“四維”關聯(lián)的課堂轉(zhuǎn)向
——以二年級“做數(shù)學”教學實踐為例

文∣李悅

小學低年級數(shù)學課堂是激發(fā)學生數(shù)學興趣、培養(yǎng)學生關聯(lián)意識的搖籃。一線課堂更是落實數(shù)學核心素養(yǎng)的主陣地。在課改的過程中，學校的數(shù)學課質(zhì)量如何？有何需要改進的地方？帶著這樣的疑問，近年來學校實施“推門聽課”制度，以期掌握真實的一線課堂樣態(tài)。

一、數(shù)學課堂教學診斷

通過對學校低年級數(shù)學教師“推門聽課”分析發(fā)現(xiàn)，在實際教學中的低年級數(shù)學課堂，主要存在以下三個問題。

第一，知識缺少深度理解。金陵小學是一所年輕的學校，低年級的數(shù)學教師大多工作年限較短，幾乎沒有高年級的任教經(jīng)驗，這就導致在實際教學中，教師教學往往局限于教材所示的知識表層，欠缺對知識的后續(xù)理解與拓展。

第二，教師缺少關聯(lián)能力。對低年級教師的訪談發(fā)現(xiàn)，在備課中，他們更多關注一課的教學結構，稍有經(jīng)驗的教師會關注這一課在單元知識結構中的地位，尋找這一課的“前世”“來生”，但也僅限于此，他們不知道該如何將知識置于整個學習體系中進行關聯(lián)與建構。

第三，學生缺少探究經(jīng)驗。低年級數(shù)學課的知識點是一般基礎，大部分還是圍繞數(shù)領域的認識、計算等，由于知識點的淺顯易懂，在教學時教師有時會忽略學生的自主探究，而正是缺少實際探究經(jīng)驗，學生對知識理解會浮于表面，導致學習進入一個低效、淺層的不良循環(huán)。

這樣的數(shù)學課堂急需轉(zhuǎn)向。2020年10月，金陵小學有幸參與江蘇省基礎教育前瞻性教學改革實驗重大項目“數(shù)學實驗”，在一年的研究中，學校依托“做數(shù)學”，強化知識深度理解，發(fā)展教師關聯(lián)能力，豐富學生探究經(jīng)驗，實現(xiàn)以點、線、面、體“四維”關聯(lián)的課堂轉(zhuǎn)向。

二、“做數(shù)學”的基本內(nèi)涵和特征

(一)“做數(shù)學”的基本內(nèi)涵

“做數(shù)學”是學生運用材料和工具，在動手動腦相協(xié)同的過程中，通過操作體驗、數(shù)學實驗、綜合實踐等活動，理解數(shù)學知識、探究數(shù)學規(guī)律、解決問題的一種數(shù)學學習方式。結合低年級學生的身心特點，在二年級的數(shù)學課堂中，“做數(shù)學”的外顯形式更多依賴學生的操作體驗，即學生利用簡單的操作材料，在思考參與的前提下，按照一定的操作步驟展開實際體驗，并逐步剝離操作活動，從中提煉出相應的數(shù)學知識。

(二)“做數(shù)學”的基本特征

1. 思考性與目的性

“做數(shù)學”是學生動手動腦相協(xié)同的學習方式，要使學習活動順利開展的前提就是有學生的主動思考參與，因此有價值的思考是“做數(shù)學”的第一屬性。它將“做數(shù)學”與以往課堂上淺層的動手實踐操作相區(qū)別開，同時又充分概括了“做數(shù)學”的實踐價值。

目的性強調(diào)的則是“做數(shù)學”的活動目標，主要涵蓋：是否必須要進行體驗活動；如果進行活動，要達到什么樣的目的；如果不進行活動，對學生的學習會有什么樣的影響；開展什么樣的活動，不同形式的活動對學生的學習影響如何；等等。

⒉ 操作性與程序性

“做數(shù)學”在低年級的載體是各式各樣的操作活動，因此操作性是其根本，而二年級的“做數(shù)學”不僅要可操作，更要易于操作；不僅可以獨立操作，還可以合作完成；不僅在課堂上可以操作，在其他時間段，學生也可以自由嘗試操作。

程序性則賦予了“做數(shù)學”有意義的價值取向，以區(qū)別學生無序、雜亂的動手實踐，程序性活動為學生的學習提供助力，提高了操作的效率與質(zhì)量，同時也便于學生課后獨立開展。

