初中數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)測(cè)評(píng)的實(shí)踐探索

樊向陽 徐德同

摘要：數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。在2020年江蘇省義務(wù)教育學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)中，初中數(shù)學(xué)項(xiàng)目組特別注重創(chuàng)設(shè)真實(shí)性情境，充分關(guān)注數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)與情境特征的明確關(guān)系，確定合理的任務(wù)呈現(xiàn)方式，提供恰當(dāng)?shù)闹涡圆牧匣蛐畔ⅰＴ囶}經(jīng)多次研討打磨，呈現(xiàn)方式基于學(xué)生的知識(shí)水平，能夠促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)習(xí)的知識(shí)去解決，增加與數(shù)學(xué)建模的親近感，實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用的目的，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際價(jià)值。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè);素養(yǎng)測(cè)評(píng);初中數(shù)學(xué)

一、 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)的實(shí)踐依據(jù)

（一） 數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵和表現(xiàn)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)“數(shù)學(xué)建?！钡拿枋鰹椋骸皵?shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題……數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗(yàn)和完善模型，分析和解決問題?！?/p>

（二） 數(shù)學(xué)建模的評(píng)價(jià)要素

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)比數(shù)學(xué)知識(shí)或技能更具有綜合性，在具體內(nèi)涵和表現(xiàn)機(jī)制上也更為復(fù)雜。核心素養(yǎng)是學(xué)生內(nèi)在的能力、品格或特征，它指向?qū)W生在情境任務(wù)中的外在表現(xiàn)，但其本身并不等同于這種表現(xiàn)。核心素養(yǎng)無法被直接觀測(cè)，但可以通過學(xué)生在具體任務(wù)中的實(shí)際表現(xiàn)來評(píng)價(jià)。要確保這種評(píng)價(jià)的合理性，就要基于素養(yǎng)的內(nèi)涵和外延，厘清素養(yǎng)的評(píng)價(jià)要素，建立素養(yǎng)與具體任務(wù)上的外在表現(xiàn)之間的關(guān)聯(lián)?；跀?shù)學(xué)建模的內(nèi)涵和表現(xiàn)以及初中生的認(rèn)知水平，我們厘定了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的評(píng)價(jià)要素，包括：在實(shí)際情境中明確實(shí)際問題;分析實(shí)際問題中的相關(guān)因素（變量）;合理分析相關(guān)因素，作出適度的假設(shè);將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述;分析數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型;用數(shù)學(xué)方法求解模型;對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行分析、解釋;根據(jù)模型結(jié)果，對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析、解釋;結(jié)合實(shí)際問題，分析數(shù)學(xué)模型的合理性或局限性;分析模型結(jié)果，結(jié)合實(shí)際問題，對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐晟啤?/p>

二、 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)的表現(xiàn)水平

（一） 在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題

1. 水平描述

水平A：能在實(shí)際情境中用符號(hào)語言準(zhǔn)確描述數(shù)學(xué)對(duì)象;能利用數(shù)學(xué)語言對(duì)復(fù)雜情境中的現(xiàn)象進(jìn)行解釋。

水平B：能在實(shí)際情境中用符號(hào)語言準(zhǔn)確描述數(shù)學(xué)對(duì)象;能利用數(shù)學(xué)語言對(duì)復(fù)雜情境中的現(xiàn)象進(jìn)行表達(dá)。

水平C：能用自己的語言描述數(shù)學(xué)對(duì)象的特征;能利用數(shù)學(xué)語言對(duì)簡單情境中的現(xiàn)象進(jìn)行表達(dá)。

水平D：不能選擇適當(dāng)?shù)男问矫枋鰯?shù)學(xué)對(duì)象，或選用其中的一種方式表達(dá)不完整;不能描述數(shù)學(xué)對(duì)象或用數(shù)學(xué)對(duì)象對(duì)簡單情境中的現(xiàn)象進(jìn)行解釋，或描述、解釋不完整，有明顯錯(cuò)誤。

2. 相關(guān)示例

甲、乙兩家葡萄園采摘葡萄的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：

甲葡萄園：入園采摘葡萄不超過4千克需付費(fèi)40元，超過4千克的部分每千克需另付5元。

乙葡萄園：入園門票為每人12元，采摘葡萄每千克另付b元，總費(fèi)用y與采摘質(zhì)量x之間的關(guān)系如圖1所示。

若分別在甲、乙兩家葡萄園采摘8千克葡萄，所付費(fèi)用相同，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式。其他小問主要考查的不是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，故沒有在此呈現(xiàn)（后同）。

（二） 在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，針對(duì)問題建立數(shù)學(xué)模型

1. 水平描述

水平A：能通過信息的重組，獲取解決問題的有效信息，并作出合理的假設(shè)與推斷;能根據(jù)問題情境中的信息提出數(shù)學(xué)問題;能通過分析情境中的數(shù)學(xué)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用知識(shí)、方法等解決非常規(guī)問題。

