分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

利劍春

[摘 要]初中數(shù)學(xué)是一門難度較大的學(xué)科，對學(xué)生的能力要求相對較高。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，讓學(xué)生能更好地進(jìn)行學(xué)習(xí)，加強(qiáng)對知識的理解與記憶，教師需要采取高效的教學(xué)方法。在初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用分類討論思想，不僅能讓學(xué)生掌握解題的規(guī)律及正確的解題方法，還能提升學(xué)生的解題效率。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可結(jié)合典型問題引導(dǎo)學(xué)生合理應(yīng)用分類討論思想，以助力學(xué)生有效解題，提升學(xué)生的解題能力。

[關(guān)鍵詞]分類討論思想;初中數(shù)學(xué);應(yīng)用

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2022）17-0019-03

把所有研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，我們稱為分類討論思想。分類討論思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)研究對象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。比較是分類的基礎(chǔ)，也是分類的前提，分類是比較的結(jié)果。分類要制訂一定的標(biāo)準(zhǔn)，分類的結(jié)果會因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)的不同而不同，分類還要做到不遺漏、不重復(fù)。在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用分類討論思想研究和解決問題，有助于學(xué)生掌握正確的解題方法。常見的數(shù)學(xué)分類討論有由概念引起的分類討論、由參數(shù)的變化引起的分類討論等。分類討論應(yīng)科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)，要遵循同一性原則、互斥性原則與層次性原則。分類討論的步驟為：明確討論的對象及其取值范圍;合理選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，確保分類的合理性;正確進(jìn)行分類，逐類、逐段進(jìn)行討論，綜合得出結(jié)果。本文重點(diǎn)對涉及分類討論的幾種類型題進(jìn)行分析，以提高學(xué)生的解題能力。

一、函數(shù)相關(guān)問題的分類討論

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，其考查的重點(diǎn)為二次函數(shù)。在解決函數(shù)問題的過程中，學(xué)生如果沒有掌握一定的解題方法與技巧，就難以提高解題效率與準(zhǔn)確度，也無法取得好成績。二次函數(shù)相關(guān)題型多涉及參數(shù)，所以要求學(xué)生能善于應(yīng)用分類討論思想進(jìn)行解題。

[例1]函數(shù)[y=kx2-8x+8]的圖像與[x]軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則[k]的取值范圍是__________。

這是一類涉及參數(shù)的函數(shù)問題。學(xué)生乍一看發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像與[x]軸有兩個(gè)交點(diǎn)，于是就想到用[Δ>0]來求解，列出[Δ=（-8）?-32k>0]，解得[k<2]。對此，筆者給予提示：“這個(gè)函數(shù)一定是二次函數(shù)嗎？”學(xué)生這才注意到，函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)是字母[k]，而[k]的取值不同時(shí)，對應(yīng)的將是不同的函數(shù)。由此，學(xué)生進(jìn)行[k=0]和[k≠0]的分類討論：（1）當(dāng)[k=0]時(shí)，原函數(shù)是一次函數(shù)，其解析式為[y=-8x+8]，其圖像與[x]軸只有一個(gè)交點(diǎn)，與題意不符;（2）當(dāng)[k≠0]時(shí)，原函數(shù)是二次函數(shù)，其解析式為[y=kx2-8x+8]，由[Δ>0]解得[k<2]且[k≠0]。故本題[k]的取值范圍是[k<2]且[k≠0]。

這是一道易錯(cuò)題，學(xué)生經(jīng)常會忘記討論函數(shù)解析式二次項(xiàng)系數(shù)是否為0的情況，由此教師需要?dú)w納總結(jié)：二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，是一個(gè)函數(shù)是否為二次函數(shù)的前提條件。如果二次項(xiàng)系數(shù)是參數(shù)或者是含有參數(shù)的式子，同樣也需要討論是否為0。

二、絕對值問題的分類討論

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，為了讓學(xué)生形成分類討論思想，教師應(yīng)做好引導(dǎo)。分類討論要有其原則，避免胡亂分類或者分類缺乏條理。在分類時(shí)，要求每一部分都是相互獨(dú)立的，且按照一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，分類需逐級進(jìn)行。為了讓學(xué)生能順利完成分類討論，教師可結(jié)合一些有代表性與典型性的題目來進(jìn)行引導(dǎo)。絕對值問題是代數(shù)的重要內(nèi)容之一，要求學(xué)生能應(yīng)用分類討論思想來求解。教師可結(jié)合這類問題進(jìn)行引導(dǎo)。

[例2]已知[0≤a≤4]，化簡[a-2+3-a]。

本題要求化簡的式子含有兩個(gè)絕對值，在[0≤a≤4]范圍內(nèi)，分別有不一樣的化簡結(jié)果，因此不能直接化簡，需要分類討論。對此，筆者設(shè)計(jì)了以下提問：

