一道行程問題的解法探究

王文慧

【摘要】通過一道行程問題的原題重現(xiàn)，考查和提升學(xué)生的建模思想 ，綜合應(yīng)用方程，函數(shù)等方法解決問題.

【關(guān)鍵詞】行程問題;建模思想;應(yīng)用方程

原題重現(xiàn)：

某體校派兩輛小汽車（速度相同）同時(shí)送1名領(lǐng)隊(duì)老師和7名參賽學(xué)生到郊外參加運(yùn)動(dòng)會(huì)，每輛小汽車限坐4人（不包括司機(jī)）. 其中有一輛小汽車在距離運(yùn)動(dòng)場(chǎng)15km的地方出現(xiàn)故障，此時(shí)離截止進(jìn)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的時(shí)間還有42分鐘.若小汽車的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h，（上，下車的時(shí)間忽略不計(jì)）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種運(yùn)送方案，使他們能在截止進(jìn)場(chǎng)時(shí)刻前全部到達(dá)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，并通過計(jì)算說明方案的可行性.

分析 若正常行駛的小汽車先送4人到達(dá)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，然后再回到故障處接其他人，則所需時(shí)間為4560×60=45>42分，故不能在截止進(jìn)考場(chǎng)時(shí)刻前到達(dá)考場(chǎng).于是有以下兩種方案：

第一種方案 先將4人用車送到考場(chǎng)，另外4人同時(shí)步行前往考場(chǎng)，汽車到考場(chǎng)后立即返回到與另外4人相遇處再載他們到考場(chǎng)

解法1 算術(shù)方法

3065+15-3065×560=613+1152=3552

≈40.4min<42min.

解法2 利用方程

如圖1：設(shè)人走了xkm，則人走的時(shí)間等于車1加車2的時(shí)間.

15+15-x60=x5.

解得x=3013

30135+15-301360=3552h≈40.4min<42min.

解法3 構(gòu)造函數(shù)

設(shè)他們出發(fā)的時(shí)間為xh，他們離開故障點(diǎn)的距離為ykm，圖2中折線O—A—B—C表示小汽車離開故障點(diǎn)的距離y車與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系 線段OB表示步行的學(xué)生離開故障點(diǎn)的距離y步與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系.

解 線段OA所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=60x，

設(shè)線段AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為 y=-60x+b過A（14，15），

則AB：y=-60x+30，

y=-60x+30，y=5x，解得x=613，y=3013，

點(diǎn)B坐標(biāo)為（613，3013），其實(shí)際意義是在613h時(shí)，車在距故障地3013km處接到步行的學(xué)生.

則a=30135+15-301360=3552h≈40.4min<42min.

第二種方案 將8人分成甲，乙兩個(gè)小組，先將甲組用車送往考場(chǎng)，乙組同時(shí)步行前往考場(chǎng)，在離開考場(chǎng)某一地方放下甲組，甲組繼續(xù)步行，汽車立即返回與乙組相遇處再載他們趕往考場(chǎng)，結(jié)果甲，乙兩組同時(shí)到達(dá).

解法1 利用方程

畫出線段圖分析：

設(shè)第一批被接走的人后來走xkm.

車2+車3的時(shí)間=人1時(shí)間=x5h.

車2+車3的路程為x5×60=12xkm.，

車2路程為（12x-x）2=11x2km，

則車3路程為11x2+x=132xkm.

人2時(shí)間=（車1+車2）時(shí)間，

則15-13x25=15-x+112x60，

解得x=2.

13+12×260=3760h=37min.

所需時(shí)間比方案一更短！

解法2 建立函數(shù)模型

設(shè)他們出發(fā)的時(shí)間為xh，他們離開故障點(diǎn)的距離為ykm，圖4中折線O—M—P表示小汽離開故障點(diǎn)的距離y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系.

OM： y=60x，

ON：y=5x.

設(shè)N（a，5a）易證四邊形OMPN是平行四邊形，則MF=NE，所以M的縱坐標(biāo)為15-5a，

所以M（14-112a，15-5a）

設(shè)MN：y=-60x+b將M，N帶入

則15-5a=-60（14-112a）+b，5a=-60a+b，

解得a=25.b=26.

設(shè)NP：y=60x+c代入N（25，2），

則c=-22，

則NP：y=60x-22P為（3760，15）.

所以3760h=37min<42min，為最短時(shí)間.

解法3 綜合利用函數(shù)方程

設(shè)N（m，5m），

因?yàn)镸F=NE=5m，

所以O(shè)—M—N的時(shí)間可表示

15-5m+15-10m60=m，

解得 m=25，

則N（25，2），

于是，求出NP：y=60x-22P為（3760，15），

所以3760h=37min，即為最短時(shí)間.

【南京市教育科學(xué)“十四五”2021 年度立項(xiàng)課題 課題編號(hào)：LZ/2021/035】