構(gòu)造一元二次方程解賽題

唐鵬久 于先金

當(dāng)問(wèn)題中含有形如：ax20+bx0+c=0，-b±b2-4ac2a，b2-4ac或a+b與ab這樣的代數(shù)式時(shí)，可由此聯(lián)想到一元二次方程、一元二次方程的求根公式、一元二次方程的判別式和一元二次方程的韋達(dá)定理，通過(guò)構(gòu)造一元二次方程達(dá)到求解問(wèn)題的目的.

1 由根的定義構(gòu)造一元二次方程

例1 已知a2=a+1，b2=b+1且a≠b，求a5+b5的值.

解 由已知條件，可知a，b是一元二次方程x2-x-1=0的兩個(gè)根.

由韋達(dá)定理可得a+b=1.

故原式=（a2）2a+（b2）2b

=（a+1）2a+（b+1）2b

=（a2+2a+1）a+（b2+2b+1）b

=（3a+2）a+（3b+2）b

=3a2+2a+3b2+2b

=3（a+1）+2a+3（b+1）+2b

=5（a+b）+6

=5×1+6=11.

例2 若（a+c）（a+d）=3，（b+c）（b+d）=3，且a≠b，求（a+c）（b+c）的值.

解 由（a+c）（a+d）=3，可得

a2+（c+d）a+cd-3=0.

同理，由（b+c）（b+d）=3，可得

b2+（c+d）b+cd-3=0.

因?yàn)閍≠b，

所以a，b是一元二次方程

x2+（c+d）x+cd-3=0

的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得

a+b=-（c+d），ab=cd-3.

所以?? （a+c）（b+c）

=ab+（a+b）c+c2

=（cd-3）-（c+d）c+c2

=cd-3-c2-cd+c2

=-3.

2 由求根公式構(gòu)造一元二次方程

例3 若a=13+22，則a2-a+14的值為（? ）

（A）3+22.?? （B）22-3.

（C）5-422.（D）42-52.

解 顯然a=13+22=3-22是一元二次方程x2-6x+1=0的一個(gè)根，

所以a2=6a-1.

所以a2-a+14=5a-34

=15-102-34

=57-4022

=42-52.

故選（D）.

例4 當(dāng)x=-5+332時(shí)，多項(xiàng)式（4x3-1997x-1994）2001的值為（? ）

（A） 1.???? （B）-1.

（C）c2001.（D）-22001.

解 因?yàn)閤=1+19942，

所以（2x-1）2=1994，

即4x2-4x-1993=0.

所以 （4x3-1997x-1994）2001

=[x（4x+1993）-1997x-1994]2001

=（4x2-4x-1994）2001

=（-1）2001=-1.

故選（B）.

3 由判別式構(gòu)造一元二次方程

例5 已知5b-c=5a，求證：b2≥4ac.

解 要證b2≥4ac，只須證b2-4ac≥0，

由此聯(lián)想到一元二次方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac.

由已知條件，可得

5a-5b+c=0，

所以，5可視為一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，

所以Δ=b2-4ac≥0.

故b2≥4ac.

4 由韋達(dá)定理構(gòu)造一元二次方程

例6 已知2a2-8a+3=0，3b2-8b+2=0，且ab≠1，求a+1bb+1a的值.

解 由3b2-8b+2=0知b≠0，

所以21b2-8b+3=0.

又2a2-8a+3=0，且由ab≠1可得a≠1b，

所以a，1b是一元二次方程2x2-8x+3=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得a+1b=4.

同理，b，1a是一元二次方程3x2-8x+2=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得b+1a=83.

所以a+1bb+1a=323.

例7 已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=0，abc=8.求c的取值范圍.

解 由題設(shè)可得a+b=-c，ab=8c，

由此可知a，b是一元二次方程x2+cx+8c=0的兩個(gè)根，

所以Δ=c2-32c≥0.①

（1）當(dāng)c<0時(shí)，不等式①恒成立;

（2）當(dāng)c>0時(shí)，解不等式①得c≥234.

故c的取值范圍為c<0或c≥234.

例8 已知x，y是正整數(shù)，并滿足方程xy+x+y=71，x2y+xy2=880，求x2+y2的值.

解 由已知條件，可得

xy+（x+y）=71，xy（x+y）=880.

由此可知xy，x+y是一元二次方程t2-71t+880=0的兩個(gè)根，

解得t1=55，t2=16.

因x，y是正整數(shù)，所以只有

x+y=16，xy=55.

故x2+y2=（x+y）2-2xy=162-2×55=146.

練習(xí)

1.已知a2=2a+1，b2=2b+1且a≠b，求a3+b3的值.

2.求1+526的整數(shù)部分.

3.計(jì)算：1+527-1-527.

4.設(shè)x=-5+332，那么代數(shù)式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的值為.

5.已知x，y為實(shí)數(shù)，且x2+xy+y2=1，求x2-xy+y2的取值范圍.

答案

1.14.?? 2. 8.?? 3.135.

4.48.?? 5.13≤x2-xy+y2≤3.