高中新增投影向量的合理性與可行性分析

何嘉穎

摘? 要] 投影向量是課標(biāo)新增的概念. 在新人教A版教材中，不僅新增了投影向量，而且投影的含義也發(fā)生了改變. 文章陳述了投影與投影向量含義的變化情況，對新增的投影向量的合理性進(jìn)行了分析，為投影與投影向量概念的教學(xué)提供了建議.

[關(guān)鍵詞] 投影;投影向量;數(shù)量積;正交分解;直角坐標(biāo)系

[?]投影與投影向量含義的變化

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2003年版）》對投影的要求是“體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系”[1];《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對投影以及投影向量的要求是“通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義”“了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義”[2].

課本定義1（舊人教A版教材，簡稱“舊教材”）：設(shè)a，b是兩個非零向量，θ是a與b的夾角，

a

cosθ叫做向量a在b方向上的投影，OA=

a

cosθ[3].

課本定義2（新人教A版教材，簡稱“新教材”）：設(shè)a，b是兩個非零向量，=a，=b，過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A，B，得到，稱上述變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量[4].

對比新舊課程標(biāo)準(zhǔn)以及人教A版教材，主要有兩處變化：

一是課程標(biāo)準(zhǔn)的變化.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2003年版）》對投影概念的理解本身沒有具體要求，僅對投影與數(shù)量積的關(guān)系有要求，即對投影的要求更側(cè)重投影與數(shù)量積的關(guān)系，而非投影本身. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對投影以及投影向量本身有明確要求，其中包括對投影概念的要求以及對投影向量意義的要求，即學(xué)生除了要知道投影與投影向量的概念外，更需要知道它們的意義. 因此，新課程標(biāo)準(zhǔn)對投影以及投影向量的要求有所提高.

二是教材的變化.一是投影概念的變化，二是新增了投影向量的概念.投影概念的變化：在舊教材中投影指的是一個數(shù)量（如a在b方向上的投影是

a

cosθ），是一個有固定含義的名詞;在新教材中投影指的是一個變換，是一個變化過程.對新增的投影向量，它本身是一個向量，同時也是一個有固定含義的名詞. 即新教材把舊教材中僅作為名詞存在的投影概念，分解為過程性的投影概念以及結(jié)果性的投影向量的概念，從而使得投影的產(chǎn)生過程以及投影向量的來龍去脈更為清晰，更能理清其意義所在.

[?]新增投影向量的合理性分析

1. 從教材邏輯性看新增投影向量的合理性

（1）舊教材中的投影

投影概念在舊教材中共出現(xiàn)在三處：

第一處是人教A版初中數(shù)學(xué)九年級下冊第三十五章“投影與視圖”的35.1節(jié)，其定義是“用光線照射物體，在某個平面上得到的影子叫做物體的投影”[5]，此時投影指的是有名詞意義的“影子”，同時也是幾何學(xué)中的概念. 此外，在該節(jié)中，還給出了平行投影、中心投影和正投影的概念，“由平行光線形成的投影叫做平行投影”“由同一點發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影”“投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影”[5].顯然，這些與投影相關(guān)的概念都是幾何學(xué)中的概念，與向量的投影概念相去甚遠(yuǎn);而僅從正投影中的“垂直”，以及舊教材中向量投影的圖示中的“垂直”來看，兩者有些許聯(lián)系.

第二處是舊教材必修二第一章“空間幾何體”的“1.2.3 平行投影與中心投影”，在這一節(jié)中僅簡單回顧了平行投影與中心投影的概念，同時與前一節(jié)的斜二測畫法有所呼應(yīng). 但并未提及正投影的概念，也沒有與向量投影有所聯(lián)系.

第三處是舊教材必修四第二章“平面向量”的“2.4 平面向量的數(shù)量積”中給出的向量的投影概念.

從上述三處與投影概念相關(guān)的內(nèi)容中可見，實際上舊教材把投影分為了幾何含義上的投影以及向量含義上的投影. 兩個投影在形成過程中具有聯(lián)系，即都是通過一個物體（向量）垂直于另一個物體（向量）產(chǎn)生的，但舊教材并沒有把它們明確地聯(lián)系起來，而是簡單地把向量投影定義為某個數(shù)值.

（2）新教材中的投影與投影向量

相對舊教材，新教材給出了新的投影概念以及相應(yīng)的投影向量的概念. 在新教材中，投影是一個變化過程，在這個過程中涉及了幾何中的點線垂直;投影向量則是一個向量起點和終點垂直于另一個向量上的產(chǎn)物;這與初中幾何的正投影概念的聯(lián)系更為緊密. 同時，較舊教材中作為數(shù)量的向量投影，投影向量是向量，這豐富了向量章節(jié)的內(nèi)容.

