從解決問(wèn)題中培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)

馬林林

【摘要】數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)是新課標(biāo)背景下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活同樣也要應(yīng)用于生活.在實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程中不僅可以強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)還能對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升起到檢驗(yàn)和反哺的作用.因此，如何在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)具有重要的研究意義.

【關(guān)鍵詞】應(yīng)用意識(shí);高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)作為一門(mén)重要的基礎(chǔ)學(xué)科，是諸多科學(xué)研究和應(yīng)用的基礎(chǔ).在信息科技迅速發(fā)展的時(shí)代，數(shù)學(xué)的應(yīng)用更是無(wú)處不在，所以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)至關(guān)重要.數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)以應(yīng)用為基礎(chǔ)，在實(shí)際應(yīng)用和問(wèn)題解決的過(guò)程中，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)背景探析問(wèn)題的本質(zhì)以及數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用方式，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)建模能力，促進(jìn)創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的產(chǎn)生.

1 意義

1.1 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)是一門(mén)較為抽象的學(xué)科，高中學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)遇到諸多困難，教師需要結(jié)合學(xué)生特點(diǎn)，為學(xué)生解疑釋惑，疏導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題的思路，通過(guò)解決問(wèn)題，加強(qiáng)學(xué)生的知識(shí)內(nèi)化，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，使學(xué)生由舊知過(guò)渡到新知，逐漸豐富自身的數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯體系.在不斷解決問(wèn)題與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，從而找到解決問(wèn)題的思路，提升數(shù)學(xué)思維能力.

1.2 培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)

傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)模式以講解灌輸為主，學(xué)生只要機(jī)械性地完成教師指定的學(xué)習(xí)任務(wù)，會(huì)做相應(yīng)題目，就算完成了學(xué)習(xí)任務(wù).實(shí)際上，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，往往會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知的偏差，而導(dǎo)致在解決問(wèn)題過(guò)程中經(jīng)常出錯(cuò).傳統(tǒng)灌輸模式下，學(xué)生沒(méi)有主動(dòng)學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，對(duì)教師產(chǎn)生了強(qiáng)烈的依賴(lài)心理，遇到問(wèn)題依靠教師解決，缺乏問(wèn)題意識(shí).而培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生可以在教師的引導(dǎo)下或者在自主學(xué)習(xí)環(huán)境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并且通過(guò)探究找出解決問(wèn)題的思路，有效解決問(wèn)題，達(dá)到鞏固與內(nèi)化知識(shí)的目標(biāo).

1.3 提高解決問(wèn)題的能力

提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，教師要通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)

程，使學(xué)生學(xué)會(huì)找到解決問(wèn)題思路的方法，并且運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有效解決問(wèn)題，從而提高學(xué)生學(xué)以致用的能力.在學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的過(guò)程中，數(shù)學(xué)思路會(huì)得到有效拓展，學(xué)會(huì)運(yùn)用多角度思維去尋求解決問(wèn)題的方法，有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力.

2 策略

2.1 提供知識(shí)背景，理解問(wèn)題實(shí)質(zhì)

數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，而解決問(wèn)題的過(guò)程又是數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用，所以理解數(shù)學(xué)知識(shí)背后的現(xiàn)實(shí)背景，是學(xué)生們理解問(wèn)題實(shí)質(zhì)的關(guān)鍵所在.因此，教師在課堂教學(xué)中要結(jié)合問(wèn)題的講解，滲透與之相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)背景，并幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)與生活之間的相互關(guān)聯(lián)，在明晰背景的前提下，更好地把握問(wèn)題本質(zhì).

