由“一道習(xí)題”反觀“一個(gè)單元”

錢(qián)利萍

摘 要：數(shù)學(xué)教師要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，要了解數(shù)學(xué)知識(shí)的由來(lái)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)。為了幫助學(xué)生深入理解平均分的內(nèi)涵，并順利過(guò)渡到對(duì)除法的學(xué)習(xí)，本文將對(duì)一道習(xí)題的思考延伸到對(duì)一個(gè)單元的分析，嘗試從運(yùn)算關(guān)系的角度對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)單元種子課“認(rèn)識(shí)平均分”例1、例2的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重構(gòu)，以凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);單元重構(gòu);平均分;運(yùn)算關(guān)系

一、一道習(xí)題引發(fā)的思考

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第四單元中《表內(nèi)除法（一）》的“認(rèn)識(shí)除法”板塊后安排有“練習(xí)八”供學(xué)生對(duì)板塊內(nèi)容進(jìn)行練習(xí)鞏固，其中教材第51頁(yè)的第4題（如圖1）引發(fā)了筆者的思考：

（一）在學(xué)生眼里，這幅圖是什么意思？與上個(gè)單元?jiǎng)倢W(xué)習(xí)的乘法有什么相同和不同之處？

【分析】圖中問(wèn)題的已知條件：2個(gè)魚(yú)缸里共有10條金魚(yú)，每個(gè)魚(yú)缸里分別有5條。學(xué)生聯(lián)系剛學(xué)習(xí)的除法的兩種含義，會(huì)將圖片理解為10條金魚(yú)平均分成2份，每份5條，對(duì)應(yīng)算式是10÷2=5，或10條金魚(yú)，每5條為一份，可以分成2份，對(duì)應(yīng)算式是10÷5=2。若將圖1的條件變一變，將金魚(yú)總數(shù)設(shè)計(jì)為新的數(shù)學(xué)問(wèn)題（如圖2），學(xué)生觀察分析后會(huì)理解為要求2個(gè)魚(yú)缸中的金魚(yú)有多少條，再根據(jù)乘法意義列出算式：2×5=10或5×2=10。

教師可充分利用這組圖片素材，引導(dǎo)學(xué)生將乘法和除法這兩種運(yùn)算方式的意義進(jìn)行對(duì)比。兩者的相同點(diǎn)：每份同樣多。兩者的不同點(diǎn)：乘法是求幾個(gè)相同的加數(shù)合起來(lái)是多少，結(jié)果指向“合”;除法是把總數(shù)平均分，過(guò)程和結(jié)果都指向“分”。以此讓學(xué)生在具體的情境中初步體會(huì)乘法與除法的互逆關(guān)系。

（二）如果金魚(yú)總數(shù)還是10條，但兩個(gè)魚(yú)缸里的金魚(yú)數(shù)量不同（如圖3），這一問(wèn)題可以和先前學(xué)習(xí)過(guò)的哪些知識(shí)相聯(lián)系？

【分析】把10條金魚(yú)分為2份，會(huì)出現(xiàn)兩種情況：一是每份數(shù)量相同，即平均分（如圖1）;二是每份數(shù)量不同（如圖3）。一年級(jí)的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)初步構(gòu)建了關(guān)于減法意義的模型：已知總數(shù)和其中一部分?jǐn)?shù)，求剩余部分的數(shù)（如圖4）。從減法的意義來(lái)看，總數(shù)分成兩部分，不管每份數(shù)量是否相等，求其中一部分均可以用總數(shù)減去另外一部分。因此，圖4問(wèn)題的數(shù)學(xué)算式為8-3=5。圖3求其中的一部分的數(shù)也可列式：10-4=6或10-6=4。圖1的算式也可以列為10-5=5。因?yàn)閳D1是平均分的情況，所以這一情況除了可以用減法表示，還可以用除法算式表示，這便是產(chǎn)生除法的源頭。

（三）立足單元整體，如何在“認(rèn)識(shí)平均分”的教學(xué)中做好運(yùn)算關(guān)系的重構(gòu)和聯(lián)系？

【分析】減法是將平均分和除法緊密聯(lián)系的紐帶，建立平均分與除法之間的關(guān)聯(lián)可以從“分”和 “減”入手。將物品平均分，分一次便減一次，當(dāng)減數(shù)較多時(shí)就需要用除法來(lái)計(jì)算。除法又是乘法的逆運(yùn)算，除法的產(chǎn)生和計(jì)算與乘法息息相關(guān)。因此，在單元種子課“認(rèn)識(shí)平均分”的教學(xué)中，教師將除法和減法、除法和乘法之間的關(guān)系厘清，對(duì)學(xué)生后續(xù)理解除法運(yùn)算有十分重要的意義。