此外，在新教材中刪除了舊教材必修二中平行投影與中心投影的內(nèi)容，但在選擇性必修第一冊第一章“空間向量與立體幾何”中的“1.1.2 空間向量的數(shù)量積運算”，進(jìn)一步給出了空間中投影向量的概念，以及向量在直線上的投影、向量在平面上的投影的變換方式. 投影含義的改變以及新增投影向量的概念，使得初高中內(nèi)容銜接以及整個向量體系更緊密.

2. 從數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)看新增投影向量的合理性

（1）投影向量與數(shù)量積

根據(jù)投影向量的定義，設(shè)a，b是兩個非零向量，θ是a與b的夾角，則a在向量b上的投影向量為

a

cosθ，此時該投影向量與b共線，且

a

cosθ為該投影向量的模;a與b的數(shù)量積為a·b=

a

b

cosθ.

在平面內(nèi)任取一點O，設(shè)=a，=b，a與b的夾角為θ，過A作直線OB的垂線，垂足為A′，則為a在向量b上的投影向量，即=

a

cosθ.

若=0，則與的數(shù)量積為0;若θ∈

0，

，則與同向，根據(jù)數(shù)量積的定義，與的數(shù)量積為

a

cosθ

b

=

a

b

cosθ;若θ∈

，π

，則與反向，根據(jù)數(shù)量積的定義，與的數(shù)量積為-

a

cosθ·

b

=

a

b

cosθ.

綜上，a·b=·，即a與b的數(shù)量積可理解為a在b上的投影向量與b的數(shù)量積.

（2）投影向量與距離公式

根據(jù)投影和投影向量的定義，a在向量b上的投影向量的模長

可理解為O到AA′的距離，即投影向量與點到直線的距離存在聯(lián)系.

不妨從投影向量的角度來看點到直線的距離公式的向量形式：

設(shè)直線AB，O是直線AB外一點，n⊥，θ是n與的夾角，則在n上的投影向量為

cosθ=

··=·，它的模長為

·cosθ

=. 由于n⊥，因此在n上的投影向量也垂直于，所以是O到直線AB的距離.

投影向量除了與點到直線的距離存在聯(lián)系外，也與點到平面的距離存在聯(lián)系. 不妨也從投影向量的角度來看點到平面的距離公式的向量形式：

首先需要明確空間中向量在平面上的投影向量的概念.

課本定義3（新教材）[6]：在空間中，設(shè)向量a=，平面β，分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量，向量稱為向量a在平面β上的投影向量.

設(shè)平面α，A是平面α內(nèi)一點，P是平面α外一點，n⊥α，θ是n與的夾角，則在n上的投影向量為

cosθ=

·=·，它的模長為

cosθ

=. 由于n⊥α，因此在n上的投影向量也垂直于α，所以是P到平面α的距離.

（3）投影向量與正交分解和直角坐標(biāo)系

不妨分別在平面內(nèi)和空間中看投影向量與正交分解和直角坐標(biāo)系的聯(lián)系.

定義：平面內(nèi)，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解[4].

設(shè)平面內(nèi)的兩個互相垂直的向量e1，e2組成一個基底{e1，e2}，任一向量a可以分解為a=xe1+ye2，則a在e1，e2上的投影向量分別為

a

cos〈a，e1〉=e1= e1= xe1，

a

cos〈a，e2〉=e2=e2=ye2，即a在e1，e2上進(jìn)行正交分解所得的分向量就是a分別在e1，e2上的投影向量.

更進(jìn)一步，設(shè)平面內(nèi)的兩個互相垂直的單位向量i，j組成一個基底{i，j}，任一向量a可以分解為a=xi+yj，則a在i，j上的投影向量分別為

a

cos〈a，i〉=i=i=xi，

a

cos〈a，j〉=j=j=yj. 由于a由（x，y）唯一確定，（x，y）為a的坐標(biāo)，因此a的坐標(biāo)分別對應(yīng)它在i，j上的投影向量的模長.

定義：空間中，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解[6].

設(shè)空間中的三個兩兩垂直的向量e1，e2，e3組成一個基底{e1，e2，e3}，任一向量a可以分解為a=xe1+ye2+ze3，則a在e1，e2，e3上的投影向量分別為

a

cos〈a，e1〉·=e1=e1=xe1，

a

cos〈a，e2〉=e2=·e2=ye2，

a

cos〈a，e3〉·=e3=e3=ze3，即a在e1，e2，e3上進(jìn)行正交分解所得的分向量就是a分別在e1，e2，e3上的投影向量.

更進(jìn)一步，設(shè)空間中的三個兩兩垂直的單位向量i，j，k組成一個基底{i，j，k}，任一向量a可以分解為a=xi+yj+zk，則a在i，j，k上的投影向量分別為

a

cos〈a，i〉=i=i=xi，

a

cos〈a，j〉=j=·j=yj，

a

cos〈a，k〉=k=k=zk. 因為a由（x，y，z）唯一確定，（x，y，z）為a的坐標(biāo)，所以a的坐標(biāo)分別對應(yīng)它在i，j，k上的投影向量的模長.

