動態(tài)幾何：賦予 “空間觀念”以生長的力量

任超

【摘 要】“圖形與幾何”作為數(shù)學課程四大板塊內(nèi)容之一，重點培養(yǎng)學生的空間觀念。但由于傳統(tǒng)教學軟件的局限性，教師在教學圖形與幾何板塊時往往因工具而掣肘。筆者以幾何畫板為依托，結(jié)合具體實例，探索討論動態(tài)幾何在教學過程中的應(yīng)用，為教師更好地幫助學生發(fā)展空間觀念提供幫助。

【關(guān)鍵詞】動態(tài)幾何 幾何畫板 空間觀念

“數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學。”空間形式最主要的目標是發(fā)展空間能力。動態(tài)幾何讓圖形“動”起來，在“運動或變換”中來研究、揭示、學習圖形的性質(zhì)，這樣一方面可以加深對圖形特征的本質(zhì)認識、體驗幾何原理的生長過程;另一方面可以培育數(shù)學情感，促進邏輯推理能力和直觀想象的能力發(fā)展，實現(xiàn)空間素養(yǎng)的提升。

一、審視：“動態(tài)幾何”教學現(xiàn)狀

在小學數(shù)學課程中，“圖形與幾何”作為數(shù)學課程四大板塊內(nèi)容之一，重點培養(yǎng)學生的空間觀念，在這個過程中就不得不提到一項與信息技術(shù)相關(guān)的策略——動態(tài)幾何。為了剖析目前小學數(shù)學“動態(tài)幾何”的教學現(xiàn)狀及教師對這一概念的認知，筆者通過“問卷”對所在地區(qū)的102位教師（其中21位低年級教師、29位中年級教師、52位高年級教師）進行了隨機調(diào)查，結(jié)果如下表。

通過調(diào)查統(tǒng)計表，我們發(fā)現(xiàn)：

（1）被調(diào)查的教師中，一半以上的教師對“動態(tài)幾何”這一概念不了解;

（2）在平時的圖形與幾何的教學過程中，大部分教師只采用演示文稿來進行教學，對于其他一些動態(tài)幾何的軟件運用很少。筆者通過與幾位被調(diào)查的教師談話發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因大致有這幾種：①對PPT的運用比較熟練;②不知道有哪些動態(tài)幾何軟件;③對軟件的功能和作用不了解。

（3）“非常愿意”和“想要嘗試”運用動態(tài)幾何軟件來輔助教學的教師總和占了總數(shù)的91.18%。

綜上所述，數(shù)學教師因?qū)?“動態(tài)幾何”認知度不高，缺乏對動態(tài)幾何軟件的了解和運用，動態(tài)幾何的教學理念在數(shù)學課堂中并未得到廣泛的運用，但絕大部分教師對這一理念有興趣，想要在自己的課堂中進行嘗試。本文基于這一現(xiàn)象，結(jié)合具體實例，對“動態(tài)幾何”在培養(yǎng)學生空間觀念的方法與價值方面進行闡述。

二、思考：“動態(tài)幾何”的內(nèi)涵特質(zhì)

動態(tài)幾何是在近現(xiàn)代數(shù)學思想的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種幾何思想，它起源于20世紀80年代，最初的目的是利用相應(yīng)的計算機軟件代替圓規(guī)和直尺畫直線、圓及其交點等幾何圖形。

著名數(shù)學家A.H.柯爾莫戈洛夫指出：“只要有可能，數(shù)學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化?！币孕畔⒓夹g(shù)為依托，動態(tài)幾何為這種“幾何可視化”增加了動態(tài)的元素。在眾多的動態(tài)幾何軟件中，“幾何畫板”的作用不容小覷。點、線、圓是其基本元素，一方面幾何畫板可以進行平行線、垂線等的構(gòu)造，能度量圖形的周長、面積，同時它還具有多種圖形變換功能，包括平移、旋轉(zhuǎn)等;另一方面，畫板中的某些對象可以用鼠標拖動或用參數(shù)的變化來直接驅(qū)動，而其他沒有被拖動或直接驅(qū)動的對象會自動調(diào)整其位置，以保持圖形原來設(shè)定的幾何性質(zhì)。它比PPT更能輕松解決“圖形運動和變化”的問題，它打破了Flash動畫只能按照設(shè)定的橋段走的局限性。它讓圖形與幾何的學習變得直觀、生動、豐富，對發(fā)展學生的空間觀念、培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力有著十分重要的價值。本文著重描述“幾何畫板”在發(fā)展學生空間能力方面的實踐。

