鄭燦基

【摘?要】??多面體的截面問題是立體幾何中常見的問題之一，近些年來全國卷高考題或各地的模擬試題對多面體的截面問題的考查時有涉及.由于教材對截面問題的介紹不多，學(xué)生對截面問題的接觸和訓(xùn)練較少，往往對這類問題的處理不知所措.本文主要通過創(chuàng)設(shè)問題，說明常見的多面體截面的作圖類型的作圖技巧，在此基礎(chǔ)上通過具體實例詮釋多面體中截面問題常見的命題視角.

【關(guān)鍵詞】??作圖類型;方法技巧;命題視角

1?常見的多面體截面的作圖類型

（1）過定點求作一平面平行于另一平面

例1???已知平面α過正方體ABCD＼|A?1B?1C?1D?1的頂點A，α∥平面CB?1D?1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB?1A?1=n，求作平面α.

分析??要作出過頂點A的平面α，至少需要過A作兩條相交直線.

因為?平面α∥平面CB?1D?1，

所以作出的這兩條直線都會平行于平面CB?1D?1.

如圖1所示，過A作直線AM∥BD，交CD的延長線為于M，

則?AM∥B?1D?1.

過A作直線AN∥A?1B，交B?1A?1的延長線為于N，

則?AN∥CD?1.

易證?平面AMN∥平面B?1D?1C，

即?平面AMN為所求的平面α.

總結(jié)??過定點A求作平面α平行于平面β，一般需要過A作兩條相交直線，所作的兩條直線必須平行于平面β.我們常常需挖掘圖形特征，充分利用條件，過A作兩條相交直線分別平行平面β，則可以構(gòu)造出平面α.

（2）過定點作平面垂直于另一平面?（或直線）

例2???已知平面α過正方體ABCD＼|A?1B?1C?1D?1的頂點B，D，且平面α⊥平面BC?1D，平面α∩平面ABB?1A?1=m，求作平面α.

分析??若能在平面α內(nèi)作直線垂直平面BDC?1，

根據(jù)面面垂直的判定定理則有平面α⊥平面BDC?1.

由于?BD⊥AC，

BD⊥AA?1，AC∩AA?1=A，

所以?BD⊥平面CAA?1C?1，BD⊥A?1C.

同理?DC?1⊥A?1C.

而?DC?1∩BD=D，

所以?A?1C⊥平面BDC?1.

因此，只要能在平面α內(nèi)作直線平行A?1C即可實現(xiàn)平面α⊥平面BDC?1.

在△AA?1C中，分別取BD和AA?1的中點為O和E，連接OE，

則?OE∥A?1C，

不難得到平面BDE即為所求的平面α.

總結(jié)??在幾何體中過定點作平面α垂直于平面β，常常需要充分利用已知條件，尋找直線l垂直于平面β，圍繞給出的定點構(gòu)造直線l′∥l，則由l′和給出的定點往往可確定平面α，進(jìn)而求出平面α與幾何體所截的平面.

（3）作過多面體上已知三點的截面

以上講的是一些特殊要求的截面作圖，實際上許多截面的作法在于轉(zhuǎn)化成不在一直線上三點作圖作截面.

例3???已知平面α過正方體ABCD＼|A?1B?1C?1D?1的頂點D?1、棱AB的中點E和棱BC的中點F，求作平面α截該正方體所得的截面.

分析??易知平面α即為平面D?1EF.

延長線段FE和DA交于點M.

因為?直線M∈直線EF，EF平面α，

所以?M∈平面α.

因為?M∈直線AD，AD平面ADD?1A?1，

所以?M∈平面ADD?1A?1.

因為?D?1∈平面α，

在平面ADD?1A?1中，連接MD?1，交AA?1于點P，

所以?點P∈平面α.

連接PE.

設(shè)正方體的棱長為1，

則?△AEM為等腰直角三角形，

AM=AE=?1?2?.

因為?AP∥DD?1，

所以??MA?MD?=?PA?DD?1?，PA=?1?3?.

同理，在CC?1上確定點Q，使CQ=?1?3?.

連接D?1Q，QF，

則平面D?1PEFQ即為平面α截該正方體所得的截面，如圖3所示.

總結(jié)??過不在一條直線上的三點作一個平面，首先是要找到截面與多面體各面的交線，若已知截面和多面體的某個面有一個交點，那么它們必相交于過這個交點的交線.為了得到這條交線，必須設(shè)法找出另一個交點，而這個交點往往在相鄰的兩面的公共棱上，可以求得這條交線，類似地，再確定出截面多邊形的其余各頂點.可以看出，作圖的關(guān)鍵在于尋找截面多邊形的頂點，即截面與多面體各棱的交點.

（4）過多面體的某些點作與已知平面?（或直線）?成一定傾斜角的截面

例4???平面α過棱長為1的正方體ABCD＼|A?1B?1C?1D?1的棱AB，BC的中點E，F(xiàn)，且與底面ABCD所成角為45?°?，求作截面α.

分析??連接EF.

由題意知?EF是截面α與底面ABCD的交線.

又?BD⊥EF，BB?1⊥EF，

BB?1∩BD=B，

所以?EF⊥平面BDD?1B?1.

設(shè)BD∩EF=G，則

BG=?1?4?BD=??2??4?<1，

DG=?3?4?BD=?3?2??4?>1.

①在平面BDD?1B?1內(nèi)，過G作∠HGB=45?°?，交BB?1于H.

因為?EF⊥平面BDD?1B?1，HG平面BDD?1B?1，

所以?HG⊥EF.

根據(jù)二面角的定義，如圖4所示，∠HGB即為截面α與底面ABCD所成二面角的平面角.

連接HE和HF，得

截面α為HEF，形狀為三角形.

