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    萬變不離其“宗”

    2022-05-30 12:55:16李萌浩
    數(shù)理天地(高中版) 2022年1期
    關鍵詞:理論分析三角函數(shù)數(shù)學教學

    【摘要】前蘇聯(lián)教育家維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”,認為學生的發(fā)展有兩種水平:一種是學生的現(xiàn)有水平,指獨立活動時所能達到的解決問題的水平;另一種是學生可能的發(fā)展水平,也就是通過教學所獲得的潛力。兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū).教學應著眼于學生的最近發(fā)展區(qū),為學生提供帶有難度的內(nèi)容,調(diào)動學生的積極性,發(fā)揮其潛能,超越其最近發(fā)展區(qū)而達到下一發(fā)展階段的水平,然后在此基礎上進行下一個發(fā)展區(qū)的發(fā)展. “教學應當是在發(fā)展的前面”,“教學創(chuàng)造著最近發(fā)展區(qū)”,這是設計變式追問的宗旨,也是維果茨基對教學與發(fā)展關系進行深入研究后所提出的最主要結論。

    【關鍵詞】數(shù)學教學;三角函數(shù);理論分析

    1 變式追問,讓學生會“思”

    著眼于認識概念到運用概念這一思維最近發(fā)展區(qū),通過一些由易到難,由特殊到一般的變式問題,幫助學生建立感性經(jīng)驗和抽象概念之間的聯(lián)系,加深對概念的理解,激發(fā)學生的思維,引導學生積極探索。

    案例1 等差數(shù)列概念教學

    例題 若{an}是等差數(shù)列,則{a2n-1}是等差數(shù)列嗎?

    變式1 若{an}是等差數(shù)列,則ak,ak+m,ak+2m,…是等差數(shù)列嗎?

    變式2 若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{an+bn}是等差數(shù)列嗎?

    變式3 若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}是等差數(shù)列嗎?

    圍繞等差數(shù)列的概念,從一個等差數(shù)列的所有奇數(shù)項,到所有下標成等差的項,從一個等差數(shù)列到兩個等差數(shù)列的和,有淺入深,從特殊到一般,加深等差數(shù)列定義的理解與應用.

    2 變式追問,讓學生會“學”

    通過尋找學生知識的最近發(fā)展區(qū),建立新舊知識的聯(lián)系,讓學生產(chǎn)生強烈的探究新問題的解決方法,從而加大了知識本質(zhì)的領悟,設計一些由淺入深,由窄到寬的變式問題深化基礎知識,拓展學生的數(shù)學思維,不斷地由已有水平向潛在水平持續(xù)轉化.

    案例2 平面向量中三點共線的判斷

    例題 在正六邊形ABCDE中,點P是在直線BF上的一個動點,設AP=xAB+yAF則x+y=

    變式1 在正六邊形ABCDE中,點P是在直線CE上的一個動點,設AP=xAB+yAF則x+y=

    變式2 在正六邊形ABCDE中,點P是ΔCDE內(nèi)(包括邊界)的一個動點,設AP=xAB+yAF則x+y的取值范圍(? )

    A. [1,2]???? ?B. [2,3]

    C. [2,4] ?D. [3,4]

    變式3 如圖所示,

    A,B,C是圓O上的三個點,CO的延長線與線段AB交于圓內(nèi)一點D,若OC=xOA+yOB,則(? )

    A.01

    C.x+y<-1 D.-1

    這些問題從三點共線“x+y=1”到“x+y=3”可以聯(lián)想到“x+y=λ”是P的軌跡是“等和直線”,從P在線上延伸到P在某個區(qū)域上研究“x+y的取值范圍”,再變換背景探究新題,不僅使知識本身得以延伸,而且使知識的適用范圍不斷延伸,讓學生的數(shù)學思維不斷開闊.

    3 變式追問,讓學生會“辨”

    當發(fā)生思維沖突時,設計一系列的思辨性變式問題,不斷重建最近發(fā)展區(qū),幫助學生理清思路,辨析異同,逐步揭開迷霧, 找到正確的解題方法,提高學生析錯辨錯的能力,以培養(yǎng)學生堅毅的意志品質(zhì).

    案例3 函數(shù)單調(diào)性的判斷

    例題 已知函數(shù)f(x)=x3+(1-a) x2-a(a+2)x+1,討論f(x)的單調(diào)性.

