基于作圖立意 精于問題設(shè)計 促進(jìn)有效復(fù)習(xí)

張超

［摘 ?要］ 文章以一堂“全等三角形判定方法”的復(fù)習(xí)課為例，提出初中復(fù)習(xí)課教學(xué)的幾點思考，即教學(xué)方式應(yīng)以學(xué)生為主體，問題設(shè)計應(yīng)舊知新問，作圖構(gòu)思應(yīng)先面后點.

［關(guān)鍵詞］ 全等三角形；復(fù)習(xí)課；初中數(shù)學(xué)

近期，筆者參加了一堂“全等三角形判定方法”的復(fù)習(xí)課，復(fù)習(xí)課簡約生動、別開生面，讓人耳目一新. 現(xiàn)把教學(xué)過程與反思整理如下，與各位同仁交流分享.

教學(xué)過程

1. 全等圖形再認(rèn)識

師：如圖1所示，美麗的圖案是由全等圖形構(gòu)成的，其中，全等三角形是最基本的全等圖形，本節(jié)課我們再一起認(rèn)識一下全等三角形.

設(shè)計意圖 創(chuàng)設(shè)的情境既讓學(xué)生享受到了數(shù)學(xué)之美，也為后面全等三角形判定方法的復(fù)習(xí)埋下了伏筆.

2. 設(shè)計全等圖形

活動1：先畫△ABC，再畫另一個三角形，使其與△ABC全等，且有一個公共頂點，并在圖形上標(biāo)出這兩個三角形全等的條件. 可以尺規(guī)作圖，也可以使用刻度尺、量角器、三角尺等作圖. 學(xué)生獨立完成任務(wù)后在小組內(nèi)進(jìn)行交流，教師在巡視過程中進(jìn)行指導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生做好的作品，讓其在黑板上進(jìn)行展示（圖2就是部分學(xué)生完成的作品）.

設(shè)計意圖 這是一道開放性問題，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于促進(jìn)學(xué)生交流與表達(dá)，有利于提高學(xué)生解決問題的自信心. 不同的作圖方法開闊了學(xué)生的視野，激發(fā)了學(xué)生的主體意識與參與意識.

3. 升華認(rèn)識

師：為了讓我們的學(xué)習(xí)更高效，必須有序地整理與歸納問題，下面請同學(xué)們把上述幾位同學(xué)的作品按全等三角形的判定方法進(jìn)行整理歸類.

生1：第①個圖形是一類，使用了“邊邊邊”的判定方法；第②個圖形與第③個圖形是一類，它們都使用了“邊角邊”的判定方法；第④個圖形是一類，使用了“角邊角”的判定方法；第⑤個圖形是一類，使用了“角角邊”的判定方法.

生2：第③個圖形使用的是“邊邊角”的判定方法，而全等三角形的判定方法里沒有這種方法，所以第③個圖形使用的判定方法不正確.

師：傾聽他人的意見，從中發(fā)現(xiàn)問題，并敢于把問題提出來，就是一種可貴的學(xué)習(xí)品質(zhì)，且這位同學(xué)還提出了自己的見解，給這位同學(xué)點贊. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識一方面要關(guān)注結(jié)果，另一方面還要關(guān)注過程. 下面請畫出上述五個圖形的同學(xué)，把你們的作圖過程說出來，并說明為什么這樣畫出的三角形與原三角形全等.

生3：（第①個圖形）以點A為圓心，以BC的長為半徑畫弧，再以點B為圓心，以AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，連接AD，BD. 由作圖可知，AD=BC，AC=BD，AB=BA，根據(jù)“邊邊邊”的判定方法可知△ABC≌△BAD.

生4：（第②個圖形）用刻度尺量出AB的長，然后畫線段BE=AB；用量角器量出∠ABE的度數(shù)，畫∠CBD=∠ABE，在∠CBD的BD邊上截取BD=BC，連接DE. 由作圖可知，∠CBD=∠ABE，所以∠EBD=∠ABC. 又BE=AB，BD=BC，根據(jù)“邊角邊”的判定方法可得△ABC≌△EBD.