（1）當(dāng)[a=0]，1，2，3，4時(shí)，化簡結(jié)果是否一樣？如果不一樣，為什么？

（2）哪些數(shù)使得兩個(gè)絕對值分別等于0？

（3）如果只化簡[a-2]，[a]的取值范圍需要分為幾種情況？

（4）如果只化簡[3-a]，[a]的取值范圍需要分為幾種情況？

（5）如果同時(shí)化簡[a-2]和[3-a]，[a]的取值范圍又需要分為幾種情況？

學(xué)生會逐一思考，從而發(fā)現(xiàn)影響化簡結(jié)果的臨界值是[a=2]和[a=3]這兩個(gè)數(shù)，因此，這兩個(gè)數(shù)把[0≤a≤4]分為三個(gè)小范圍：[0≤a≤2]，[2

這樣循序漸進(jìn)地設(shè)問，學(xué)生會意識到有關(guān)絕對值的分類討論，是從絕對值符號里面的式子與0比較大小來入手的，這為以后解決更復(fù)雜的絕對值分類討論問題奠定了基礎(chǔ)。

三、三角形相關(guān)問題的分類討論

等腰三角形是特殊的三角形，學(xué)生很容易在解決三角形相關(guān)問題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以教師要善于應(yīng)用分類討論思想來引導(dǎo)學(xué)生解決問題，讓學(xué)生通過分類討論，掌握正確的解題方法。壓軸題是歷年數(shù)學(xué)考試的重點(diǎn)，分類討論是數(shù)學(xué)壓軸題最為常見的解題思路與方法，通過分類討論，學(xué)生可有效解題，掌握解題技巧，并能舉一反三。壓軸題中特殊三角形、特殊四邊形等問題都要進(jìn)行分類討論。對于直角三角形的存在性問題也可以應(yīng)用分類討論思想，可按照直角頂點(diǎn)的不確定性來進(jìn)行分類討論。在三角形相似的存在分類討論中，主要對已知三角形的特征進(jìn)行確定。以等腰三角形的分類討論為例，可以分為以下四大類問題，學(xué)生可以利用分類討論思想分析解決這四類問題。

第一，遇邊問題需討論。

比如[a]，[b]是等腰三角形的兩條邊長，且[a]，[b]滿足[a-1+2a+3b-11=0]，則該等腰三角形的周長為__________。

對于本題，學(xué)生可以先根據(jù)絕對值的非負(fù)性，列式解出[a=1]，[b=3];接著求三角形的周長，因?yàn)轭}目并沒有明確腰和底邊，所以就要進(jìn)行分類討論。當(dāng)[a]是底邊時(shí)，三邊分別為3，3，1，周長為7;當(dāng)[b]是底邊時(shí)，三邊分別為1，1，3，周長為5。很多學(xué)生認(rèn)為本題的答案為7或5。對此，筆者進(jìn)行提問：這兩種情況下的邊長，能否構(gòu)成三角形？學(xué)生恍然大悟：當(dāng)三邊分別為1，1，3時(shí)不能構(gòu)成三角形。

由此可以歸納出：等腰三角形對底邊和腰進(jìn)行分類討論得出來的結(jié)果，也需要進(jìn)行嚴(yán)密的檢驗(yàn);只有符合三角形兩邊之和大于第三邊的條件，才能構(gòu)成三角形。

第二，遇角問題需討論。

比如已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，求三角形另兩個(gè)角。這類題目并沒有說明已知角是頂角還是底角，這時(shí)就需要進(jìn)行分類討論了。可先將已知角分為頂角與底角兩類，然后再通過三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算。

第三，遇中線問題需討論。

比如一個(gè)等腰三角形一腰上的中線把三角形分為兩個(gè)部分，其中一個(gè)部分的周長為9厘米，另一個(gè)部分的周長為12厘米，求三角形的底和腰。對于這類問題，需要畫圖分析。畫圖時(shí)就會發(fā)現(xiàn)需要分類討論，明確9厘米與12厘米是上下哪部分。當(dāng)9厘米是上面部分時(shí)，設(shè)底邊和腰為未知數(shù)，列出方程，求得底邊和腰分別是6厘米和9厘米;當(dāng)12厘米是上面部分時(shí)，求得底邊和腰分別是8厘米和5厘米。

第四，遇高問題需討論。

比如已知一個(gè)等腰三角形，一條腰上的高與另一條腰的夾角為20°，計(jì)算頂角的度數(shù)。由于銳角三角形的高在內(nèi)部，鈍角三角形的高在外部，對于這類問題也要進(jìn)行分類討論。結(jié)合圖形，將三角形的頂角分為銳角與鈍角兩種情況進(jìn)行分類討論。當(dāng)頂角是銳角時(shí)，由三角形內(nèi)角和求得頂角為70°，同理，當(dāng)頂角是鈍角時(shí)，求得頂角為110°。

