培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程思想的有效途徑

趙玲 王淳

【摘要】函數(shù)與方程思想就是將函數(shù)思想與方程思想進(jìn)行融合，利用函數(shù)與方程的觀點(diǎn)解決問題的思維方式，它是學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的組成成分.因此，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程思想就顯得尤為重要.而課堂教學(xué)環(huán)節(jié)是教師培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程思想的主要途經(jīng)，但是大部分教師只是在例題和練習(xí)環(huán)節(jié)中讓學(xué)生自己體會函數(shù)與方程思想，忽略了在課堂教學(xué)的其他環(huán)節(jié)中幫助學(xué)生建構(gòu)函數(shù)與方程思想，導(dǎo)致教師對函數(shù)與方程思想的滲透程度不夠，學(xué)生缺乏函數(shù)與方程思想的思維能力.因此，本文以高中教材中的部分知識內(nèi)容為載體，以課堂引入、概念的形成過程、課堂總結(jié)這三個教學(xué)環(huán)節(jié)為主要途經(jīng)，提出滲透函數(shù)與方程思想的方法.增強(qiáng)教師對函數(shù)與方程思想的滲透程度，提高學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與方程思想的意識和能力.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)與方程;培養(yǎng)途經(jīng);課堂教學(xué)

1 概述

函數(shù)與方程思想就是將函數(shù)思想與方程思想進(jìn)行融合，利用函數(shù)與方程的觀點(diǎn)解決問題的思維方式.將函數(shù)與方程思想用于指導(dǎo)解題就是要善于利用函數(shù)和方程的觀點(diǎn)去分析問題和解決問題，它是學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的組成成分.高中教材中方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式、求曲線的方程等內(nèi)容都滲透著函數(shù)與方程思想.求方程的根、解決數(shù)列、不等式、三角函數(shù)、解析幾何以及導(dǎo)數(shù)問題等諸多高考題中都體現(xiàn)著函數(shù)與方程思想的具體應(yīng)用.因此，從提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、教材的編排以及高考題的考查情況這三個方面，都可以看出在高中階段培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程思想的重要性.

2 當(dāng)前存在的問題

高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是教師培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程思想的主要途經(jīng)，具體表現(xiàn)為通過教師在課堂教學(xué)中深入分析數(shù)學(xué)內(nèi)容，提煉數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而使學(xué)生在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中反復(fù)體驗(yàn)對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識并將其領(lǐng)悟和運(yùn)用.在教學(xué)過程中，雖然大部分教師都意識到了函數(shù)與方程思想對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力提升的重要性，但是他們僅將函數(shù)與方程思想作為解題手段而簡要提及，以例題和練習(xí)環(huán)節(jié)為主要途經(jīng)，通過大量題目的訓(xùn)練，使學(xué)生自己體會函數(shù)與方程思想[1]REF_Ref86562971＼r＼h＼*MERGEFORMAT.教師忽視了以課前引入、概念的形成過程、課堂總結(jié)這三個教學(xué)環(huán)節(jié)中為途徑，挖掘函數(shù)與方程思想的重要性，導(dǎo)致教師對函數(shù)與方程思想的滲透程度不夠，下面具體分析高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中滲透函數(shù)與方程思想存在的問題.

2.1 忽視在課堂引入環(huán)節(jié)中對函數(shù)與方程思想的挖掘

課堂引入是教師將數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想貫穿于整個課堂，進(jìn)而打開學(xué)生數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵環(huán)節(jié).因此，在具體的教學(xué)中，教師應(yīng)該以問題為驅(qū)動，以學(xué)生能夠接受、可以理解的形式進(jìn)行直觀教學(xué)，對隱含在數(shù)學(xué)內(nèi)容中的函數(shù)與方程思想進(jìn)行深度挖掘.但是，在具體的教學(xué)時，很多教師卻忽視了在課堂引入環(huán)節(jié)中對函數(shù)與方程思想的挖掘.

例如 在《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》的課堂引入環(huán)節(jié)中，大部分教師采用讓學(xué)生通過思考一元二次方程的根和二次函數(shù)圖象的關(guān)系引入.雖然一元二次方程和二次函數(shù)是學(xué)生能夠理解和接受的內(nèi)容，但是學(xué)生普遍存在這樣的疑惑：一元二次方程的根能用求根公式求解，對應(yīng)的函數(shù)圖形與x軸的交點(diǎn)可以畫出來，為什么還要學(xué)習(xí)它們兩者間的聯(lián)系.出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因是教師沒有將函數(shù)與方程思想蘊(yùn)含在課堂引入環(huán)節(jié)中使其打開學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.因此，學(xué)生在思維活動中體會不到函數(shù)與方程的聯(lián)系.