例如 在講解“條件概率”相關(guān)知識(shí)時(shí)，結(jié)合一道生活中的問(wèn)題“三張抽獎(jiǎng)券中有一張是帶有獎(jiǎng)項(xiàng)的，現(xiàn)有A、B、C三位同學(xué)依次抽獎(jiǎng)，問(wèn)C同學(xué)中獎(jiǎng)的概率是多少？若已知A同學(xué)未中獎(jiǎng)，則C同學(xué)有多大幾率中獎(jiǎng)？”計(jì)算第一問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們能輕易地想到根據(jù)古典概型的計(jì)算方法，用X、Y、Z分別代表三種獎(jiǎng)券，之后依次列出有可能出現(xiàn)的情況，共有六種，其中C抽到獎(jiǎng)券的有兩種，從而可計(jì)算出C同學(xué)獲獎(jiǎng)的概率為1/3.但是對(duì)第二問(wèn)則不知道如何計(jì)算，此時(shí)教師對(duì)該問(wèn)題的數(shù)學(xué)知識(shí)背景進(jìn)行闡述，對(duì)題干進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)這道題目的本質(zhì)是在考察條件概率的知識(shí)，已知A未中獎(jiǎng)代表在A沒(méi)有抽到獎(jiǎng)券的前提下C抽到獎(jiǎng)券的幾率，此時(shí)同學(xué)們結(jié)合條件概率，計(jì)算C中獎(jiǎng)的概率P=P（A未中獎(jiǎng)并且C中獎(jiǎng)）/P（A未中獎(jiǎng)），根據(jù)古典概型可以分別計(jì)算出這兩種概率分別為13和23，因此計(jì)算出P（C|A）=12.

由此可見(jiàn)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中針對(duì)問(wèn)題的題干描述，提供相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)背景，可以幫助同學(xué)們更迅速地理解問(wèn)題隱含的數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，找到解題的關(guān)鍵思路，同時(shí)在過(guò)程中還可以讓同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性質(zhì)有更深刻地理解，建立數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用之間的橋梁，為培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)打好基礎(chǔ).

2.2 鼓勵(lì)合理猜想，引導(dǎo)推理驗(yàn)證

數(shù)學(xué)知識(shí)的形成是通過(guò)觀察生活現(xiàn)象并提出相應(yīng)的數(shù)學(xué)猜想，最后加以數(shù)學(xué)推理和證明的過(guò)程，其中對(duì)現(xiàn)象的觀察和猜想是數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的重要體現(xiàn).在解決問(wèn)題時(shí)同樣要參考這一流程，首先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理地猜想，之后應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以推理和驗(yàn)證，從而充分地鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

例如 在講解“函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”這一小節(jié)的內(nèi)容時(shí)，有問(wèn)題如下：“分析函數(shù)y=x2-2x-3的單調(diào)區(qū)間”，在解決這一問(wèn)題時(shí)，首先引導(dǎo)學(xué)生們建立直角坐標(biāo)系并繪制圖像，通過(guò)觀察圖形對(duì)該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行合理地猜想，比如有同學(xué)繪制了x=-1、0、1、2四個(gè)點(diǎn)的位置，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x從-1變到1的區(qū)間里函數(shù)值減小，而從1到2函數(shù)值增大，所以提出猜想該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1），遞增區(qū)間為（1，+∞）.接下來(lái)則是對(duì)猜想的驗(yàn)證過(guò)程，同學(xué)們首先聯(lián)想到二次函數(shù)的性質(zhì)將該函數(shù)轉(zhuǎn)換為y=（x-1）2-4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以分析得到該函數(shù)沿x=1對(duì)稱(chēng)，拋物線開(kāi)口向上，因此在x=1左側(cè)函數(shù)遞減，在x=1右側(cè)函數(shù)遞增，從而證明了上述猜想.之后引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行推理，對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)可以得到y(tǒng)′=2x-2，當(dāng)x=1時(shí)y′=0，當(dāng)x<1時(shí)y′<0，而當(dāng)x>1時(shí)y′>0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)可以推理得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與猜想的結(jié)論一致.

