為數(shù)學(xué)思考習(xí)慣的養(yǎng)成而教

馮中芹 展國培

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是“教會學(xué)生思考”.要培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思考習(xí)慣，需要我們尊重學(xué)生的認(rèn)知差異，放慢教與學(xué)的節(jié)奏，給學(xué)生以充分的時間和空間進行探究分析;設(shè)計好貼近學(xué)生的認(rèn)知水平和思維規(guī)律的問題探究和解決策略，讓其更好地理解數(shù)學(xué).

【關(guān)鍵詞】思考習(xí)慣;數(shù)學(xué)思維;數(shù)學(xué)教學(xué)

1 問題的提出

葉圣陶先生說過，教師工作的最終目的，無非是培養(yǎng)學(xué)生具有各種良好的習(xí)慣.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》（以下簡稱新課標(biāo)）指出，教師要把教學(xué)活動的重心放在促進學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)上，不僅限于講授與練習(xí)，也包括引導(dǎo)學(xué)生閱讀自學(xué)、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等.幫助學(xué)生養(yǎng)成“敢于質(zhì)疑、善于思考、理解概念、把握本質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、明晰算理”等良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣[1].學(xué)生學(xué)會思考了，就會發(fā)現(xiàn)問題和解決問題，進一步理解概念、把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).

一種好的習(xí)慣是需要培養(yǎng)的，是一種潛移默化的過程，其變化是緩慢的、細(xì)微的、它需要時間的積淀.要培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思考習(xí)慣，需要我們在課堂教學(xué)中做到“節(jié)奏慢下來，思維跟上去”.節(jié)奏慢下來，學(xué)生才有充分的時間去探究、思考辨析、體驗方法、感悟思想，知識遷移才能順應(yīng)而生.因此，“教會學(xué)生數(shù)學(xué)地思考問題”、打通學(xué)生思維的“最后一公里”是我們數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要任務(wù).

最近在學(xué)校開展的“新時代如何踐行葉圣陶教育思想”的研討活動中，筆者開設(shè)了一節(jié)高二新授課，課題是“用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（第1課時）”，所用教材是蘇教版（2012版）選修2-2.下面結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)實踐談一些對該問題的認(rèn)識，供參考.

2 “用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性”的實踐

2.1 學(xué)生基本情況

授課對象是蘇州市吳中區(qū)的四星級普通高中的高二學(xué)生，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力一般、獨立發(fā)現(xiàn)、思考問題的習(xí)慣一般.

2.2 教學(xué)內(nèi)容分析

“用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性”是在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念、運算及幾何意義的基礎(chǔ)上，學(xué)生進一步理解導(dǎo)數(shù)的概念及其應(yīng)用的內(nèi)容.本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容不僅是導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的延續(xù)，更是為后面研究函數(shù)的極值和最值以及函數(shù)的其它性質(zhì)打好基礎(chǔ).高一時，學(xué)生學(xué)過了利用函數(shù)的圖象和定義判斷單調(diào)性.通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，應(yīng)讓學(xué)生體驗到“導(dǎo)數(shù)法”判斷函數(shù)單調(diào)性的廣泛性和一般性.學(xué)生的認(rèn)知障礙是函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的必然聯(lián)系.也就是說，從定義法和圖象法如何過渡到導(dǎo)數(shù)法的？教學(xué)過程中，應(yīng)注重從特殊到一般、從簡單到復(fù)雜、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)研究的一般性觀念的滲透，掌握觀察、比較、分析、綜合等數(shù)學(xué)思考方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

2.3 教學(xué)目標(biāo)

通過具體函數(shù)的單調(diào)性與圖象的變化規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng);通過從形到數(shù)的理性思辨，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng);通過初等方法與導(dǎo)數(shù)方法的比較，建立研究函數(shù)單調(diào)性的一種模型（導(dǎo)數(shù)法），培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).

2.4 教學(xué)過程簡錄

2.4.1 投石問路，摸清認(rèn)知基礎(chǔ)

例1 請說出函數(shù)y=x2-2x的單調(diào)區(qū)間，并說明理由.

（設(shè)計意圖 回顧舊知，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩方面對問題進行解釋.）

生 從圖象可知，該函數(shù)的減區(qū)間是-∞，1，增區(qū)間是1，+∞.

師 除了從函數(shù)的圖象的變化趨勢可看出單調(diào)區(qū)間外，還有別的辦法嗎？

生 用定義判斷.

師 請你到黑板上寫出具體的判斷過程.

（設(shè)計意圖 函數(shù)單調(diào)性的定義是本節(jié)課的認(rèn)知起點，必須讓所有學(xué)生清楚定義的形式化表示.）

師（板書）函數(shù)單調(diào)性的定義.

一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是I，區(qū)間DI

如果x1，x2∈D，當(dāng)x1

如果x1，x2∈D，當(dāng)x1fx2，那么就稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞減.

特別地，當(dāng)函數(shù)f（x）在其定義域上單調(diào)遞增（遞減）時，就稱函數(shù)f（x）是增（減）函數(shù).

師生共同歸納 判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）圖象法;（2）定義法.