2.2 忽視在概念的形成過程中對函數(shù)與方程思想的挖掘

函數(shù)與方程思想是從數(shù)學(xué)概念中提煉和再概括的產(chǎn)物，它具有高度的概括性和較強(qiáng)的指導(dǎo)性[1]REF_Ref86562971＼r＼h＼*MERGEFORMAT.但是在具體的教學(xué)中，很多教師只注重學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的記憶，忽視對概念的形成過程進(jìn)行深層次的挖掘，導(dǎo)致學(xué)生很難體會隱含在概念形成過程中的函數(shù)與方程思想.

例如 《雙曲線的漸近線》的講授過程，教師只是通過幾何畫板演示漸近線的存在，然后教授學(xué)生求雙曲線方程漸近線的方法，忽略了漸近線概念的來源以及形成過程.使得學(xué)生產(chǎn)生為什么雙曲線有漸近線，而橢圓沒有漸近線的疑惑.出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因是高中教材中雙曲線的漸近線概念是以結(jié)論的形式呈現(xiàn)，很多教師由于自身無法解釋漸近線的本質(zhì)，沒有對漸近線的來源和形成結(jié)果進(jìn)行深層次的挖掘，只是將教材上的結(jié)論灌輸給學(xué)生，因此，學(xué)生很難體會隱含在漸近線概念的形成過程中產(chǎn)生的函數(shù)與方程思想.

2.3 忽視在課堂總結(jié)中對函數(shù)與方程思想的系統(tǒng)性建構(gòu)

在課堂小結(jié)中，教師不僅要對基本知識和基本方法進(jìn)行總結(jié)，還要對本節(jié)課蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行總結(jié)，使學(xué)生在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中對蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想有更清晰的認(rèn)識.在章節(jié)和單元復(fù)習(xí)課中，教師還要把體現(xiàn)函數(shù)與方程思想的分散知識點(diǎn)和問題搜集起來進(jìn)行總結(jié)，使學(xué)生在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中對函數(shù)與方程思想進(jìn)行系統(tǒng)化的建構(gòu).但是，在具體的課堂總結(jié)中，教師只注重對基本知識和基本方法進(jìn)行總結(jié)，并未對蘊(yùn)含的函數(shù)與方程思想進(jìn)行揭示.

例如 在《數(shù)列》的章節(jié)總結(jié)中，教師只總結(jié)數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式以及解題技巧和解題方法，沒有引導(dǎo)學(xué)生去理清函數(shù)、數(shù)列與不同知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，對函數(shù)與方程思想進(jìn)行系統(tǒng)性的梳理.導(dǎo)致這種現(xiàn)象的主要原因是教師本身對數(shù)列章節(jié)的內(nèi)容缺少深層次的學(xué)習(xí)和思考，自身對數(shù)列的章節(jié)知識沒有形成較為完整的知識體系.因此，教師就不能指導(dǎo)學(xué)生將蘊(yùn)含著函數(shù)與方程思想的分散知識點(diǎn)和問題進(jìn)行合理的重建和系統(tǒng)化的儲存.

3 培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程思想的途經(jīng)

上述分析了教師在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中滲透函數(shù)與方程思想存在的問題以及原因，下面以高中教材中的部分知識內(nèi)容為載體，以課堂引入、概念的形成過程、課堂總結(jié)這三個教學(xué)環(huán)節(jié)為主要途經(jīng)，提出滲透函數(shù)與方程思想的方法.使教師能夠在課堂教學(xué)中幫助學(xué)生構(gòu)建函數(shù)與方程思想體系，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

3.1 注重在課堂中對函數(shù)與方程思想的挖掘

在課堂引入環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)該有目的、有計(jì)劃地利用有關(guān)資源創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，將函數(shù)與方程思想蘊(yùn)含其中，以問題為驅(qū)動，以學(xué)生能夠接受、可以理解的形式進(jìn)行直觀教學(xué).

例如 在《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》教學(xué)過程中采用這樣的方式引入：首先提出問題（1）：求方程x2-2x-3=0的實(shí)數(shù)根;再提問題（2）：求方程x5-2x-3=0的實(shí)數(shù)根.

這種引入方式引出學(xué)生不能用公式求解的高于四次的方程，必然會引發(fā)學(xué)生思考，這時需要教師再順勢引導(dǎo)學(xué)生尋求新角度來解決方程問題，推動問題的進(jìn)一步探究[1]REF_Ref86562971＼r＼h＼*MERGEFORMAT.這種引入方式既解決了學(xué)生上述出現(xiàn)的疑惑，又點(diǎn)明了本課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，使函數(shù)與方程思想貫穿在整節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中.

3.2 注重在概念中對函數(shù)與方程思想的挖掘

在數(shù)學(xué)概念的形成過程中，教師要結(jié)合實(shí)際，以課堂探究的形式把數(shù)學(xué)概念的形成過程模擬演示給學(xué)生，讓學(xué)生體驗(yàn)知識的再發(fā)現(xiàn)過程，進(jìn)而汲取函數(shù)與方程思想[1]REF_Ref86562971＼r＼h＼*MERGEFORMAT.