二、教材單元內(nèi)容分析

學(xué)生經(jīng)歷了上述思考和分析，對(duì)加法與乘法的關(guān)系有了一定的理解，對(duì)減法和除法、乘法和除法這些運(yùn)算關(guān)系的本質(zhì)也有了一定的了解和感悟。在此基礎(chǔ)上，教師再看教材的編排：蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第四單元《表內(nèi)除法（一）》的內(nèi)容可分兩個(gè)板塊：“認(rèn)識(shí)除法”和“用口訣求商”（如圖5）。

教材把對(duì)“平均分的過(guò)程就是連續(xù)減幾個(gè)相同減數(shù)的問(wèn)題”的理解放到了“用口訣求商”板塊。從運(yùn)算關(guān)系的角度看，這樣的編排理念相對(duì)滯后，教材不能很好地解釋除法算式產(chǎn)生的過(guò)程及其必要性。對(duì)“除法是乘法的逆運(yùn)算”這一知識(shí)點(diǎn)，教材中也沒(méi)有單獨(dú)安排例題進(jìn)行專(zhuān)題講解，只是在相關(guān)練習(xí)中安排了乘除法的題組比較[1]。筆者認(rèn)為，這一單元作為讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)除法的單元，其對(duì)學(xué)生感知和理解互逆關(guān)系的作用需要教師在教學(xué)過(guò)程中加強(qiáng)。

三、重構(gòu)后的教學(xué)實(shí)踐

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：要整體把握教學(xué)內(nèi)容，注重教學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的聯(lián)系。因此，教師要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，了解數(shù)學(xué)知識(shí)的由來(lái)及其結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)。筆者站在單元整體的視角，嘗試從運(yùn)算關(guān)系的角度對(duì)“認(rèn)識(shí)平均分”的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重構(gòu)。

（一）經(jīng)驗(yàn)喚醒，在比較中認(rèn)識(shí)平均分

1.動(dòng)畫(huà)激趣，喚醒分物經(jīng)驗(yàn)

引入：生活中我們常常會(huì)遇到分東西的情況，請(qǐng)看動(dòng)畫(huà)片——貓媽媽給小貓咪買(mǎi)來(lái)了6條小魚(yú)，要分成兩堆，她可以怎么分？一個(gè)圓片代表一條小魚(yú)，想一想有幾種分法？拿出圓片試一試。

學(xué)生操作，教師巡視并選取學(xué)生不同的分法展示在磁板上（如圖6）：

學(xué)生根據(jù)以前學(xué)過(guò)的知識(shí)想出了三種不同的小魚(yú)分法，我們來(lái)分別比較一下兩堆的數(shù)量，哪堆多？

第一種：3條和3條，兩堆一樣多。

第二種：1條和5條，右邊一堆多。

第三種：2條和4條，右邊一堆多。

教師追問(wèn)：哪一種分法和另外兩種不一樣？為什么？（學(xué)生回答：第一種。兩堆一樣多）

說(shuō)明：我們平時(shí)在分物品的時(shí)候，也常常需要將其分成同樣多的幾份。今天我們就專(zhuān)門(mén)來(lái)研究這種分法。

2.多維操作，聚焦概念本質(zhì)

要求：將6個(gè)圓片分成每堆同樣多的分法還有哪些？請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍忠环帧?/p>

學(xué)生操作，教師巡視采集并展示在磁板上（如圖7）：

小結(jié)：這3種分法，都將6個(gè)圓片分成了同樣多的幾份，也可以說(shuō)每份分得同樣多（板書(shū)：每份分得同樣多）。

要求：同學(xué)們能不能選擇不同數(shù)量的圓片自己分一分，使得分出來(lái)的每份數(shù)量同樣多？

辨析：不管是用6個(gè)圓片，還是自己選擇一定數(shù)量的圓片，同學(xué)們雖然分的份數(shù)不一樣，每份的個(gè)數(shù)也不一樣，但是都有什么相同的地方？（學(xué)生回答：每份分得同樣多）這樣的分法就是數(shù)學(xué)上的平均分（板書(shū)：平均分）。