由此可見，對于與三角形有關(guān)的問題，大多數(shù)都是需要畫圖進(jìn)行分析，而在畫圖的過程中，就會遇到各種情況需要進(jìn)行分類討論。因此，分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想密不可分。

四、方程和不等式問題的分類討論

數(shù)與代數(shù)是初中數(shù)學(xué)的主要知識點(diǎn)之一。實(shí)數(shù)、代數(shù)式等是數(shù)與代數(shù)的重要內(nèi)容。數(shù)與代數(shù)的涉及范圍較廣，學(xué)習(xí)難度較大，如何才能讓學(xué)生更加高效、靈活地解題成為教師關(guān)注的重點(diǎn)。在近幾年的中考數(shù)學(xué)中，數(shù)與代數(shù)的考查相對較多，且屬于綜合性題目，對學(xué)生提出了更高的要求。數(shù)與代數(shù)綜合題中涉及的知識類別常呈現(xiàn)出“你中有我，我中有你”的關(guān)系。數(shù)與代數(shù)綜合題主要分為四大類。第一類，以方程（組）為主的“數(shù)與代數(shù)”綜合題。這類題型的考查重點(diǎn)放在分式方程、一元一次方程的應(yīng)用方面，所以教師在教學(xué)過程中可通過典型案例，引導(dǎo)學(xué)生解題，在解題過程中要求學(xué)生能對題目中的等量關(guān)系予以明確，并列出相應(yīng)的方程。第二類，以不等式（組）為主的“數(shù)與代數(shù)”綜合題。這類題型一般對學(xué)生的列方程能力、應(yīng)用不等式組解決實(shí)際問題的能力進(jìn)行考查，問題一般來源于生活。第三類，以函數(shù)為主的“數(shù)與代數(shù)”綜合題。這類題目考查的重點(diǎn)是一次函數(shù)的應(yīng)用。第四類，函數(shù)與不等式（組）相結(jié)合的“數(shù)與代數(shù)”綜合題。這類題型考查的重點(diǎn)為一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用。對于這個(gè)知識點(diǎn)，分類討論也是?？嫉狞c(diǎn)。比如2021年北部灣中考數(shù)學(xué)第12題就考查了不等式的分類討論。

[例3]定義一種運(yùn)算：[a?b=a， a≥b，b， a3]的解集是（）。

A. [x>1]或[x<13]

B. [-1

C. [x>1]或[x<-1]

D. [x>13]或[x<-1]

如果僅僅是考查解不等式，估計(jì)很多學(xué)生都可以得出正確答案。但這是一道定義新運(yùn)算的題目，這個(gè)新運(yùn)算是以分段函數(shù)的形式出現(xiàn)的，它的本質(zhì)其實(shí)就提示了要對[a]和[b]的大小進(jìn)行分類討論。

先讓學(xué)生讀懂這個(gè)新運(yùn)算的法則：

當(dāng)[a≥b]時(shí)，[a?b=a];

當(dāng)[a

同理，在所求不等式中，

當(dāng)[（2x+1）≥（2-x）]時(shí)，[（2x+1）?（2-x）=2x+1]，

當(dāng)[（2x+1）<（2-x）]時(shí)，[（2x+1）?（2-x）=2-x]。

這樣，就對原不等式進(jìn)行了化簡，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一般的不等式來求解了。

五、圓相關(guān)問題的分類討論

初中數(shù)學(xué)中分類討論思想的應(yīng)用教學(xué)，能讓學(xué)生掌握解題方法與技巧，提升解題效率。與圓有關(guān)的問題中，分類討論思想的應(yīng)用，主要在于點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系等。教師可引導(dǎo)學(xué)生對題目中的變量或兩個(gè)圖形之間的距離等進(jìn)行明確。

[例4]一個(gè)點(diǎn)[P]到圓的最小距離為[6 cm]，最大距離為[9 cm]，則該圓的半徑是（）。

A. 1.5 cm

B. 7.5 cm

C. 1.5 cm或7.5 cm

D. 3 cm或15 cm

本題并沒有配圖，也就是說，需要學(xué)生自己畫圖來進(jìn)行分析。那么在畫圖的過程當(dāng)中，點(diǎn)的位置畫在哪里就顯得很關(guān)鍵了。而題目并沒有指出已知點(diǎn)是在圓內(nèi)還是圓外，因此，需要分類畫出兩個(gè)圖形。

當(dāng)點(diǎn)[P]在圓內(nèi)時(shí)，直徑=最小距離+最大距離。

當(dāng)點(diǎn)[P]在圓外時(shí)，直徑=最大距離-最小距離。

這樣，學(xué)生通過畫圖分析，找到了這類問題的突破口，也就是分類討論點(diǎn)的位置，通過圖形的作用快速找到解題技巧。

總之，分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，更是一種邏輯思維方法，學(xué)生在分類討論思想的指引下，能高效完成數(shù)學(xué)解題，提升解題能力與水平。

（責(zé)任編輯 黃春香）