⒊ 驗證性與重復性

“做數(shù)學”的一大魅力就是在操作活動之前，學生對于結論性知識尚不明確，或者知道一些結論，卻“不知其所以然”。因此，在思考時，學生可以提出一些假設、猜想，他們帶著這樣的目的進行操作，用自己的實際操作來驗證之前的假設、猜想是否成立，這就是“做數(shù)學”所具備的“驗證性”，這樣的學習方式更容易給學生帶來學習的快樂?！白鰯?shù)學”的操作可以不斷重復，但無論重復幾次，其最終結果不會變。對于學生來說，重復性極其重要，為他們理解數(shù)學知識搭建了扶手。

三、“做數(shù)學”的“四維”價值

(一)在“知識點”理解中開展研究

幫助學生理解數(shù)學，就是將“掌握方法”的淺層學習轉(zhuǎn)變?yōu)椤懊靼椎览怼钡纳顚訉W習，只有在“知理”的層面才能將知識技能轉(zhuǎn)化為素養(yǎng)或能力，而在小學低年段的數(shù)學課堂，“理”往往隱藏于“知識點”中。如果課堂能夠深度挖掘各知識點，而不只是完成一道道練習，學生的學習必將有深度、有質(zhì)量，課堂也將呈現(xiàn)出濃濃的數(shù)學味。

(二)在“知識串”聯(lián)結中深化經(jīng)驗

數(shù)學知識前后銜接的特質(zhì)要求學生時刻準備同化和接受新知，教師可以充分利用這一點，以尋找知識的邏輯為起點，將知識串聯(lián)成線，以組塊化的形式讓學生展開操作，鞏固學生對知識的數(shù)學理解，在逐層遞進的操作中加深“知識串”的學習體驗。

(三)在“知識面”交界中遷移方法

數(shù)學知識學習是由“這一個”向“這一類”，“這一類”向“那一類”結構的連續(xù)。連續(xù)是學生對自然生命成長結構的理解與運用。知識連續(xù)是有共性的，如果教師能夠抓住這個共性，讓學生經(jīng)歷“這一類”知識的探索，并將其學習經(jīng)驗遷移到“那一類”中去，課堂必將得到質(zhì)的飛躍。

(四)在“知識體”建構中打通脈絡

數(shù)學教學通常以“聯(lián)系”作為教學目標之一，幫助學生不斷實現(xiàn)知識、方法的聯(lián)結與重構，使新知識、新方法納入學生原有的認知結構中去，從而形成一個更寬泛、全面的認知結構。但對于小學生來說，這種“聯(lián)系”大多較隱蔽，如果教師能夠幫助學生建立“知識體”，打通學習脈絡，讓學生看到知識之間的“聯(lián)系”，必能讓學生的知識結構更加完整和牢固。

四、“做數(shù)學”的課堂轉(zhuǎn)向?qū)嵺`路徑

(一)“零維”點：知識點中深挖掘，點“聯(lián)”成線

基于二年級學生的身心特點，蘇教版數(shù)學教材的編寫在單元起始課多以點狀知識為主，學生通過學習多個不同的知識點，在單元后期逐漸將其建立聯(lián)系，完善自己的知識結構。但是這樣的點狀分布學習，容易使學生淺嘗輒止，同時也割裂了知識間的聯(lián)系，弱化了學生的關聯(lián)意識。而依托“做數(shù)學”，在知識點中深挖掘，將點狀知識串聯(lián)起來，可以解決以上問題。例如，蘇教版《數(shù)學》二年級上冊第三單元的例題1：“幾個相同加數(shù)的連加”。學生在一年級已經(jīng)學過連加，也能獨立進行連加計算，但接觸的相同加數(shù)連加多局限于三個加數(shù)。在學生的認知結構中，乘法的生長點還不夠充分，為此可以借助“做數(shù)學”活動，豐富學生的連加體驗。教師在教學時可分以下幾步進行。

第一步：教師通過用圓片擺3個2，激起學生“擺幾個幾”的學習經(jīng)驗，讓學生體會“從沒有特點的一行擺6個圓片，過渡到在一行里突出3個2”的過程。教師再通過生生間的交流，移動圓點位置擺出3個2(如圖1所示)。

第二步：教師繼續(xù)用圓片擺2個3，學生可能會重新擺成一行，也可能會在豎著擺的基礎上，換一個視角觀察。教師引導學生豎著擺不需要調(diào)整擺的方式，只需要換一個觀察視角，既可以表示3個2，也可以表示2個3，從而引導學生達成共識：豎著擺“幾個幾”，擺法只有一個，但是能表示兩種“幾個幾”(如圖2和圖3所示)。