生5：（第③個圖形）用量角器量出∠ACB的度數(shù)，然后畫∠ACD=∠ACB，以點A為圓心，以AB的長為半徑畫弧與∠ACD的一邊相交于點D，連接AD. 經(jīng)過度量發(fā)現(xiàn)BC=CD，說明△ABC≌△ADC.

師：在作圖過程中，我發(fā)現(xiàn)按生5的作圖方法只能作出一個△ADC使△ABC≌△ADC，為什么他根據(jù)“邊邊角”作出的△ADC與△ABC是全等的呢？觀察這兩個三角形可以發(fā)現(xiàn)，它們有兩邊及一邊的對角分別相等，且這個對角是鈍角，說明可以用“邊邊鈍角”判定兩個三角形全等.

生6：（第④個圖形）延長AC到E，使AE=AB，然后尺規(guī)作圖使∠AED=∠ABC，交AB于點D. 因為∠BAC=∠EAD，AB=AE，∠AED=∠ABC，根據(jù)“角邊角”的判定方法可得△ABC≌△AED.

生7：（第⑤個圖形）分別延長AC，BC，在BC的延長線上取一點E，使BC=CE，過點E作ED∥AB，交AC的延長線于點D，則∠BAC=∠EDC. 因為∠ACB=∠ECD，BC=CE，根據(jù)“角角邊”的判定方法可得△ABC≌△DEC.

設(shè)計意圖 教師首先引導(dǎo)學(xué)生按全等三角形的判定方法去分類，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)第③個圖形利用的是“邊邊角”判定方法，不能判定兩個三角形全等；然后教師向?qū)W生追問作圖過程，旨在引導(dǎo)學(xué)生思考三角形全等的理由. 在此過程中，師生發(fā)現(xiàn)了一個重要的結(jié)論，對于兩個三角形，有兩條邊對應(yīng)相等，其中一條相等的邊對應(yīng)的是鈍角且相等，那么這兩個鈍角三角形全等. 整個引導(dǎo)過程自然天成，于整體上展開教學(xué)，于一處點升華，雖然起點很低，但促進(jìn)了學(xué)生認(rèn)知的提升和思維品質(zhì)的發(fā)展.

4. 反思升華

活動2：如果一個三角形的兩邊長分別是3 cm和4 cm，有一個角是40°，請畫出一個滿足條件的三角形.

生8：如圖3所示，先畫一個角等于40°，然后在這個角的兩邊分別截取3 cm和4 cm的線段，最后連接BC構(gòu)成△ABC.

生9：如圖4所示，先畫一個角等于40°，然后在這個角的一邊截取4 cm的線段，再以線段的右端B為圓心，以3 cm為半徑畫圓，我發(fā)現(xiàn)圓B與射線AD有兩個交點C，D，連接BC，BD，那么△ABC，△ABD都是符合題意的三角形.

生10：如圖5所示，先畫一個角等于40°，然后在這個角的一邊截取3 cm的線段AB，再以點B為圓心，4 cm的長為半徑畫弧交AC于點C，連接BC，則△ABC也是符合題意的三角形.

師：請同學(xué)們觀察圖4中的△ABC，△ABD，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生11：兩個三角形，有兩條邊分別對應(yīng)相等，且一邊的對角也相等，但△ABC是鈍角三角形，而△ABD是銳角三角形，這兩個三角形不可能全等. 也就是說不能利用“邊邊角”判定兩個三角形全等.

師：通過剛才的活動，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)已知兩邊與一角，可以作出四個互不全等的三角形，如果把條件改為“一個三角形的兩邊長分別是2 cm與4 cm，一個角是40°”，那么符合條件的三角形一共有幾個？

生12：根據(jù)剛才的經(jīng)驗可以作出四個互不全等的三角形，因為40°的角可以作為2 cm邊和4 cm邊的夾角，也可以作為2 cm邊的對角或4 cm邊的對角.