2.4.2 問題驅(qū)動， 引發(fā)認(rèn)知沖突

例2 你能說出函數(shù)fx=13x3-x2+1的單調(diào)區(qū)間嗎？為什么？

（設(shè)計意圖 學(xué)生不知道圖象怎么畫，用單調(diào)性定義也不易判斷.引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望.另外，該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是前面的引例.）

生 設(shè)x1，x2∈R，且x1>x2，

則fx1-fx2=x1-x213x12+x1x2+x22-x1+x2，接下去不會了.

師 你怎么想到用定義的？

生 圖象不知道怎么畫，只好從定義入手.

師 很好，我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，要養(yǎng)成從概念出發(fā)的思考習(xí)慣.當(dāng)已有的知識無法解決當(dāng)前問題時，我們應(yīng)當(dāng)思考，有沒有新的方法呢？新方法從哪兒來呢？

師 數(shù)形結(jié)合是研究函數(shù)最常用的思想方法.函數(shù)的圖象能直觀地反映函數(shù)的變化趨勢，而圖象又是函數(shù)的單調(diào)性的幾何表達，因此由圖象入手是一個可行的方案.

有學(xué)生插嘴，問題是這個三次函數(shù)的圖象不知道是什么鬼？其余學(xué)生大笑.

師 該同學(xué)說得好.在解決新問題時，不妨先退到知識的原點，退到我們熟悉的例子.

選擇哪個函數(shù)的圖象？

（設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)單調(diào)性的幾何意義上追根溯源，從熟悉的二次函數(shù)的圖象開啟探究之旅.）

2.4.3 特例分析，形成直觀感知

師 導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)的變化率刻畫了函數(shù)變化的趨勢（上升或下降的陡峭程度），而函數(shù)的單調(diào)性也是對函數(shù)變化趨勢的一種刻畫，那么導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有什么聯(lián)系呢？我們能否用“導(dǎo)數(shù)”來解決這個問題呢？（板書課題 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）.

師 在拋物線y=x2-2x上任取一點A，你能畫出點A處的切線嗎？該切線的斜率是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？并思考，當(dāng)點A在拋物線上移動時，切線斜率的符號變化情況（幾何畫板演示）.

生 當(dāng)點A在拋物線的對稱軸右側(cè)部分移動時，切線斜率為正數(shù);當(dāng)點A在拋物線的對稱軸左側(cè)部分移動時，切線斜率為負(fù)數(shù);當(dāng)點A在拋物線的頂點處時，切線斜率等于0.

師 聯(lián)系二次函數(shù)y=x2-2x的單調(diào)性，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生 當(dāng)點在增區(qū)間1，+∞內(nèi)時，該點處的切線斜率是正數(shù);當(dāng)點在減區(qū)間-∞，1時，該點處的切線斜率是負(fù)數(shù).

師 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)fx圖象上一點處的切線的斜率就是該點處的導(dǎo)函數(shù)的值.你認(rèn)為，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)具有怎樣的關(guān)系？

師 回顧剛才的研究過程.

師生共同總結(jié) （板書）

一般地，我們有下面的結(jié)論

對于函數(shù)y=fx，如果在某區(qū)間上f′x>0，那么fx為該區(qū)間上的增函數(shù);如果在某區(qū)間上f′x<0，那么fx為該區(qū)間上的減函數(shù).特別地，當(dāng)在某區(qū)間上f′x=0，那么fx為該區(qū)間上的常數(shù)函數(shù).

學(xué)生練習(xí) 讓學(xué)生再列舉幾個熟悉的初等函數(shù)驗證上述結(jié)論.

設(shè)計意圖 通過學(xué)生熟悉的問題，體驗剛習(xí)得的新知的準(zhǔn)確性和廣泛性.

2.4.4 理性思辨，打通新舊聯(lián)系

師 上述結(jié)論是我們通過觀察函數(shù)圖象得到的.只是一個猜想，正確嗎？

設(shè)計意圖 觀察的結(jié)論是否正確，最好的方法是證明;如不能證明，至少要讓學(xué)生明白這種猜想的合理性.這是數(shù)學(xué)理性精神的需要，也是數(shù)學(xué)育人價值之所在.

師 華羅庚先生講過，數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微.我們應(yīng)當(dāng)從哪個方向切入思考？

生 從數(shù)的角度.聯(lián)系單調(diào)性定義和導(dǎo)數(shù)的定義，尋找二者之間的聯(lián)系.

學(xué)生展示.

如果函數(shù)fx在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，那么對任意的x1，x2∈a，b，當(dāng)x10，即ΔyΔx>0.

這表明，導(dǎo)數(shù)大于0與函數(shù)單調(diào)性密切相關(guān).

2.4.5 逆向思維，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

思考 如果函數(shù)fx在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，那么在該區(qū)間上必有f′x>0嗎？

師啟發(fā) 要說明一個命題是假命題，我們只要列舉出一個反例即可.

生 函數(shù)y=x3在R上單調(diào)遞增，但f′x≥0.

學(xué)生練習(xí) 用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)fx=x2-2x在哪個區(qū)間上是增函數(shù)，在哪個區(qū)間上是減函數(shù).