第三步：教師將圓片表示“幾個幾”抽象成畫點子圖表示“幾個幾”，讓學生從實物表征過渡到圖形表征。在展示交流部分，先出示一幅圖表示兩種“幾個幾”的學生作品，進一步鞏固學生在第二步中的學習體驗；接著展示如“4個4”的學生作品，在交流中提高學生對點子圖的認識，這時候無論橫著看還是豎著看，都只能表示一種“幾個幾”。

(二)“一維”線：知識串中看聯(lián)結，線“聯(lián)”成面

雖然教材有時呈現(xiàn)的只是一道題目，但是它暗藏著知識邏輯或知識線。例如，蘇教版《數(shù)學》二年級下冊第六單元第73頁“動手做”(如圖4所示)，按題目要求，紅色卡片上的數(shù)都在百位，藍色卡片上的數(shù)都在十位，黃色卡片上的數(shù)都在個位，像這樣組成的3個三位數(shù)相加，無論同一個數(shù)位上的數(shù)字如何調(diào)換順序，和總是不變的。但這樣隱藏在計算法則中的規(guī)律難以被學生發(fā)現(xiàn)，而且一開始就用3個三位數(shù)展開計算活動，對計算基礎薄弱的學生來說難度太大，也不利于他們發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。因此，在教學時教師可以找到這個動手做的知識起點，用“知識起點—操作活動—知識遷移”這樣的線性活動展開，同時學生有了前期積累的線性活動經(jīng)驗，可以自發(fā)將知識向更多位數(shù)加法、減法進行“面狀遷移”。

圖4

教師教學時可分以下幾步進行。

第一步：教師通過2個兩位數(shù)相加，并交換相同顏色的數(shù)字卡片教學，鞏固學生對加法計算法則的理解，在生生交流中明確：先算個位、再算十位，滿十進一；交換成兩組不同的兩位數(shù)，但是和不變。

第二步：教師通過3個兩位數(shù)相加，并交換相同顏色的數(shù)字卡片教學，讓學生進一步感受“和不變”，并產(chǎn)生研究的欲望。再結合第一步的操作，在本輪教學的多次交換中，聯(lián)系加法計算法則嘗試對“和不變”進行解釋。在交流中加深學生認識：無論怎么交換數(shù)字，相同數(shù)位上的數(shù)字不變，總的和也不變。

第三步：教師通過發(fā)散思維，引導學生自發(fā)將第二步的學習經(jīng)驗串聯(lián)到3個三位數(shù)相加中，并在多次操作中檢驗加法計算法則對和的影響在三位數(shù)加法中是否成立。

第四步：教師通過面狀遷移，讓學生可以自由嘗試更多位數(shù)加法、減法是否存在“和不變”“差不變”現(xiàn)象，并對此作出合理解釋。

(三)“二維”面：知識面中促遷移，面“聯(lián)”成體

在教學中，還會遇到這樣一種情況，學生可以借助自己積累的操作活動經(jīng)驗，并順利遷移到具有相同活動經(jīng)驗的知識中，將其由一個知識面輻射到另一個知識面，最終將不同面的知識進行整合，建構更全面的知識體。例如蘇教版《教學》二年級上冊第一單元例題：“讓兩串彩珠同樣多，求兩個數(shù)量相差多少?！痹谝荒昙墝W生已經(jīng)學習過該類內(nèi)容，這里不僅讓學生重溫兩個數(shù)量相差多少的關系，更是讓學生在解決問題的過程中，想辦法使“不相等”變成“相等”，將以往的三種方法拓展為三類方法，進一步體驗相差數(shù)的含義，建立相差數(shù)為單、雙數(shù)時不同的解決問題體系。教師教學時可分以下幾步進行。

第一步：學生自由擺一擺，激活原有學習經(jīng)驗。在操作中鞏固對“一一對應”數(shù)學方法的理解。

①紅圓片和藍圓片一樣多。

②藍圓片比紅圓片多一些。

③紅圓片比藍圓片少一些。

第二步：引導學生按要求操作。紅圓片有8塊，藍圓片有12塊，有什么辦法讓紅圓片和藍圓片同樣多？通過學生的交流，將答案以表格的形式呈現(xiàn)。

表1 學生答案

第三步：讓學生觀察表格，交流。理論上解法有無數(shù)種，最簡單的就是藍圓片不動，紅圓片添上4塊，兩種圓片同樣多。無論哪種解法，添上的紅圓片始終比藍圓片多4塊。教師引導學生總結：只要保持較小數(shù)添的數(shù)量-較大數(shù)添的數(shù)量=相差數(shù)，兩個數(shù)量就能相等。