三、追尋：“動態(tài)幾何”的實踐策略

動態(tài)幾何貫穿于“圖形與幾何”的四大領(lǐng)域（圖形的認識、測量、運動與位置）學習的全過程。通過觀察、想象、比較、綜合、抽象分析的過程，發(fā)展學生的空間觀念。

（一）變“靜”為“動”，發(fā)展空間知覺

數(shù)學知識是豐富多彩的，但呈現(xiàn)在教材中的知識是靜態(tài)的、抽象的，如何把內(nèi)隱的、壓縮的過程直觀化、外顯化，動態(tài)幾何的“動態(tài)演示”功能恰好能做到這一點。

以“正方體展開圖”為例。這是蘇教版數(shù)學六年級上冊的內(nèi)容，是學生在認識正方體后的一節(jié)課程。教材編排這節(jié)課的目的是通過教學正方體的展開圖來培養(yǎng)學生的空間觀念。在平時的教學中，教師往往直接告知學生展開圖的類型分別有“1-4-1”“2-3-1”“3-3”這三種模型，并將其對應(yīng)的展開圖以圖片形式呈現(xiàn)。這樣的教學過程，學生的空間思維并沒有得到發(fā)展，更多的只是死記硬背。而動態(tài)幾何就能很好地把這一過程清晰地演繹出來（如圖1、圖2）。

如圖1，左側(cè)是平面展開圖，右側(cè)是立體圖，通過拖拽可以將正方體按照左側(cè)展開圖的形式一步一步展開;如圖2，也可以將展開圖還原成正方體。通過演示，讓學生經(jīng)歷“立體—平面—立體”的思維過程，將靜態(tài)的、抽象的知識動態(tài)化、外顯化，學生的空間思維在一開一合之間得到了最大的發(fā)展。

認識圓柱的時候，也可以引入動態(tài)幾何。教師用幾何畫板，將一個點沿著直線運動，另一個點隨意運動，在移動的過程中利用“追蹤點”功能留下點的軌跡，學生發(fā)現(xiàn)點的運動軌跡可以是直線，也可以是曲線。接下來教師提問：想一想，線段的運動會形成怎樣的圖形呢？學生思考后繼續(xù)觀察幾何畫板中線段通過平移或旋轉(zhuǎn)可以得到平面圖形。此時，學生能聯(lián)想到通過面的運動就可以得到立體圖形。學生這樣的猜想是否正確，教師可以讓學生利用手中的長方形或圓形紙片自主操作，并討論交流。最后，教師通過幾何畫板來驗證：將長方形繞著線段OD旋轉(zhuǎn)，保留長方形旋轉(zhuǎn)一周的軌跡，形成圓柱（如圖3）;或?qū)AO沿直線方向向下拉動，留下的軌跡也是圓柱（如圖4）。

這一教學過程，由觀察靜態(tài)圖片變?yōu)閱栴}引領(lǐng)下的動態(tài)動畫呈現(xiàn)，動態(tài)幾何豐富了幾何圖形教學的方式，化抽象為直觀，化單一表征為多元表征。通過教師的引導，學生在已有知識的基礎(chǔ)上進行建構(gòu)，空間知覺以“零維—一維—二維—三維”的方式得到發(fā)展，教師潛移默化地滲透了平面圖形與立體圖形間的聯(lián)系，達到了知識間的內(nèi)部遷移，深化了學生對“點動成線”“線動成面”“面動成體”的感知和理解。學生有了這樣的表象依托后，教師可以進一步讓學生對比不同素材旋轉(zhuǎn)后所得到的圓柱的特點，從而深刻理解圓柱的粗細、高矮與什么有關(guān)，為接下來圓柱的表面積和體積的學習打下堅實的基礎(chǔ)。

（二）變“散”為“連”，豐富空間表象

理論和實踐告訴我們，小學生形成、發(fā)展空間觀念主要依靠“視覺”和“觸覺”，而實踐操作是個體化的、散點狀的，引進動態(tài)幾何，在變與不變比較中，可以溝通圖形之間的聯(lián)系。

幾何畫板中的動畫功能是最基本的一項功能，在制訂路徑（線段、直線、圓等）上構(gòu)造一個點，這個點就可以在既定的軌跡上往正反兩個方向運動。運動的方式可以用鼠標按住點來運動，也可以設(shè)置動畫按鈕來控制運動。下面就以兩個具體實例來闡述：

“多邊形面積的整理與復習”一課中，要求學生“在方格圖上畫一個與梯形的高和面積都相等的圖形”。教師在講解過程中，可以利用幾何畫板點的動畫功能，讓梯形右上方的一點，沿著上底所在的直線這條軌跡運動，從而制作出動畫（如圖5）：