    變式1 若函數(shù)f(x)=x3+(1-a) x2-a(a+2)x+1在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)增,求實數(shù)a的范圍.

    變式2 若函數(shù)f(x)=x3+(1-a) x2-a(a+2)x+1在區(qū)間(-1,1)上單調(diào),求實數(shù)a的范圍.

    變式3 若函數(shù)f(x)=x3+(1-a) x2-a(a+2)x+1在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào),求a的取值范圍.

    從一般含參問題單調(diào)性的討論,到在某區(qū)間上單調(diào),再到不單調(diào),再到存在單調(diào),通過對比思考,題意辨析,逆向思維,析錯糾錯,找到各個問題的切入口,使學生學會從多角度思考問題,辨別問題.

    4 變式追問,讓學生會“解”

    “最近發(fā)展區(qū)”理論要求教學是一種合作活動,要求學生通過思考探究,建立起自己對知識的理解。教師不再是傳授者,更重要的是起到“促進者”和“幫助者”的作用.設計一些循序漸進的變式問題,分步串聯(lián),依次展開,層層遞進,將學生引向問題難點的探究理解,培養(yǎng)學生思維的深刻性.

    案例4 三角函數(shù)的單調(diào)性

    例題 求函數(shù)y=sin(2x+π6)在[0,π]單調(diào)增區(qū)間.

    變式1 若函數(shù)y=sin(2x+π6)在[-π6,m]上單調(diào)遞增,求實數(shù)m的取值范圍.

    變式2 若函數(shù)y=sin(ωx+π6)(ω>0)在[0,π6]上單調(diào)遞增,求實數(shù)ω的取值范圍.

    變式3 若函數(shù)y=sin(ωx+π6)(ω>0)在[-π6,π6]上單調(diào)遞增,求實數(shù)ω的取值范圍.

    創(chuàng)設“最近發(fā)展區(qū)”讓學生學習知識,深化理解,鞏固提高,設計一些同類問題,但又“跳一跳摘桃子”的問題,讓學生從“知”——“懂”——“會”,使得知識運用能力的不斷提高.

    5 變式追問,讓學生會“拓”

    創(chuàng)設“最近發(fā)展區(qū)”讓學生由此及彼地學習知識,聯(lián)想、類比、歸納,從而抽象概括出本質(zhì)特征,促進系統(tǒng)知識的理解。同時也讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程,發(fā)展他們的發(fā)散思維與創(chuàng)新意識.

    案例5 圓錐曲線的一個統(tǒng)一性質(zhì)

    例題 已知橢圓C:x220+y25=1,過點P(4,1)的直線l:y=1與橢圓的另一個交點為Q,A、B是橢圓C上位于直線l兩側的動點,且滿足直線AP與BP關于l對稱.試探究直線AB的斜率是否為定值.

    變式1 已知圓C: x2+y2=5,過點P(2,1)的直線l:y=1與圓的另一個交點為Q,A、B是圓C上位于直線l兩側的動點,且滿足直線AP與BP關于l對稱.試探究直線AB的斜率是否為定值.

    變式2 已知拋物線C:x2=4y,過點P(2,1)的直線l:y=1與拋物線的另一個交點為Q,A、B是拋物線C上位于直線l兩側的動點,且滿足直線AP與BP關于l對稱.試探究直線AB的斜率是否為定值.

    從橢圓中知識的探究出發(fā)聯(lián)想到圓,拋物線,再推廣到圓錐曲線,試探究直線AB的斜率是否為定值.讓學生體會知識方法的遷移,更能激發(fā)學生探尋新知的欲望。

    6 結語

    數(shù)學教育家余文森先生指出:“只有針對最近發(fā)展區(qū)的教學,才能促進學生的發(fā)展。教學活動的本質(zhì)就是通過抓住對學生最近發(fā)展區(qū)的不斷重建這個宗旨,促進學生智力不斷地由已有水平向潛在水平持續(xù)轉化的過程激發(fā)學生的學習欲望,讓學生的思維有方向,讓學生的思維有動力.

    參考文獻:

    [1]毛忠良. 一節(jié)“用教材教”觀念下的課堂教學設計及思考[J].數(shù)學通訊,2011.01.

    [2]李萌浩. 在學生思維的“最近發(fā)展區(qū)”設問[J].上海中學數(shù)學,2013.04.

    [3]劉建國,謝弦.一課一例:在便是探究中對問題進行溯源——以一道模擬題為例[J].中學教研(數(shù)學),2021,11.

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