由此可見(jiàn)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程是滲透數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的最佳階段，在解決問(wèn)題的過(guò)程中合理地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)不僅可以強(qiáng)化對(duì)這些理論知識(shí)的理解，還能夠通過(guò)實(shí)踐體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.因此，教師要結(jié)合典型案例，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題合理地猜想，并利用自己已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)展開(kāi)推理驗(yàn)證，提升應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

2.3 經(jīng)歷建模過(guò)程，發(fā)展抽象思維

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一大難點(diǎn)是如何對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象概括，將其遷移到數(shù)學(xué)知識(shí)的框架內(nèi).因此，教師不能忽略這一重要的步驟，在解題的過(guò)程中要指導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行抽象的方法以及抽象之后數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，讓學(xué)生在自己動(dòng)手建模的過(guò)程中得到抽象思維的發(fā)展以及應(yīng)用意識(shí)的提高.

例如 在求解問(wèn)題“在投影儀正前方墻面有一矩形屏幕AB，上下邊距離投影儀水平面分別為a和b（a>b）求解投影儀距離墻面多遠(yuǎn)時(shí)其對(duì)于屏幕的上下視角θ最大（此時(shí)圖形清晰度最佳）？”求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)首先要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行抽象描述，需要求解的是一個(gè)距離，那么可以把這個(gè)距離設(shè)為x，限定這個(gè)距離的條件為上下視角θ，所以要用設(shè)的距離未知量x來(lái)表示這個(gè)限定的條件.

為了更好地抽象描述對(duì)該問(wèn)題數(shù)學(xué)建模，畫(huà)出原理圖形，根據(jù)給出的條件可以發(fā)現(xiàn)視角θ可以用頂點(diǎn)視線與水平面夾角減去地面視線與水平面夾角表示為θ=α-β，而頂點(diǎn)視線恰好和墻面以及水平面構(gòu)成直角三角形，根據(jù)正切的定義可以表示tan（α）=ax，tan（β）=bx，θ的取值范圍可以確定為0-90°，在這一范圍內(nèi)tan（θ）單調(diào)遞增，所以最大的tan（θ）可以確定θ的最大值，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模得到tan（θ）=tan（α-β），之后將兩角差正切公式代入可以求得當(dāng)x=ab時(shí)tan（θ）有最大值（a-b）/2ab.

可見(jiàn)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生親自參與問(wèn)題的抽象過(guò)程，體驗(yàn)到將實(shí)際問(wèn)題描述與數(shù)學(xué)知識(shí)抽象的關(guān)聯(lián)性，之后利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)其求解進(jìn)行數(shù)學(xué)建模對(duì)于提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力以及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)有著十分重要的作用，并且還能夠?qū)崿F(xiàn)模型的建構(gòu)，讓學(xué)生在遇到同類(lèi)問(wèn)題時(shí)能夠利用已有模型迅速求解.

2.4 加強(qiáng)學(xué)科融合，激活創(chuàng)新精神

數(shù)學(xué)作為運(yùn)算工具，是許多其他學(xué)科科學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)，加強(qiáng)學(xué)科融合觀念，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在多元學(xué)科融合中的作用對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)有著十分積極的作用.因此，教師在課堂教學(xué)中要引領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的相互關(guān)聯(lián)，并嘗試?yán)脭?shù)學(xué)知識(shí)解決多學(xué)科問(wèn)題，提升學(xué)科創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí).

例如 在講解“平面向量”相關(guān)內(nèi)容時(shí)，鼓勵(lì)同學(xué)們?nèi)诤衔锢韺W(xué)中學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行問(wèn)題求解.有問(wèn)題如下：“一條河兩岸平行，相距500m，船從一側(cè)岸邊出發(fā)駛向正對(duì)岸處，已知船的航行速度|v1|=10km/h，水的流速為|v2|=2km/h，求行駛距離最短時(shí)，所用時(shí)間為多少？”這道題考查的是平面向量的合成，水流的方向是固定的，而船的行駛方向則可以調(diào)整，需要考慮船駛向哪個(gè)方向時(shí)可以沿垂直岸邊的直線駛向?qū)γ?，根?jù)這一條件可以得出最終的方向向量v=v1+v2，并且v與v2垂直，所以可以列出式子v ·v2=0，可以求出|v|= |v1|2-|v2|2=96km/h.如果從物理學(xué)的角度分析，則船共有兩個(gè)速度，兩速度合成之后指向岸對(duì)面時(shí)才能使行駛距離最短，根據(jù)速度分解的原理可以知道將船的行駛速度分為水平和垂直兩個(gè)方向，在水平方向的分速度恰好和水流速度方向相反大小相等抵消，只剩下垂直岸邊的速度=96km/h，進(jìn)而可以求得行駛時(shí)間為500/96=3.1分鐘.