在這一開放性問題的引領(lǐng)下，學生自主探究，個性化表達，而在分享交流中，通過幾何圖形的動態(tài)演示，為學生直觀感知圖形間相互轉(zhuǎn)化的運動過程創(chuàng)造可能，盡管圖形的形狀在變，但圖形的面積沒有發(fā)生改變，本質(zhì)在于平行線之間的距離處處相等。正是基于這一前提，學生在這節(jié)課中，感受到了數(shù)學的統(tǒng)一之美：當梯形上底縮小為0時就成了三角形，當梯形上、下底相等時就成了平行四邊形（如圖6）。

（三）變“虛”為“實”，發(fā)展空間觀念

抽象是數(shù)學的主要特征之一?；谛W生的認知特點，借助動態(tài)幾何軟件，可以給抽象的知識以直觀的支撐，讓空間觀念真實可及。在探索“三角形三邊關(guān)系”時，學生的操作體驗是這節(jié)課中必不可少的環(huán)節(jié)。但上過這節(jié)課的教師都知道，三角形的三條邊是線段，但教師準備的材料（塑料吸管、吸鐵磁條等）在圍成三角形時都會存在誤差。在教學過程中，如何合理解釋“兩邊之和等于第三邊”這種不能構(gòu)成三角形的情況，是在上這節(jié)課時的一個隱藏的卻避無可避的“雷”。

利用幾何畫板就能把這個不易操作的實驗過程以動態(tài)直觀的形式真實呈現(xiàn)。

值得一提的是，幾何畫板中的動畫功能和Flash是有區(qū)別的：Flash中的動畫是既定的，教師一般根據(jù)教學設(shè)計提前制作，沒有實時演示功能;而幾何畫板中的動畫功能，教師可以通過右側(cè)的控制按鈕實現(xiàn)實時演示功能。這樣做的好處是讓課堂更具交互性，且通過兩條邊的頂點逐漸靠近，讓學生感受到兩邊之和與第三條邊相等是沒有辦法圍成三角形的，也讓學生感受到數(shù)學作為一門科學的嚴謹性。

數(shù)學結(jié)論的得出，經(jīng)歷的過程一般都是“分析—假設(shè)—實驗—驗證”這四個步驟，教師在教學過程中為了讓學生感受數(shù)學這門學科的嚴謹性，都會告訴學生要進行多次實驗，才能得出正確的結(jié)論。但這個“多次實驗”往往既費時又費力。以“圓的面積”這節(jié)課為例，在推導圓面積公式的時候，教師通過將圓等分拼成類似長方形，從而推導得到圓面積的計算公式。

單純地用剪拼的操作來推導顯然太麻煩，而且效果也不理想，如果是一般的課件其預設(shè)又太單一（圓等分的份數(shù)只能事先預設(shè)，不能根據(jù)課堂生成隨機改變）， “圓等分的份數(shù)越多，拼成的圖形越像長方形”。對于這一點教師往往只能讓學生發(fā)揮想象，而對空間觀念比較薄弱的學生來說，這一過程并未在其大腦中建立表象，利用幾何畫板，就可以根據(jù)學生的回答將圓等分，把思維的過程可視化，真正做到了以“一圖應(yīng)萬變”。

總之，動態(tài)幾何是為了解決傳統(tǒng)數(shù)學教學中難以解決的問題，是為了從根本上改變數(shù)學學習方式，有利于學生更好地理解與思考。教學中，一方面要堅持學生本位，要考慮學生的認知特點;另一方面要堅持學科本質(zhì)，要考慮教學目標，讓信息技術(shù)與小學數(shù)學相輔相成，在發(fā)展空間能力的同時，實現(xiàn)學生數(shù)學素養(yǎng)的提升。

【參考文獻】

[1]毛雪琴，何姝珊.動態(tài)幾何在中學數(shù)學教學中的應(yīng)用及其價值[J].高等函授學報（自然科學版），2008（3）.

[2]張文梅.幾何畫板對初中學生幾何動態(tài)問題解決的有效性探索[D].上海：華東師范大學，2010.

[3]莊振林.幾何畫板在高中解析幾何教學中的應(yīng)用研究[D].呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學，2013.

[4]李春娟.淺談小學生空間觀念的培養(yǎng)[J].小學教學參考，2014（23）.

[5]包靜娟.用本原性問題驅(qū)動數(shù)學理解[J].教育研究與評論（小學教育教學），2018（10）.