對(duì)中點(diǎn)問(wèn)題的思考

任紅娟

【摘要】“雙減”背景之下，如何高效地完成教與學(xué)的任務(wù)，已然是教育界的熱點(diǎn)問(wèn)題，教師要跟緊時(shí)代步伐，為實(shí)現(xiàn)“減負(fù)、提質(zhì)、增效”而努力探索.線段的中點(diǎn)就是把一條線段分割成兩條長(zhǎng)度相等的點(diǎn).中點(diǎn)關(guān)聯(lián)著軸對(duì)稱(chēng)以及中心對(duì)稱(chēng)等幾何關(guān)系，在圖形變換中起重要的作用.如，等腰三角形底邊上的中線、高線，頂角平分線三線合一，等腰三角形借助此線可得到兩個(gè)直角三角形;直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，直角三角形借助此線可得到兩個(gè)等腰三角形，正是你中有我，我中有你.幾何圖形在與中點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的各種關(guān)系的烘托下活靈活現(xiàn)的呈現(xiàn)，有助于學(xué)生在復(fù)雜圖形中探本尋源.

【關(guān)鍵詞】中點(diǎn)問(wèn)題;圖形變換;數(shù)學(xué)解題

1 原題呈現(xiàn)

2020年杭州中考第23題（2）求證點(diǎn)P為EF的中點(diǎn).此題要求證明兩條線段的相等關(guān)系，具有多種解法，其中利用中點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形，是解決問(wèn)題的一把鑰匙.

原題1（2020·杭州） 如圖1，已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn)，連接EF.

（1）設(shè)⊙O的半徑為1，若∠BAC=30°，求線段EF的長(zhǎng).

（2）連接BF，DF，設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P，①求證：PE=PF.②若DF=EF，求∠BAC的度數(shù).

其中第（2）問(wèn)中①涉及到中點(diǎn)問(wèn)題的考查：

解法探究

方法1 如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AC，交BO于點(diǎn)H.

易證：△EHP≌△FOP，所以 EP=PF.

（連接OE，F(xiàn)H;可得平行四邊形OEHF）

方法2 如圖3，取BO的中點(diǎn)M，連接FM，OE

易證FM∥OE且FM=OE，所以FP=EP.

（連接EM;可得平行四邊形OEMF）

方法3 如圖4，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AB與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，

易證：△FNP≌△EBP，

則FP=EP.（連接NE，F(xiàn)B;可得平行四邊形NEBF）

方法4 如圖5，連接BF，OE;作FT⊥OB，ES⊥OB，

則S△BFO=S△BEO，

易證：△FTP≌△ESP. 所以FP=EP.

（連接TE，F(xiàn)S;可得平行四邊形TESF）

上述解法中平行四邊形多角度的呈現(xiàn)，隨著對(duì)各種圖形關(guān)系的探究，讓中心對(duì)稱(chēng)這個(gè)圖形結(jié)構(gòu)在幾何解題中發(fā)揮了非常重要的作用.

原題2 （2018·杭州）如圖6，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在邊BC上（不與點(diǎn)B，C重合），連接AG，作DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F，設(shè)BGBC=k.

（1）求證：AE=BF.

（2）連接BE，DF，設(shè)∠EDF=α，∠EBF=β.

求證：tanα=ktanβ.

（3）設(shè)線段AG與對(duì)角線BD交于點(diǎn)H，△AHD和四邊形CDHG的面積分別為S1和S2，求 S2S1 的最大值.

其中第（3）問(wèn)涉及到線段與面積比值的問(wèn)題：

已知：如圖7，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在邊BC上（不與點(diǎn)B，C重合），連接AG，設(shè)BGBC=k.線段AG與對(duì)角線BD交于點(diǎn)H，△AHD和四邊形CDHG的面積分別為S1和S2，求 S2S1 的最大值.

解法探究

設(shè)S△BHG=S，所以S△BHC=1kS，S△BCD = k+1kS△BHC，

易得：S1=1k2S，S△BCD =k+1k2S，

所以S2=S△BCD-S△BHG=k+1-k2k2S，

所以S2S1 =-k2+k+1=-（k-12）2+54，

所以k=12時(shí)，S2S1的最大值為54.

通過(guò)△BHG的面積為中介，通過(guò)面積比與相關(guān)線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系，將求 S2S1 的最值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為求二次函數(shù)的最值問(wèn)題.

2 題目改編

已知：如圖7，在Rt△ABC中， ∠B=90°，∠C=α，點(diǎn)Q在AC邊上，點(diǎn)P在BC邊上，點(diǎn)F為線段AQ的中點(diǎn).

（1）若點(diǎn)Q為AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，①若α=60°， BC=2，求四邊形BPQF的面積.

②連接PF，BQ交于點(diǎn)H，求證：FH=PH.

（2）若BPAQ =COS∠C，△ABC和四邊形BPQF的面積分別為S1和S2，求 S2S1 的最大值.

解析 （1）①S四邊形BPQF = 3，②解法同上

（2）因?yàn)镃OS∠C=BCAC=BPAQ，

設(shè)：BPBC=AQAC=k，

因?yàn)椤鰽BC和四邊形BPQF的面積分別為S1和S2，

則S2 = S△BFQ+ S△BPQ

= 12k·S1+ k·（1-k）·S1，

所以S2S1=12k+ k·（1-k）= -k2+32k

=-（k- 34）2+916，

所以當(dāng)k= 34時(shí)，S2S1的最大值為916.

改變?cè)}中知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)的載體，保持其主要特征，解題時(shí)需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)積累.

3 思維提升

研究圖形在變與不變中的規(guī)律，對(duì)解決問(wèn)題的能力提出了更高層次的要求.如圖8，在上述改編題中若過(guò)點(diǎn)F和過(guò)點(diǎn)P作兩條互相平行的直線，則這兩條直線關(guān)于BQ成軸對(duì)稱(chēng)關(guān)系，若改變這兩條平行直線的軸對(duì)稱(chēng)關(guān)系，則△FHT與△PHS的中心對(duì)稱(chēng)關(guān)系也會(huì)隨之發(fā)生改變，線段FH與線段HP的數(shù)量關(guān)系也會(huì)發(fā)生改變.

多樣化的考查，有利于學(xué)生在幾何的學(xué)習(xí)中感受圖形變化的規(guī)律，享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂(lè)，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情.在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，讓“雙減”真正落地開(kāi)花，實(shí)現(xiàn)學(xué)生和老師在教與學(xué)中的雙贏，提升單位時(shí)間的學(xué)習(xí)效率.