可見(jiàn)，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中調(diào)動(dòng)學(xué)科融合思維，不僅可以尋求一種更直觀迅速的創(chuàng)新解題思路，還可以體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)科在其它領(lǐng)域中的實(shí)際運(yùn)用場(chǎng)景，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用魅力.因此，教師在講授的過(guò)程中要有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生使用學(xué)科融合的思想思考問(wèn)題，在尋求新解題方案的同時(shí)強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí).

2.5 參與社會(huì)實(shí)踐，感悟具體價(jià)值

培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)最直接的方法是讓學(xué)生親自到實(shí)際生活中感受數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用場(chǎng)景和方法，這樣才能讓同學(xué)有最直觀的數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的感悟.所以數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)離不開(kāi)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的參與，教師要結(jié)合教學(xué)條件開(kāi)展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，讓同學(xué)們?cè)诨顒?dòng)中應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的價(jià)值.

例如 在講解“統(tǒng)計(jì)案例”相關(guān)知識(shí)時(shí)，開(kāi)展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，讓同學(xué)們對(duì)A市的發(fā)展環(huán)境進(jìn)行評(píng)價(jià)，并對(duì)男女學(xué)生各抽樣十名進(jìn)行調(diào)查（滿分100），對(duì)學(xué)生的看法進(jìn)行分析.統(tǒng)計(jì)之后得出結(jié)果中男生打分為：53，55，62，65，70，71，73，74，81，86;女生打分為：68，69，70，75，76，78，79，82，87，96.之后利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)分析知識(shí)，討論該校男女生對(duì)A市發(fā)展環(huán)境的看法差異以及在所有學(xué)生中認(rèn)為A市發(fā)展環(huán)境在70-80分的比例.

對(duì)上述打分情況繪制莖葉圖便于觀察分析，可以發(fā)現(xiàn)女生打分明顯比較集中，大多分散于60-89的范圍內(nèi)，并且計(jì)算兩方的均值之后可以得出女生打分均值明顯高于男生.之后利用樣本估計(jì)總體的方法可以計(jì)算在抽樣的20名學(xué)生中打分在70-80的比例為9/20，所以可以推算出該學(xué)校有45%的學(xué)生認(rèn)為A市的發(fā)展環(huán)境評(píng)分為70-80.

可見(jiàn)，開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)讓學(xué)生在活動(dòng)中親自動(dòng)手利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題或者分析生活現(xiàn)象，不僅可以通過(guò)實(shí)踐提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，還能夠讓學(xué)生在實(shí)踐過(guò)程中體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值，強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

3 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力的培養(yǎng)是新時(shí)代下數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的重點(diǎn)之一，教師要在解決問(wèn)題的過(guò)程中加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的滲透，讓同學(xué)們感受到數(shù)學(xué)在日常生活以及科研活動(dòng)中巨大的應(yīng)用價(jià)值，能夠從應(yīng)用的思維角度出發(fā)提升自己的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]左志廣. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題能力及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的探討[J]. 國(guó)際教育論壇， 2020， 2（11）：47.

[2]趙峰. 聯(lián)系實(shí)際，培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)[J]. 數(shù)學(xué)大世界（中旬）， 2020（10）.

[3] 周守千.在教學(xué)實(shí)踐中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力 [J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊. 2013（13）