模糊n-cell數(shù)值函數(shù)的半連續(xù)性及凸性問(wèn)題的研究

蘇 群，包玉娥

（內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

由于n-維模糊數(shù)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，它無(wú)法用通常的實(shí)值函數(shù)族來(lái)刻畫一般的n-維模糊數(shù)，這樣就給n-維模糊數(shù)和n-維模糊映射及其應(yīng)用的討論帶來(lái)了很大的困難。2002年，WANG等在文獻(xiàn)［1］中引進(jìn)了一種特殊的便于實(shí)際應(yīng)用的n-維模糊數(shù)—模糊n-cell數(shù)的概念。從此，模糊n-cell數(shù)、取值為模糊n-cell數(shù)的模糊n-cell數(shù)值函數(shù)及應(yīng)用問(wèn)題得到了一系列的討論［2-3］。當(dāng)n=1時(shí)，模糊1-cell數(shù)值函數(shù)就是通常的模糊值函數(shù)（模糊映射）。關(guān)于模糊值函數(shù)的半連續(xù)性問(wèn)題的研究，MAGASSY等在文獻(xiàn)［4］中給出了定義在［a，b］上的模糊值函數(shù)的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ及Ⅳ型等4種半連續(xù)性概念，并討論了相關(guān)的性質(zhì)。2006年，BAO等在文獻(xiàn)［5］中將上述半連續(xù)概念進(jìn)行了推廣給出了定義在一個(gè)n-維歐式空間中的非空子集上的模糊值函數(shù)的半連續(xù)性概念，并討論了半連續(xù)模糊值函數(shù)的凸性問(wèn)題，得到了模糊值函數(shù)為凸的幾個(gè)充分條件。SYAU等在文獻(xiàn)［6］中利用模糊數(shù)的參數(shù)化表達(dá)式，給出了半連續(xù)模糊值函數(shù)為凸的充分條件。WU等在文獻(xiàn)［7］中給出了半連續(xù)模糊值函數(shù)為廣義凸的充分條件及其應(yīng)用。2013年，LI等在文獻(xiàn)［8］中進(jìn)一步利用半連續(xù)刻畫了凸模糊值函數(shù)，嚴(yán)格凸模糊映射和半嚴(yán)格凸模糊值函數(shù)。關(guān)于模糊n-cell數(shù)值函數(shù)的半連續(xù)性問(wèn)題的研究，2016年，GONG等在文獻(xiàn)［9］中，利用n-維模糊數(shù)空間上的基于支撐函數(shù)的偏序關(guān)系，給出了n-維模糊數(shù)值函數(shù)的半連續(xù)性概念，并給出了半連續(xù)n-維模糊值函數(shù)為凸和廣義凸的若干充分條件。筆者受文獻(xiàn)［5-7］的啟發(fā)，利用模糊n-cell數(shù)空間上的基于模糊數(shù)的偏序關(guān)系，討論一類特殊的n-維模糊值函數(shù)——模糊n-cell數(shù)值函數(shù)的半連續(xù)性及凸性問(wèn)題。

1 預(yù)備知識(shí)

2 模糊n-cell數(shù)值函數(shù)的半連續(xù)性

利用基于模糊n-cell數(shù)的半序關(guān)系來(lái)引進(jìn)模糊n-cell數(shù)值函數(shù)的半連續(xù)性概念，并討論其相關(guān)性質(zhì)。

定義5設(shè)F:[ɑ,b]→L(En)是模糊n-cell數(shù)值函數(shù)，t0∈[ɑ,b]。若對(duì)任意的ε＞0，存在δ＞0，當(dāng)t∈[ɑ,b]且 |t-t0|＜δ時(shí)，有F(t)≤F(t0)+ε~(F(t0)≤F(t)+ε~)，則稱F在點(diǎn)t0處是上（下）半連續(xù)。

若F在每一點(diǎn)處都是上（下）半連續(xù)的，則稱F在[ɑ,b]上是上（下）半連續(xù)的。

注1：當(dāng)n=1時(shí)，定義5給出的半連續(xù)性概念與文獻(xiàn)［5］所給出的模糊值函數(shù)的半連續(xù)性概念相同。即定義5可以視為模糊值函數(shù)的半連續(xù)性概念在模糊n-cell數(shù)值函數(shù)上的推廣。

定理3設(shè)F:[ɑ,b]→L(En)為F(t)=(F1(t),F2(t),...,Fn(t))，t∈[ɑ,b]，其中，F(xiàn)i:[ɑ,b]→E1，i=1,2,...,n，則F(t)在[ɑ,b]上是上（下）半連續(xù)的充要條件，對(duì)于每一個(gè)i，模糊值函數(shù)Fi(t)均在[ɑ,b]上是上（下）半連續(xù)的。

3 模糊n-cell數(shù)值函數(shù)的凸性

利用在模糊n-cell數(shù)空間上的基于模糊數(shù)的半序關(guān)系來(lái)討論模糊n-cell數(shù)值函數(shù)的凸性問(wèn)題。

4 結(jié)論

模糊n-cell數(shù)值函數(shù)是取值為模糊n-cell數(shù)的一類特殊的n-維模糊值函數(shù)，由于模糊n-cell數(shù)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易刻畫，模糊n-cell數(shù)值函數(shù)的分析性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題成為模糊分析學(xué)的研究熱點(diǎn)之一。筆者利用基于模糊數(shù)的模糊n-cell數(shù)空間上的偏序關(guān)系提出了模糊n-cell數(shù)值函數(shù)半連續(xù)和凸性的概念，討論了半連續(xù)模糊n-cell數(shù)值函數(shù)的凸性問(wèn)題，給出了2個(gè)充分條件。所得到的一些結(jié)論，為進(jìn)一步研究半連續(xù)模糊n-cell數(shù)值函數(shù)的廣義凸性及凸模糊優(yōu)化問(wèn)題打下了良好的基礎(chǔ)。