3.反例判斷，加深概念理解

提問(wèn)：下面的分法是平均分嗎（如圖8）？

明確：每份不是同樣多，所以不是平均分。

追問(wèn)：同學(xué)們能想辦法改一改，使蘿卜的分法變成平均分嗎？

教師還可以由生動(dòng)的動(dòng)畫(huà)引出問(wèn)題：6條小魚(yú)分成2份，可以怎么分？自然喚醒學(xué)生已有的分物經(jīng)驗(yàn)，在三種不同分法的數(shù)量比較中突出研究的焦點(diǎn)——每份數(shù)量同樣多。教師再通過(guò)多層次的動(dòng)手操作，讓學(xué)生獲得豐富的直觀體驗(yàn)，經(jīng)過(guò)辨析，提取平均分概念的本質(zhì)是“每份分得同樣多”，將平均分的含義烙印在學(xué)生心中。最后展示蘿卜圖，讓同學(xué)在反例中加深鞏固平均分概念。

（二）多元分析，在操作中學(xué)會(huì)平均分

1.扶著學(xué)：分析分的過(guò)程，表達(dá)分的結(jié)果

引入：同學(xué)們現(xiàn)在已經(jīng)認(rèn)識(shí)了平均分的概念。貓媽媽邀請(qǐng)聰明的同學(xué)們?nèi)ニ易隹?，她拿出了什么?lái)招待我們呢？

課件出示（圖9）：8顆糖，每個(gè)同學(xué)分2顆，可以分給幾個(gè)人？

審題：同學(xué)們讀到了哪些重要信息？開(kāi)動(dòng)腦筋想一想，“每個(gè)同學(xué)分2顆”是什么意思？

要求：從學(xué)具里拿出8個(gè)圓片，按要求分一分。

示范：誰(shuí)愿意到黑板上把自己的分法展示給大家看？請(qǐng)你一邊分一邊說(shuō)。

小結(jié)：剛才同學(xué)們動(dòng)手分一分，分了4次，就能知道糖可以分給4個(gè)人。（板書(shū)：分一分）

提問(wèn)：如果不用圓片，直接在圖上表示每人分2顆，可以怎么做？

預(yù)設(shè)：畫(huà)圈、連線、用豎線分隔等。

根據(jù)學(xué)生回答進(jìn)行課件示范（圖10）：同學(xué)們真聰明，想出了不同的符號(hào)來(lái)表示每人分2顆。老師選了其中的一種符號(hào)來(lái)表示：

啟發(fā)：同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，會(huì)分一分或者圈圈畫(huà)畫(huà)還不算厲害，要是能把剛才分一分、圈一圈的過(guò)程用算式記錄下來(lái)，那才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的高手。你們看，不管是分一次，還是圈一次，都是在8顆糖中劃出2顆，這個(gè)過(guò)程可以用什么算式來(lái)表示？（課件動(dòng)態(tài)演示）（引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到減法算式：8-2）再分一次，又少了2顆，怎么記錄？（引導(dǎo)學(xué)生列出算式：8-2-2-2-2=0）

小結(jié)：回頭看看剛才我們分糖果的過(guò)程——先動(dòng)手分一分，分了4次;然后在圖上圈一圈，圈了4次;接著又用減法算式記一記（板書(shū)：記一記），減了4次;這樣就知道分給了4人?？磥?lái)，分發(fā)糖果有不同的方法，但最后都分成了4份。

2.自主學(xué)：強(qiáng)化平均分體驗(yàn)

提問(wèn)：這時(shí)，熱情的貓媽媽又拿出了水果來(lái)招待客人。（課件出示）10個(gè)橘子，每2個(gè)分一袋，可以分成幾袋？9個(gè)草莓，每3個(gè)裝一盤(pán)，可以裝幾盤(pán)？（如圖11）

審題：同學(xué)們讀一讀，想一想，橘子和草莓要怎么分？下面就請(qǐng)同學(xué)們拿出活動(dòng)單，圈一圈，記一記，再把你得到的結(jié)果填一填。