生13：如圖6所示，當(dāng)40°的角作為2 cm邊的對角時，不能構(gòu)成三角形，所以只能作三個符合題意的三角形.

設(shè)計意圖 從一個簡單的作圖問題入手，把學(xué)生帶入學(xué)習(xí)狀態(tài)，當(dāng)?shù)谝粋€學(xué)生作出一個圖形時，教師又引導(dǎo)學(xué)生作出第二個、第三個圖形，根據(jù)這三個圖形巧妙地說明了利用“邊邊角”并不能判定兩個三角形全等. 接著，教師升級問題，改變已知條件，結(jié)果只能作出三個符合題意的三角形. 在作圖過程中，凸顯了分類討論數(shù)學(xué)思想，充分體現(xiàn)了以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)思想.

5. 全等大盤點

師：在本節(jié)課即將結(jié)束時，有必要對所學(xué)內(nèi)容與方法進(jìn)行盤點，只有這樣才能提高學(xué)習(xí)效益. 同學(xué)們，在作圖過程中，應(yīng)用了哪些知識？運用了哪些方法？

經(jīng)過盤點，學(xué)生得知應(yīng)用“角角角”“邊邊角”不能證明兩個三角形全等，只有“邊角邊”“角邊角”“角角邊”“邊邊邊”才能證明兩個三角形全等.

設(shè)計意圖 簡單的問題，在盤點知識與方法的同時，也滲透了數(shù)學(xué)思想方法.

教學(xué)反思

1. 作圖構(gòu)思——先面后點

復(fù)習(xí)課要達(dá)到兩個目標(biāo)：一是把學(xué)過的知識進(jìn)一步內(nèi)化，二是提升學(xué)生綜合運用知識的能力［1］. 本課教學(xué)中，教師以作圖構(gòu)思整個課堂，從課堂開始到高潮到結(jié)束，都圍繞作圖進(jìn)行追問，對圖形進(jìn)行整理與歸類，力求突破與超越尺規(guī)作圖. 在實踐過程中，學(xué)生思維之間的碰撞與啟發(fā)，隨機生成許多意想不到的作圖方法，又一次詮釋了“角角角”“邊邊角”不能判定兩個三角形全等的原因.

2. 設(shè)計問題——舊知新問

復(fù)習(xí)課不是簡單的舊知識重復(fù)，只有對學(xué)過的知識恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行設(shè)計，才能引發(fā)學(xué)生思考，避免學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)學(xué)知識的審美疲勞而讓學(xué)生失去學(xué)習(xí)的興趣. 在設(shè)問的構(gòu)思上，力求設(shè)計有層次，解決問題的方式方法多樣化，體現(xiàn)舊知新問的智慧. 比如，復(fù)習(xí)全等三角形的判定方法時，教師沒有直接向?qū)W生問判定方法，而是給學(xué)生設(shè)計了一個作圖任務(wù)，這個任務(wù)具有開放性與操作性，學(xué)生面對問題，各顯神通，達(dá)到了良好的復(fù)習(xí)效果.

3. 教學(xué)方式——學(xué)為主體

復(fù)習(xí)效果如何，取決于學(xué)生參與課堂的積極程度［2］. 教師必須選擇合理的教學(xué)方法，才能吸引學(xué)生參與課堂教學(xué)，如本復(fù)習(xí)課立足學(xué)生的認(rèn)知水平，以動手作一個與原三角形全等的三角形為載體，開啟整個課堂教學(xué)，時而利用小組合作，交流互動，時而利用追問，引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)新的策略，把以學(xué)生為主體的理念切切實實地落在了實處.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 吳曉剛. 突破常規(guī)框架 促進(jìn)深入學(xué)習(xí)——以“全等三角形復(fù)習(xí)”為例［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2021（09）：56-58.

［2］ 張錄林.注重教學(xué)主線 落實課程標(biāo)準(zhǔn)——以“全等三角形”復(fù)習(xí)課為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（21）：3-4.