第四步：引導學生將知識自發(fā)遷移，從“添上圓片”遷移到“去掉圓片”，用表格形式呈現(xiàn)，交流。解法只有9種，最簡單的就是紅圓片不動，藍圓片去掉4塊，兩種圓片同樣多；無論哪種方法，去掉的藍圓片始終比紅圓片多4塊。

第五步：引導學生總結，藍圓片比紅圓片多4塊，所以可以把2塊藍圓片給紅圓片，兩種圓片就同樣多。教師鼓勵學生將知識自發(fā)遷移，選擇不同數(shù)量的兩種圓片試一試，當相差多少時，可以用“……給……多少”這樣的方式來使兩種圓片同樣多。學生將知識進行遷移，并經(jīng)歷動手操作后，提煉出“當相差數(shù)為雙數(shù)時，較大數(shù)-相差數(shù)的一半=較小數(shù)+相差數(shù)的一半；當相差數(shù)為單數(shù)時，這種方法不可以”。

(四)“三維”體：知識體中建結構，體“聯(lián)”成系

在教學中，教師除了要找到一些上位知識的邏輯起點之外，很多新知識也是后續(xù)知識的邏輯起點。例如，蘇教版《數(shù)學》二年級上冊第四單元第45頁動手做(如圖5所示)，學生能夠獨立進行操作活動，并且能夠在教師引導下認識到“擺2行，每行擺4個”和“擺4行，每行擺2個”屬于同一種方法，可以用4×2表示小正方形的總個數(shù)。但是僅僅有這樣的認識是不夠的，后續(xù)學習長方形的面積推導也會用到這樣的方法，乃至長方體的體積推導也用類似的方法，只不過從擺小正方形變成小正方體。這一系列的知識體系都是建立在擺小正方形的方法之上的，教師應在學生剛接觸擺小正方形時，就給他們埋下后續(xù)知識的種子，方便日后學生自主建構知識。

圖5

基于以上思考，教師教學時可分以下幾步進行。

第一步：用8個大小相同的小正方形擺一個長方形，可以擺( )行，每行( )個，乘法算式是 ( )。呈現(xiàn)學生作品(如圖6所示)，在交流中明確①和②是同一種擺法，③和④也是，并用表格形式進行記錄。

圖6

表2 擺法記錄

第二步：讓學生填寫用12個大小相同的小正方形擺一個長方形，可以擺( )行，每行( )個，乘法算式是 ( )。學生將前面學習的方法順利遷移與應用，讓學生積累擺小正方形的活動經(jīng)驗，又將數(shù)與形相結合，培養(yǎng)數(shù)形結合的思想。

第三步：給出指定大小的長方形，需要多少個小正方形才能填滿？學生通過擺小正方形操作，得出正確答案，并在生生交流中，明確擺小正方形的不同方式，可以全部擺滿，也可以用一個小正方形依次擺一擺，數(shù)一數(shù)。

第四步：教師向?qū)W生提問“想一想，去掉哪些小正方形，你依然能夠確定長方形里小正方形的總數(shù)”。學生通過不斷操作(如去掉小正方形)，對比不同方法(如圖7所示)，得出“只要剩下的小正方形里能夠看出6×3，那么就能確定長方形里小正方形的總數(shù)”，這為學生日后學習長方形面積打下了基礎。

圖7

第五步：教師向?qū)W生提問“想一想，去掉哪些小正方體，你依然能夠確定長方體里小正方體的總數(shù)”。學生通過不斷操作(如去掉小正方體，如圖8所示)，得出“只要能看出每行幾個，擺了幾行，擺了幾層，就能夠用乘法算式算出長方體里小正方體的總數(shù)”，這為學生以后學習長方體體積打下了基礎。

圖8

綜上所述，“做數(shù)學”要在低年級動手操作，充分調(diào)動學生的學習興趣；以“點、線、面、體”四個維度展開的“做數(shù)學”活動，讓學生的思維向更深處漫溯,培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)。但該方法目前只局限于二年級的實踐研究，其他年級的“做數(shù)學”是否也能在“四維”中展開，將是我們后續(xù)研究的重點。