賽題中求正方形面積的技巧

楊再發(fā)

【摘要】 正方形是完美的四邊形，它的邊、角、對(duì)角線(xiàn)具有特殊的性質(zhì)，知道邊長(zhǎng)或?qū)蔷€(xiàn)長(zhǎng)都可以求出面積.在一些關(guān)于正方形的賽題中，沒(méi)有直接告訴邊長(zhǎng)或?qū)蔷€(xiàn)的長(zhǎng)，需要我們求出面積.不妨根據(jù)條件求出邊長(zhǎng)或?qū)蔷€(xiàn)的長(zhǎng)就能到達(dá)解決問(wèn)題的目的.現(xiàn)舉例說(shuō)明.

【關(guān)鍵詞】 賽題中;求正方形面積;技巧

1 用對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)來(lái)求面積

例1 圖1

如圖1，正方形ABCD內(nèi)有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，滿(mǎn)足AE=1，EF=CF=3，AE⊥EF，CF⊥EF，求正方形ABCD的面積.

解 過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，連接AC，

因?yàn)锳E⊥EF，CF⊥EF，

所以四邊形EFCG是矩形，

則EF=CG，CF=EG，

因?yàn)锳E=1，EF=CF=3，

所以CG=3，EG=3，

則AG=AE+EG=1+3=4，

因?yàn)锳C2=AG2+CG2，

所以AC2=42+32=25，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，

即2AB2=25，AB2=252，

所以正方形ABCD的面積是252.

例2 如圖2，已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形內(nèi)，且AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=9，EF=5，CF=3，求正方形ABCD的面積.

解 過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CF的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，

因?yàn)锳E⊥EF于E，

CF⊥EF于F，

所以四邊形AEFG是矩形，

所以AE=FG，EF=AG，

因?yàn)锳E=9，EF=5，CF=3，

所以AG=5，F(xiàn)G=9，

則CG=CF+FG=3+6=12，

所以AC2=AG2+CG2=52+122=169，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，

所以AD2+CD2=AC2，

2AD2=169，

AD2=1692，

則正方形ABCD的面積是1692.

以上兩例還可以有相似三角形性質(zhì)求出兩條線(xiàn)段長(zhǎng)，再求出對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)來(lái)求出面積.

2 用正方形的邊長(zhǎng)來(lái)求面積

例3 圖3

已知，如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)O，連接AO，BO，CO，且AO=17，BO=2，CO=5，求正方形ABCD的面積.

解 將△OBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△EBA，

則OB=EB，

OC=EA，∠OBE=90°，

所以△BOE是等腰直角三角形，

即∠BOE=45°，

因?yàn)锳O=17，BO=2， CO=5，

所以EA=OC=5，BE=2，

即OE=OB2+BE2=22+22=22，

因?yàn)椋?2）2+172=52，

即OE2+OA2=AE2，

所以△AOE是直角三角形，

則∠AOE=90°，

所以EO⊥OA，

過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AO的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，

所以O(shè)E∥BF，

所以∠BOE=∠OBF=45°，

即△OBF是等腰之直角三角形，

因?yàn)镺B=2，

即OF=BF=2，

則AF=AO+OF=17+2，

所以AB2=AF2+BF2

=（17+2）2+22

=21+234，

所以正方形ABCD的面積是21+234.

例4 如圖4，一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm，4cm，5cm的直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)B重合，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形的兩條邊AD，DC上，求正方形的面積.

解 設(shè)BC=a，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，

所以∠C=∠D=90°，

所以BC=DC=a，

因?yàn)锽E=4，

所以CE=16-CE2=16-a2，

即DE=BC-CE=a-16-a2，

因?yàn)?2+42=52，

所以EF2+BE2=BF2，

即△BEF是直角三角形，

則∠BEF=90°，

所以∠DEF+∠CEB=90°，

因?yàn)椤螩BE+∠CEB=90°，

所以∠CBE=∠DEF，

即△CBE∽△DEF，

所以EFDE=BEBC，

3a-16-a2=4a，

3a=4a-416-a2，

解得a2=25617，

所以正方形的面積是25617.

例5 如圖5，正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAC交BD于E，BE=42-4，求正方形ABCD的面積.

解 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，

所以∠DAO=∠OAB=∠OBA=45°，

BD=2DA，

因?yàn)锳E平分∠BAC，

所以∠OAE=∠BAE=225°，

因?yàn)椤螪AE=∠OAD+∠OAE

=45°+225°

=675°，

∠DEA=∠OBA+∠BAE

=45°+225°

=675°，

所以DA=DE，

因?yàn)锽E=42-4，

所以DE+BE=2DA，

AD+BE=2DA，

AD+42-4=2DA，

AD=42-42-1，

AD=4，

所以正方形ABCD的面積是16.

例6 如圖6，四邊形ABCD是正方形，線(xiàn)段EF，GH把正方形ABCD分割成四部分：正方形BEMH，正方形DFMG，矩形AEMG，矩形CFMH，且S正方形BEMH=75，S矩形CFMH=15，求S正方形ABCD.

解 設(shè)BH=a，CH=b，

則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是（a+b），

因?yàn)樗倪呅蜝EMH，四邊形DFMG是正方形，

四邊形AEMG，四邊形CFMH是矩形，

所以CF=HM=a，

GM=DF=MF=b，

因?yàn)镾正方形BEMH=75，S矩形CFMH=15，

所以a2=75，ab=15，

即a2b2=152=225，

則b2=255a2=22575=3，

所以a=53，b=3，

則a+b=63，

所以S正方形ABCD=（a+b）2=（63）2=108.