3. 從物理學(xué)科看新增投影向量的合理性

已知兩個非零向量a，b，它們的夾角為θ，把數(shù)量

a

b

cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積，即a·b=

a

b

cosθ[4]. 這是新舊教材中均給出的數(shù)量積的定義. 物理中，質(zhì)點在力F作用下產(chǎn)生位移s，則對質(zhì)點所做的功就是F·s. 即物理對功的定義與數(shù)學(xué)向量的數(shù)量積相關(guān).

物理中，并非所有作用于質(zhì)點的力F均會做功，而是在位移方向上的力才會做功，即力F在位移s上的分力才會做功. 因此，與位移s共線的F的分力才是關(guān)注的重點.

實際上，由投影向量的定義可見，a在b上的投影向量是與b共線的a的分向量. 這與物理中的與位移s共線的F的分力相呼應(yīng)，并且與物理的正交分解以及數(shù)學(xué)的平面向量基本定理和向量的正交分解相聯(lián)系. a與b的數(shù)量積等于a在b上的投影向量與b的數(shù)量積，也與物理中只有力F在位移s上的分力才會做功、力F與位移s垂直的分力不做功相對應(yīng).

[?]投影向量教學(xué)的可行性分析

結(jié)合前文對投影以及投影向量的合理性分析，投影與投影向量與學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)相關(guān)，與學(xué)生其他學(xué)科的學(xué)習(xí)相關(guān)，與后續(xù)形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相關(guān). 接下來就投影與投影向量的引入，概念內(nèi)涵的揭示，公式與變形以及應(yīng)用等方面提供教學(xué)建議.

（1）投影與投影向量的引入：投影與投影向量和物理中力的正交分解以及力的做功有著密切聯(lián)系，教學(xué)中可以用力的正交分解或力的做功進(jìn)行引入，同時要強(qiáng)調(diào)投影與投影向量這兩者的聯(lián)系，從而加強(qiáng)學(xué)科間的聯(lián)系，使得學(xué)生能體會到數(shù)學(xué)在物理中的應(yīng)用.

（2）投影與投影向量概念內(nèi)涵的揭示，教學(xué)中需要注意以下幾點：

一是強(qiáng)調(diào)a在b上的投影向量與b的聯(lián)系，即它是b的共線向量.

二是著重投影向量計算公式的推導(dǎo)，并讓學(xué)生理解投影向量由兩部分組成（

a

cos〈a，b〉與），這要求教學(xué)該內(nèi)容前學(xué)生能充分理解與b同向的單位向量與b的關(guān)系，教學(xué)中理解投影向量與b的共線關(guān)系以及投影向量的本質(zhì)是一個向量.

三是深入投影向量計算公式的相關(guān)變式，如揭示投影向量的模長計算公式

a

cos〈a，b〉

=

a

cos〈a，b〉

=

a

cos〈a，b〉

，以及不限于求a在b上的投影向量，而是求向量在不同方向上的投影向量，如a+b在2a+3b上的投影向量為

a+b

cos〈a+b，2a+3b〉.

（3）投影與投影向量的應(yīng)用，教學(xué)中需要注意以下幾點：

一是強(qiáng)調(diào)投影向量與數(shù)量積的聯(lián)系，包括強(qiáng)調(diào)投影向量計算公式的變形，

a

cos〈a，b〉=

a

··=b，強(qiáng)調(diào)用投影向量理解數(shù)量積以及解釋力做功，如a與b的數(shù)量積可理解為a在b上的投影向量與b的數(shù)量積，教學(xué)中用投影向量的特性證明數(shù)量積的分配律.

二是強(qiáng)調(diào)投影向量與正交分解以及直角坐標(biāo)系的聯(lián)系. 教學(xué)中可與學(xué)生探究向量分別在兩個互相垂直的向量上的投影向量的聯(lián)系，以及在兩個互相垂直的單位向量上的投影向量的聯(lián)系，以此初步滲透坐標(biāo)表示向量的概念. 由此，可加強(qiáng)學(xué)生對投影向量本身性質(zhì)的理解，同時可給后續(xù)正交分解以及向量的坐標(biāo)表示做鋪墊，并且構(gòu)建起投影向量與向量坐標(biāo)的聯(lián)系.

三是滲透點到直線的距離公式及其向量表示. 教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換角度觀察a在b上的投影向量與a和b的起點、終點以及投影本身暗含的垂直條件的聯(lián)系，以此豐富學(xué)生的思維能力，滲透點到直線的距離公式及其向量表示，為后續(xù)求空間中點到直線、點到平面的距離公式與其向量表示做鋪墊.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗版）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[2]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2021.

[3]? 人民教育出版社. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修4[M]. 北京：人民教育出版社，2007.

[4]? 章建躍，李增滬. 普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2021.

[5]? 林群. 義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)九年級下冊[M]. 北京：人民教育出版社，2014.

[6]? 章建躍，李增滬. 普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性第一冊（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2021.