乏靈活性，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性不高，類比思維能力的提高可能會(huì)受到不同程度的影響，因此我們不妨試著從老師、學(xué)生兩個(gè)角度對(duì)培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力的有效策略展開(kāi)探討[2].

（一）學(xué)生角度

在整個(gè)數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)中，學(xué)生處于重要的主體性地位，一切教學(xué)活動(dòng)都應(yīng)圍繞學(xué)生展開(kāi).因此，從學(xué)生的角度出發(fā)，可以采取以下措施培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力.

1.指導(dǎo)學(xué)生自主調(diào)整優(yōu)化學(xué)習(xí)方式

“再創(chuàng)造活動(dòng)”“積極的心態(tài)”“同化新的知識(shí)”等每個(gè)關(guān)鍵詞都無(wú)不透露出學(xué)生主觀能動(dòng)性的重要價(jià)值.類比思想的運(yùn)用是一種思維層級(jí)比較高的精神活動(dòng).如果學(xué)生以一種積極進(jìn)取的態(tài)度投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，類比思想自然不會(huì)是攔路石，而是成為一種幫助學(xué)生有效促進(jìn)理解與把握新知識(shí)的數(shù)學(xué)工具[4].

2.學(xué)生培養(yǎng)自身類比思維能力的有效策略

俗話講得好，“授人以魚(yú)，不如授人以漁”.學(xué)生必須在思想上重視類比思想方法，才會(huì)在學(xué)習(xí)過(guò)程中運(yùn)用.學(xué)生在課堂上傾聽(tīng)教師運(yùn)用類比思想方法分析和解答復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，只是接受了教師所給予的“魚(yú)”，而非真正能夠幫助解決他們困難的“漁”.只有掌握了“漁”，也就是數(shù)學(xué)類比思想方法，才能熟練掌握這種類型題目的知識(shí)點(diǎn)，從而提高自身類比思維能力，這一點(diǎn)是根本，也是關(guān)鍵[2].

（二）教師角度

教師作為課堂教學(xué)的組織者，在教學(xué)活動(dòng)中有著“引路人”等重要作用，因此，教師要在準(zhǔn)確理解和把握學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的同時(shí)，積極采取切實(shí)可行的方法措施來(lái)幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)類比思維能力[3].

1.正確把握運(yùn)用類比思想方法進(jìn)行教學(xué)的有效時(shí)機(jī)

首先，在新課開(kāi)始前應(yīng)用：教師可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，例舉已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)或?qū)W生身邊熟悉的案例來(lái)導(dǎo)入一堂新課.其次，在重難點(diǎn)環(huán)節(jié)應(yīng)用：教師可以運(yùn)用各種手段，花費(fèi)大量時(shí)間進(jìn)行深入分析與說(shuō)明，力求幫助學(xué)生正確地理解和把握，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.例如：相似三角形與全等三角形之間的關(guān)系，二次函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系，均可以采用類比的思想去進(jìn)行課堂教學(xué).最后，在課堂結(jié)尾應(yīng)用這一思想方法，趣味猶存，令人回味.

2.改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，積極開(kāi)展類比教學(xué)

新課程標(biāo)準(zhǔn)頒布后，不同版本的教材出現(xiàn)在教學(xué)前線，知識(shí)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出簡(jiǎn)單化的趨勢(shì).然而，考試的題目越來(lái)越復(fù)雜，這就導(dǎo)致教師在傳授教材內(nèi)容的同時(shí)，盡可能多地為學(xué)生補(bǔ)充基礎(chǔ)知識(shí)，在教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：不管學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律是什么，知識(shí)都被強(qiáng)加在每個(gè)學(xué)生身上.實(shí)際上，在教學(xué)實(shí)踐中，這種類比思維方法適合恰當(dāng)?shù)厍腥胍恍┲R(shí)點(diǎn)的歸納，才有利于訓(xùn)練學(xué)生思維，但是由于害怕浪費(fèi)時(shí)間，許多教師都是點(diǎn)到為止.例如：在講解一元一次不等式組時(shí)，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生回顧不等式及其解集、不等式的性質(zhì)、一元一次不等式等以往學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)，用類比的思想來(lái)引導(dǎo)學(xué)生思考新舊知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系.新課結(jié)束后，教師再將新舊知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比，這樣不僅可以幫助學(xué)生更好地掌握新知識(shí)，也可以使學(xué)生形成關(guān)聯(lián)記憶.因此，教師應(yīng)改變過(guò)去“滿堂灌”的教學(xué)模式，在時(shí)間分配合理的基礎(chǔ)上，注重類比思想方法的滲透，提升教學(xué)的有效性，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力[3].

四、結(jié) 語(yǔ)

類比思想對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)新人才具有重要的意義[2].在當(dāng)前教育形式的發(fā)展趨勢(shì)下，初中階段的教師一定要認(rèn)識(shí)到傳統(tǒng)教學(xué)方式所帶來(lái)的弊端，要運(yùn)用現(xiàn)代化教育思想、教育手段來(lái)保證教學(xué)效果，為學(xué)生構(gòu)建一個(gè)高效生動(dòng)的數(shù)學(xué)課堂，在課堂教學(xué)中有效滲透類比思想，引導(dǎo)他們對(duì)數(shù)學(xué)概念知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行“再創(chuàng)造”，讓學(xué)生“像數(shù)學(xué)家一樣思考數(shù)學(xué)”，并在其中學(xué)會(huì)創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)，提高舉一反三的解題能力，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的高效開(kāi)展，提高學(xué)生的類比思維能力，培養(yǎng)新時(shí)代創(chuàng)新型數(shù)學(xué)人才.

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