2.4.6 數(shù)學(xué)應(yīng)用，形成解題策略

例1 求函數(shù)fx=2x3-6x2+2的單調(diào)區(qū)間.

例2 求函數(shù)fx=x-2sinxx∈0，2π的單調(diào)區(qū)間.

學(xué)生歸納用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟 （1）確定函數(shù)定義域;（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù);（3）解不等式f′x>0，得函數(shù)的遞增區(qū)間;解不等式f′x<0，得函數(shù)的遞減區(qū)間.

設(shè)計意圖 兩個例題逐層遞進，學(xué)生通過比較與小結(jié)，體會導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的一般性.例2對部分學(xué)生可能是一個挑戰(zhàn)，因為三角函數(shù)的知識差不多都忘了，教學(xué)時要注意到這一點.

練習(xí) 求函數(shù)fx=13x3-x2+1的單調(diào)區(qū)間，并畫出函數(shù)的草圖.

課后思考 函數(shù)fx=13x3-x2+1與函數(shù)fx=x2-2x的圖象之間具有怎樣的關(guān)系.

（設(shè)計意圖 將學(xué)習(xí)延伸到課外，為下面學(xué)習(xí)函數(shù)的極值作鋪墊.）

3 教學(xué)反思

本節(jié)課內(nèi)容看似“簡單”，學(xué)生看看書就懂.筆者以往的教學(xué)經(jīng)驗表明，如果簡單介紹一下用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，再配上幾道例題和大量的練習(xí)，學(xué)生考出的成績也不會太差.然而，新課標(biāo)要求我們在教學(xué)過程中，“既要關(guān)心學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程.在學(xué)習(xí)的過程中掌握數(shù)學(xué)思想方法，解決實際問題，促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì).”[1]如何較好地落實該理念呢？筆者采用了“慢節(jié)奏”的教學(xué)方式，具體如下

3.1 尊重認(rèn)知差異，放慢教學(xué)節(jié)奏

心理學(xué)研究表明，學(xué)生的認(rèn)知差異主要表現(xiàn)在認(rèn)知水平和認(rèn)知方式兩方面的差異.認(rèn)知水平的差異又具體表現(xiàn)在一般認(rèn)知能力的差異和起點能力的差異.一般認(rèn)知能力的差異體現(xiàn)在學(xué)習(xí)者認(rèn)知水平發(fā)展的早晚、高低、快慢之分以及認(rèn)知策略的差異等，起點能力差異即學(xué)習(xí)者要獲得某領(lǐng)域知識和技能前所應(yīng)當(dāng)具備的專門能力的差異，即學(xué)生的現(xiàn)有的發(fā)展水平的差異.認(rèn)知方式的差異是指學(xué)習(xí)者在對信息進行組織和加工的過程中表現(xiàn)出來的個別差異，表現(xiàn)為人的知覺、記憶、思維以及解決問題能力的差異.由于學(xué)習(xí)個體的認(rèn)知差異、人格差異、智力差異等因素，導(dǎo)致其在學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的狀態(tài)也有所不同，他們的學(xué)習(xí)方式、思考習(xí)慣、學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)意志等也各不相同.只有認(rèn)清和尊重學(xué)生的個體差異，才能有效實現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展”的理念.本節(jié)課中，針對有些學(xué)生的認(rèn)知起點的差異（如單調(diào)性定義不清楚、或不能形式化表達定義）、學(xué)生的認(rèn)知方式和水平的差異（如數(shù)形溝通的能力不同、單調(diào)性定義的形式化表達過程中的等價變形等），在“函數(shù)單調(diào)性的定義”、“導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系”的探究、例2的教學(xué)等環(huán)節(jié)都放慢了教學(xué)的節(jié)奏，讓學(xué)生去想、動手計算等.

3.2 選擇合適路徑，培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣

本節(jié)課的另一個特點就是教學(xué)生怎樣思考.哲學(xué)家胡塞爾認(rèn)為，與其把科學(xué)定義為“事實的研究”，不如把科學(xué)定義為“理性的啟示”.學(xué)生對數(shù)學(xué)新知的研究和學(xué)習(xí)，離不開教師的啟發(fā)和誘導(dǎo).教師應(yīng)當(dāng)圍繞學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計出一系列的問題，引領(lǐng)學(xué)生的思維;選擇貼近學(xué)生的思維路徑，提高學(xué)生自主探究的有效性.筆者通過“啟發(fā)、設(shè)問、追問、討論、辨析”等教學(xué)方式，讓學(xué)生自主完成知識的建構(gòu).在問題解決的過程中，幫助學(xué)生養(yǎng)成如下的數(shù)學(xué)思考 習(xí)慣從概念出發(fā)、以退為進、從特殊到一般、聯(lián)想比較、綜合分析、實例驗證、數(shù)形結(jié)合等.

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是“教會學(xué)生思考”.教師要把數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程和思維進階的合理性放在首位，改變重結(jié)論輕過程的教學(xué)陋習(xí)，為學(xué)生“良好的數(shù)學(xué)思考習(xí)慣的養(yǎng)成而教”.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）[M].人民教育出版社，2018