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    淺談以“問題探究”為主基調的高效數(shù)學課堂的建構

    2022-05-30 08:41:03胡紅
    數(shù)學教學通訊·高中版 2022年8期
    關鍵詞:數(shù)學思考問題探究綜合素養(yǎng)

    胡紅

    [摘? 要] 問題探究式教學模式是一種重要的數(shù)學教學模式,其將教學目標、教學設計等內容逐漸問題化,以此激發(fā)學生學習興趣、誘發(fā)數(shù)學思考. 在日常教學中,教師應為學生營造一個自由的、寬松的問題探究環(huán)境,讓學生在解決問題的過程中去思考、去合作、去交流,以此提升學生的綜合素養(yǎng).

    [關鍵詞] 問題探究;數(shù)學思考;綜合素養(yǎng)

    教學中教師會結合具體學情提出問題,從而以問題為導向啟發(fā)學生進行數(shù)學探究,以此啟迪學生的數(shù)學思維,激發(fā)學生的學習興趣,提高學生的課堂參與度. 教學中教師可以依據(jù)教學內容從不同層面進行設計,如可以從知識與技能、過程與方法層面進行設計,也可以從情感和價值觀目標層面進行設計. 不過,無論從何種層面設計都應從學生的實際學情出發(fā),要以發(fā)展學生為目標,這樣才能發(fā)揮問題探究教學模式的優(yōu)勢,讓學生在探究、交流、合作中有所發(fā)展、有所成長.

    筆者教學“兩條直線的平行與垂直”第一課時,以問題探究為主基調進行了教學設計,旨在探究中讓學生掌握數(shù)學研究方法,提升數(shù)學素養(yǎng).

    [?]教學設計

    1. 問題引領探究

    師:如何用符號語言來表示兩直線l,l平行和垂直?

    生1:l平行于l:l∥l;l垂直于l:l⊥l.

    師:如圖1所示,l∥l?α=α. 若BC∥EF,則△ABC與△DEF有什么關系?

    生2:△ABC∽△DEF.

    師:已知兩點P(x,y),Q(x,y),當x≠x時,直線PQ的斜率k是多少?它有什么幾何意義呢?

    生3:PQ的斜率k=,它表示直線的傾斜程度.

    師:如圖2所示,直線PQ的斜率k還可以如何表示呢?

    生4:k=.

    師:圖3中的k呢?

    生5:k=-.

    師:很好,我們知道斜率刻畫了直線的傾斜程度,那么是否可以用斜率來研究兩條直線平行呢?(生不語)

    師:設直線l,l的斜率都存在,直線l:y=kx+b,直線l:y=kx+b. 若l∥l,猜一猜k和k是否存在什么關系.

    生6:我猜想,若l∥l,則k=k.

    師:它的逆命題是——

    生6:若k=k,則l∥l.

    師:很好,以上兩個猜想是否成立呢?

    教師預留充足的時間讓學生合作交流,從而在交流中不斷地完善自己,優(yōu)化認知. 幾分鐘后,各小組已經有了探究結果,教師鼓勵學生交流展示.

    生7:我們小組是這樣推理的:如圖4所示,已知l∥l,任意作直線m∥x軸,分別交直線l,l于點A,D,在直線l,l分別有點B,E,過點B作BC⊥m于C,過點E作EF⊥m于F. 因為l∥l,所以∠BAC=∠EDF,從而△BAC∽△EDF,故=,即k=k. 反之,若k=k,即=,則△BAC∽△EDF,所以∠BAC=∠EDF,從而l∥l.

    師:很好,對于圖5,結論如何?若k=k=0,結論又如何呢?

    設計意圖:從學生熟悉的舊知出發(fā),將平面幾何和解析幾何建立聯(lián)系. 教學中教師鼓勵學生進行合作探究,引導學生從已有經驗出發(fā)——從傾斜角為銳角的情況出發(fā),通過構造相似三角形證明結論. 為了誘發(fā)學生深度思考,學生給出證明過程后,教師繼續(xù)追問,讓學生思考當傾斜角為鈍角時結論又如何,以此通過分類討論,培養(yǎng)學生思維的嚴謹性.

    師:根據(jù)以上分析,你能夠得到什么?(引導學生進行總結歸納)

    生8:兩直線l,l不重合且斜率存在,若它們互相平行,則它們的斜率相等;反之,若兩條直線的斜率相等,則它們互相平行. (定理1)

    師:說得很好,如何用符號語言表達呢?

    生9:若兩直線l,l不重合且斜率存在,則l∥l?k=k.

    師:總結得很好,對于定理1成立的條件有兩個,一是兩直線不重合,二是兩直線的斜率存在. 若只滿足其中一個條件,你能得到什么呢?

    生10:若l,l的斜率都不存在?l∥l.

    設計意圖:引導學生對以上探究過程進行總結歸納,從而抽象出定理,培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力. 為了讓學生進一步理解定理,并能夠應用定理解決問題,教師引導學生對定理的成立條件進行深度探究,以此深化理解,優(yōu)化認知結構.

    2. 聯(lián)想拓展引申

    師:以上我們用斜率研究了兩條直線的平行關系,猜想一下,是否可以用斜率繼續(xù)研究兩條直線的垂直關系呢?

    生齊聲答:可以.

    師:很好,現(xiàn)在繼續(xù)我們的探究之旅. 如圖6所示,在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD是BC邊上的高,則Rt△ABD與Rt△CAD有什么關系?

    生11:Rt△ABD∽Rt△CAD,且AD2=BD·DC.