②在平面BDD?1B?1內(nèi)，過G作∠DGS=45?°?，交直線DD?1于S.

因為?DG=?3?2??4?>DD?1，

所以?S在線段DD?1的延長線上，如圖5所示.

因為?EF⊥平面BDD?1B?1，

GS平面BDD?1B?1，

所以?GS⊥EF.

根據(jù)二面角的定義，∠DGS就是截面α與底面ABCD所成二面角的平面角.

延長EF，分別交DA和DC的延長線于P，Q.連接PS，SQ，PS分別交AA?1和A?1D?1于M，N，SQ分別交D?1C?1和C?1C于K，T，

連接ME，F(xiàn)T，TK，KN，得

截面α為EFTKNM，形狀為六邊形.

總結(jié)??過多面體的已知平面β內(nèi)的點E，F(xiàn)作與平面β成一定傾斜角θ的平面α與多面的截面，首先應(yīng)通過EF尋求與直線EF垂直的平面γ，然后在平面γ中求作與EF成傾斜角θ的直線l，由直線EF和l所確定的平面即為平面α.其次是考慮平面α截多面體所得的截面.如例4中，BG=?1?4?BD=??2??4?<1，DG=?3?4?BD=?3?2??4?>1.在情形①中，BG=??2??4?DD?1，故過G作與BD成45?°?的直線GS與棱DD?1的交點在棱DD?1的延長線上，需利用上面作過多面體上已知三點的截面的方法技巧求作截面.

2?多面體截面問題常見的命題視角

（1）判斷截面的形狀

例5???如圖6，????圖6?正方體ABCD＼|A?1B?1C?1D?1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC?1上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是??（寫出所有正確命題的編號）?.

①當(dāng)0

②當(dāng)CQ=?1?2?時，S為等腰梯形.

③當(dāng)CQ=?3?4?時，S與C?1D?1的交點R滿足C?1R=?1?3?.

④當(dāng)?3?4?

⑤當(dāng)CQ=1時，S為菱形.

解??利用作過多面體上已知三點的截面的方法技巧進(jìn)行解題.

連接AP和PQ，設(shè)PA的延長線與DC的延長線相交于M，并連接MQ，

易知?DC=CM.

當(dāng)0

截面S為四邊形APQT，如圖7所示.

當(dāng)CQ=?1?2?時，延長MQ，與棱DD?1相交的交點恰為D?1，連接AD?1，則截面S為四邊形APQD?1，

易知?PQ∥AD?1，PQ=?1?2?AD?1，AP=DQ，

所以?四邊形APQD?1為等腰梯形.

當(dāng)CQ=?3?4?時，延長MQ，與棱D?1C?1相交于R，連接AD?1，D?1Q.

易得??C?1Q?QC?=?C?1R?CM?=?C?1R?CD?=?C?1R?C?1D?1?=?1?3?，

即?C?1R=?1?3?C?1D?1=?1?3?.

當(dāng)?3?4?

當(dāng)CQ=1時，此時Q與C?1重合，交DD?1的延長線于T，連接AT，AT交A?1D?1于E，連接AE，ER.得截面S為四邊形APC?1E，形狀為菱形，如圖9所示.

綜上知，填①②③⑤.

（2）計算截面的周長或面積

例6???棱長為2的正方體ABCD＼|A?1B?1C?1D?1中，P是BC的中點，過B?1且與平面A?1DP????圖10?平行的正方體截面的周長為?.

解??如圖10，分別取A?1D?1和DD?1的中點為M，N，連接B?1M，B?1N.取AD的中點為E，連接BE，

易得?MB?1∥EB∥DP，MN∥A?1D，

進(jìn)而有?平面B?1MN∥平面A?1DB.

下面研究平面B?1MN與正方體的截面.

延長B?1M，交C?1D?1于S，連接SN.

因為?SD?1∥DC，

N是D?1D的中點，

所以?SN=NC.

即?SN的延長線與CC?1交于C點.

所以?平面B?1MN與正方體的截面為四邊形MNCB?1.

因為?MN=?2?，CB?1=2?2?，

MB?1=?5?，CM=?5?，

所以截面四邊形MNCB?1的周長為2?5?+3?2?.

（3）與截面圖形有關(guān)的最值?（涉及長度和面積）

例7???已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（?）

（?A?）?3?3??4?.?（?B?）?2?3??3?.?（?C?）?3?2??4?.?（?D?）??3??2?.

解??因為正方體得12條棱可以分成3組互相平行的棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個頂點出發(fā)的三條棱所成角相等即可.

如圖11所示，如過D點的棱DA，DC，DD?1與平面α所成的角都相等.容易看出，平面AD?1C與平面A?1BC?1都滿足題意，平面α應(yīng)保持與AD?1C?（或平面A?1BC?1）?平行，且夾在平面AD?1C與平面A?1BC?1之間.

利用正方體的對稱性，當(dāng)平面α經(jīng)過正方體中心O時截面面積最大，此時截面是由棱D?1A?1，A?1A，AB，BC，CC?1，C?1D?1的中點連接而成的正六邊形，其邊長為??2??2?，面積為

6×??3??4?×???2??2???2=?3?3??4?.

故選（?A?）.

多面體截面的作圖是判斷截面圖形的形狀、正確計算多面體的截面周長和面積，求截面圖形的性質(zhì)和最值的前提.通過截面作圖，可以進(jìn)一步理解和鞏固直線和平面位置關(guān)系的概念、定理和公理，更有效地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力.教師在教學(xué)備考中應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生獨立分析，讓學(xué)生觀察動手，親自體驗，同時要引導(dǎo)學(xué)生注重總結(jié)，積累多面體截面的常見類型的作圖經(jīng)驗，從而培養(yǎng)良好的作圖能力.