3.回頭看：抽象出平均分的模型

小結(jié)：回頭看看剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程，同學(xué)們用不同的方法幫助貓媽媽分了8顆糖、10個(gè)橘子、9個(gè)草莓，分的時(shí)候分別先確定每人2顆、每袋2個(gè)、每盤(pán)3個(gè)，用一句話來(lái)說(shuō)，就是先確定了什么？（板書(shū)：每幾個(gè)一份）再照這樣分一分、圈一圈或記一記，就得到了要分的人數(shù)、分成的袋數(shù)、裝的盤(pán)數(shù)，也就是分成的份數(shù)（板書(shū)：分成幾份）。

提問(wèn)：請(qǐng)同學(xué)們觀察這三種分法，它們是不是平均分？

明確：每份都一樣多，這種分法是平均分。

這一環(huán)節(jié)主要幫助學(xué)生建立將一些物體按“每幾個(gè)一份”平均分的概念模型。教師將教材的例2改編成情境：分8顆糖果、10個(gè)橘子、9個(gè)草莓。三個(gè)活動(dòng)的教學(xué)由扶到放，層層推進(jìn)?；顒?dòng)1分糖果的教學(xué)中，緊扣“每人分2顆”，讓學(xué)生經(jīng)歷多種分析方式，如操作分析——?jiǎng)邮址忠环?符號(hào)分析——圈一圈、連一連、畫(huà)分隔線等;算式分析——用連減算式記錄;語(yǔ)言分析——說(shuō)一說(shuō)平均分的結(jié)果。不同的分析方式使學(xué)生初步理解“每人分2顆”的不同表示方法都能獲得關(guān)于平均分的概念。接著，教師可以放手讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，強(qiáng)化其對(duì)平均分的過(guò)程和結(jié)果的體驗(yàn)，從而逐步使其建立將一些物體按“每幾個(gè)一份”平均分的概念模型。

（三）開(kāi)放練習(xí)，在交流中強(qiáng)化平均分

引入：客人們要回家了，貓媽媽給客人準(zhǔn)備了12個(gè)蘋(píng)果。這一次，要請(qǐng)同學(xué)們自己確定每份的數(shù)量，然后可以用分一分、圈一圈和記一記的方法表示出來(lái)，最后填空。（如圖12）

學(xué)生獨(dú)立完成問(wèn)題，教師捕捉交流素材，組織全班交流。

關(guān)注：12個(gè)蘋(píng)果，每1個(gè)為一份，可以分成12份，即12-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1=0。

引導(dǎo)體驗(yàn)：同學(xué)們用減法記錄分法時(shí)要減12次“1”，有些麻煩。

相比于上文的自主練習(xí)，學(xué)生這一次要自己確定每份的數(shù)量，自由選擇不同的分析方法來(lái)算出平均分的結(jié)果。這樣的練習(xí)給學(xué)生更多選擇和思考空間，為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)提供合適的機(jī)會(huì)，也為接下來(lái)的聯(lián)動(dòng)交流提供了豐富的素材。

（四）前后聯(lián)系，在勾連中拓展平均分概念

提問(wèn)：今天學(xué)習(xí)了平均分的概念，同學(xué)們有沒(méi)有聯(lián)想到我們以前學(xué)過(guò)的什么知識(shí)？

引導(dǎo)體驗(yàn)：由每份數(shù)量一致想到多項(xiàng)求和可以用乘法計(jì)算。

平均分的教學(xué)對(duì)學(xué)生理解除法意義至關(guān)重要。平均分與除法之間有著怎樣的聯(lián)系呢？為什么除法可以表示平均分？除法從運(yùn)算角度上看，是同數(shù)連減的簡(jiǎn)便運(yùn)算。平均分具有雙重概念，既能表示“分過(guò)程”——等分和包含，又能表示“分結(jié)果”——每份分得同樣多。學(xué)生理解平均分的過(guò)程可以用連減算式來(lái)表示。當(dāng)要連續(xù)減去的數(shù)比較多時(shí)，寫(xiě)起來(lái)比較麻煩，學(xué)生對(duì)新算式的需求也就悄悄生根，平均分與除法也在此刻聯(lián)貫。而平均分與乘法的關(guān)系更是密不可分，對(duì)于平均分的結(jié)果，學(xué)生可以用口訣直接獲得，將兩者進(jìn)行聯(lián)系也為學(xué)生后續(xù)用口訣求商的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

[參考文獻(xiàn)]

陳云.單元重構(gòu)：凸顯知識(shí)聯(lián)系：《表內(nèi)除法（一）》單元教學(xué)設(shè)計(jì)[J].教育研究與評(píng)論（課堂觀察），2020（1）：38-42.