    設計意圖:從學生的已有認知出發(fā),為新知的探究鋪設思維臺階,提升學生的課堂參與度.

    師:思考一下,若兩直線l,l的斜率都存在,且分別為k,k,則l⊥l?_____.

    為了便于學生進行溝通交流,教師將以上問題進行了轉化,給出了如下問題:如圖7所示,l⊥l于P,作直線m分別交l,l于點R,S,再作PQ⊥m于Q,由此你能得到什么?

    生12:根據(jù)上面分析,可得PQ2=RQ·QS.

    師:很好,根據(jù)斜率的幾何意義,你還能得到什么呢?

    生13:k=,k=-.

    師:很好,根據(jù)以上結果,你能得到什么呢?(學生積極思考)

    生14:我知道了,k·k=·

    -= -1.

    師:很好,很棒的發(fā)現(xiàn). 那么,若k·k=-1,是否可以得到l⊥l呢?

    這樣在問題的引導下,學生通過積極思考,得到了定理2:兩直線l,l的斜率都存在,若兩直線互相垂直,則兩直線的斜率之積等于-1;反之,若它們的斜率之積等于-1,那么兩直線垂直. 用符號語言表示為l⊥l?k·k=-1(直線l,l的斜率都存在).

    得到定理2后,教師又引導學生對定理成立的條件進行了深度剖析,以此讓學生明晰定理的內涵及外延. 通過對定理2的拓展容易發(fā)現(xiàn):若兩直線中的一條直線的斜率不存在,那么與之垂直的直線的斜率為0. 這樣通過對定理成立條件的適度剖析及拓展,培養(yǎng)了思維的全面性、深刻性,為接下來的靈活應用奠定了堅實的基礎.

    3. 應用鞏固提升

    經歷以上自主探究的過程,學生總結歸納出了兩個定理,為了讓學生感悟定理的應用價值,教師精心設計了如下練習:

    練習1:證明順次連接A(-1,2),B(3,4),C(4,2),D(2,1)四點所得的四邊形是直角梯形.

    練習2:過點A(1,2)且與直線l:2x+y-5=0平行的直線是______.

    練習3:過原點作直線l的垂線,垂足為(1,2),則直線l的方程為______.

    練習4:已知直線l:ax-y+2a=0與l:(2a-1)x+ay+a=0互相垂直,則a=______.

    設計意圖:借助具體練習及時檢測學生的學習效果,以便教師更好地了解學生,并根據(jù)學生的反饋調整教學方案,從而讓學生將新知學懂學會,并建立完整的認知體系. 對于練習1,其來自課本例習題的改編,既應用了兩直線平行的等價命題,又應用了兩直線垂直的等價命題,同時又滲透了利用解析法證明平面幾何問題的方法,可謂是一舉多得. 對于其他3個練習,主要考查學生對定理的掌握情況,應用時需要關注定理的應用條件及其特例. 練習中充分發(fā)揮學生的主體作用,讓學生通過具體操作更好地了解自己,體驗成功的喜悅,激發(fā)數(shù)學學習信心.

    4. 總結歸納提升

    師:說一說,這節(jié)課都有什么收獲?(教師預留時間讓學生回顧、反思、總結)

    生15:我們學習了兩個定理. 定理1:l∥l?k=k(l,l不重合,且k,k都存在);定理2:l⊥l?k·k=-1(k,k都存在).

    生16:注意兩個特例:①若l,l不重合,且k,k斜率都不存在,則l∥l;②已知兩直線l,l互相垂直,若其中一條直線的斜率不存在,那么另外一條直線的斜率為0.

    ……

    師:大家總結得都非常好,應用時不能忽略應用條件,當心特例,同時要注意數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想方法的靈活運用.

    設計意圖:通過小結,引導學生對課堂內容進行反思回顧,總結歸納出本節(jié)課的重難點,并提煉出蘊含其中的數(shù)學思想方法,從而讓學生可以更加系統(tǒng)地、全面地掌握本節(jié)課的內容,建立起新的認知結構,進一步提高學生的認知水平,提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).

    [?]教學反思

    本節(jié)課以“問題”為內驅力,充分地調動了學生參與的積極性,這樣學生在問題的啟發(fā)和引導下,不僅掌握了新知,而且掌握了數(shù)學的研究方法,感悟了數(shù)學思想方法的應用價值,提升了學生的學習品質. 問題探索式教學模式雖然表面上多消耗了一些時間,但是其達到的效果是“灌輸”課堂無法比擬的,其有助于學生提高自主學習能力,有助于學生優(yōu)化認知結構,有助于學生長遠發(fā)展. 因此,教師應從教學實際出發(fā),為學生量身定制探究問題,以此讓學生的思維在問題的引領下能夠得到質的提升.

    本節(jié)課教學中,教師關注學生的發(fā)展,重視數(shù)學課堂文化的建構,為學生營造了一個平等、和諧的學習氛圍,引導學生通過獨立思考、互動探究、對話交流等學習活動更好地理解了數(shù)學,提升了數(shù)學學習興趣. 教師從學生熟悉的直線垂直和平行出發(fā),在問題的啟發(fā)和引導下,充分暴露了學生的思維過程,讓學生感悟到由形到數(shù)的發(fā)展過程,揭示了數(shù)形結合的本質,提高了數(shù)學教學的品質.

    總之,為了更好地教學,提高教學品質,教師應精心設計適合學生發(fā)展的問題情境,以此讓學生的學習能力和數(shù)學素養(yǎng)在問題的引領下得到全面提升.

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