例如 《雙曲線的漸近線》的講授過程：教師以x2a2-y2b2=1為例，通過變形可以得到方程x2a2=y2b2+1以及y2b2=x2a2-1≥-1，進(jìn)一步得到x∈-∞，-a∪a，+∞和y∈R.這就可以看出雙曲線上的點(diǎn)x，y位于某個平面區(qū)域.如何描述這個區(qū)域呢？請同學(xué)們思考.

同學(xué)們可以先畫出雙曲線的圖象，然后研究第一象限內(nèi)的圖象性質(zhì).可以發(fā)現(xiàn)在第一象限內(nèi)，方程x2a2-y2b2=1可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=bax2-a2x>a，這個函數(shù)具有這些性質(zhì)：（1）函數(shù)單調(diào)遞增，即函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)從左到右逐漸上升.（2）圖象上的任何一點(diǎn)都位于直線y=bax的下方.

教師解釋如下 圖象上任意一點(diǎn)M與原點(diǎn)的連線的斜率k=ba1-a2x2

通過上述對漸近線的來源和形成結(jié)果進(jìn)行深層次挖掘的教學(xué)方式，不僅使學(xué)生弄清了雙曲線漸近線的本質(zhì)，解決了學(xué)生上述出現(xiàn)的疑惑，還使學(xué)生體會到隱含在漸近線概念形成過程中的函數(shù)與方程思想.

3.3 注重在課堂總結(jié)中系統(tǒng)性建構(gòu)

課堂小結(jié)是揭示內(nèi)在規(guī)律，提煉函數(shù)與方程思想的關(guān)鍵環(huán)節(jié).這就要求教師在課堂小結(jié)中既要總結(jié)知識又要總結(jié)所用的思想，對內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行提煉.

例如 在《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》中“零點(diǎn)的概念”的課堂小結(jié)，教師既要總結(jié)出零點(diǎn)是連接函數(shù)與方程的結(jié)點(diǎn)、求函數(shù)零點(diǎn)的方法，還要揭示貫穿本節(jié)課的函數(shù)與方程思想.將解方程的問題看成求函數(shù)的零點(diǎn)問題，求方程的根轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題.

3.4 注重在章節(jié)總結(jié)中的建構(gòu)

由于函數(shù)與方程思想具有層次性和分散性的特征，這就要求教師需要遵循循序漸進(jìn)，螺旋上升的教學(xué)原則，定期地把每個單元或章節(jié)中所涉及的函數(shù)與方程思想做系統(tǒng)的梳理，引導(dǎo)學(xué)生把體現(xiàn)函數(shù)與方程思想的分散知識點(diǎn)和問題搜集起來，并加以歸納、進(jìn)行合理的重建和系統(tǒng)化的儲存，形成比較完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)[1]REF_Ref86562971＼r＼h＼*MERGEFORMAT.

例如 在《數(shù)列》的章節(jié)總結(jié)中，教師既要總結(jié)數(shù)列的相關(guān)知識點(diǎn)，又要讓學(xué)生觀察等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進(jìn)行求解，從而將數(shù)列看作特殊的函數(shù).使學(xué)生明白函數(shù)、方程與不同知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.

4 結(jié)語

本文提出了一種以課堂引入、概念的形成過程、課堂總結(jié)這三個教學(xué)環(huán)節(jié)為主要途經(jīng)滲透函數(shù)與方程思想的方法.首先，教師應(yīng)該在課堂引入過程中挖掘其背后蘊(yùn)含的函數(shù)與方程思想，適當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)情境，以學(xué)生可以理解的形式進(jìn)行直觀教學(xué);其次，教師應(yīng)該在概念的形成過程中，以課堂探究的形式把數(shù)學(xué)概念的形成和定理的推導(dǎo)過程模擬演示給學(xué)生，讓學(xué)生體驗(yàn)知識的再發(fā)現(xiàn)過程，從中汲取函數(shù)與方程思想.最后，教師應(yīng)該在課堂總結(jié)的過程中有目的、有意識地結(jié)合本節(jié)課的相關(guān)知識揭示函數(shù)與方程思想，同時還要把每個單元或章節(jié)中所涉及的函數(shù)與方程思想內(nèi)容做系統(tǒng)的梳理，使學(xué)生將函數(shù)、方程以及其他知識進(jìn)行相互融合，在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中對函數(shù)與方程思想進(jìn)行系統(tǒng)性的建構(gòu).這種方法不僅幫助教師優(yōu)化教學(xué)策略，提高相關(guān)課程的教學(xué)效率;而且?guī)椭鷮W(xué)生完善對函數(shù)與方程思想的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與方程思想的意識和能力，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展.

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