水平B：能獲取給定問題情境中的信息，并作出合理的假設(shè)與推斷;能根據(jù)問題情境中的信息提出簡單的數(shù)學(xué)問題;能通過圖表等分析問題情境中的數(shù)學(xué)關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)男问奖磉_(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系，并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)、方法等解決非常規(guī)問題。

水平C：能讀懂問題情境中的數(shù)學(xué)信息，并從給定的信息中作出簡單的假設(shè)與推斷;能利用生活現(xiàn)象、直觀模型等解決常規(guī)問題。

水平D：不能讀懂問題情境中的數(shù)學(xué)信息，或不能有效提取問題情境中的數(shù)學(xué)信息;不能利用生活現(xiàn)象、直觀模型等解決常規(guī)問題。

2. 相關(guān)示例

水果店張阿姨以每千克2元的價(jià)格購進(jìn)某種水果若干，銷售一部分后，根據(jù)市場(chǎng)行情降價(jià)銷售，銷售額y（元）與銷售量x（千克）之間的關(guān)系如圖2所示。

求降價(jià)后銷售額y（元）與銷售量x（千克）之間的函數(shù)表達(dá)式。

（三） 運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型和完善模型，最終解決實(shí)際問題

1. 水平描述

水平A：能在學(xué)習(xí)過程中自主發(fā)現(xiàn)和提出新問題，并進(jìn)行質(zhì)疑;能將多種信息聯(lián)系起來，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，能作出恰當(dāng)?shù)倪x擇，并將模型進(jìn)行拓展。

水平B：能在現(xiàn)實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，并將問題抽象成數(shù)學(xué)問題;能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題，獲得分析問題和解決問題的一些基本方法。

水平C：認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題;能利用數(shù)學(xué)的概念和方法解釋現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)生活中的簡單問題。

水平D：不能讀懂問題情境中的數(shù)學(xué)信息，或不能有效提取問題情境中的數(shù)學(xué)信息;不能運(yùn)用知識(shí)和方法解決問題，或解決問題的基本策略與方法有明顯錯(cuò)誤。

2. 相關(guān)示例

為預(yù)防病毒性感冒，某校對(duì)教室進(jìn)行藥熏消毒。測(cè)得藥物燃燒階段和燃燒后的一段時(shí)間內(nèi)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（mg）與時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖3所示。

每立方米空氣中的含藥量低于6mg時(shí)，對(duì)人體方能無毒害作用，那么從消毒開始，經(jīng)過多長時(shí)間學(xué)生才可以回到教室？

三、 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)的研究思路

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的形成源于數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得和運(yùn)用。數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的測(cè)評(píng)與一般的測(cè)驗(yàn)不同，內(nèi)容上力求淡化單純對(duì)知識(shí)點(diǎn)理解和掌握情況的考查，強(qiáng)調(diào)在真實(shí)情境下解決問題的能力因素的考量;力求改變單純?cè)跀?shù)學(xué)內(nèi)部情境中命題的思路，削弱模式化的題型，將多元化的情境、問題和答案的開放性滲透于測(cè)評(píng)試題中，考查思維的深刻性、創(chuàng)造性元素。在命制試題時(shí)，要特別注重創(chuàng)設(shè)真實(shí)性情境，充分關(guān)注數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)與情境特征的明確關(guān)系，確定合理的任務(wù)呈現(xiàn)方式，提供恰當(dāng)?shù)闹涡圆牧匣蛐畔ⅲ瑫r(shí)考慮設(shè)問指向和設(shè)問方式對(duì)問題解決的影響。

下頁表1即2020年江蘇省義務(wù)教育學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)試題命制的多維細(xì)目表。

四、 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)的試題改進(jìn)

2020年江蘇省義務(wù)教育學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)中關(guān)于數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)的測(cè)評(píng)共6小題23分。本文以M8SS182和M8SS183（為同一大題的2個(gè)小問）第（1）問不是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的測(cè)評(píng)試題，為了體現(xiàn)試題完整性，后面仍整體呈現(xiàn)。為例，說明數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)試題的編改過程。

該題重點(diǎn)考查“運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型和完善模型，最終解決實(shí)際問題”的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，要求學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)從生活經(jīng)驗(yàn)中抽象出不等式模型。表1數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)試題命制多維細(xì)目表

題號(hào)題型分值預(yù)估難度核心素養(yǎng)行為表現(xiàn)情境類型具體內(nèi)容M8SS141解答60.70根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，并解決簡單的實(shí)際問題生活情境

學(xué)科情境分式方程模型M8SS142解答40.50根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，并解決簡單的實(shí)際問題生活情境

學(xué)科情境不等式模型M8SS173解答40.63在實(shí)際情境中建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型，解決實(shí)際問題生活情境一次函數(shù)模型M8SS174解答20.45在實(shí)際情境中建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型，解決實(shí)際問題生活情境

學(xué)科情境一次函數(shù)模型M8SS182解答30.45運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型和完善模型，最終解決實(shí)際問題生活情境

學(xué)科情境不等式模型M8SS183解答40.40運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型和完善模型，最終解決實(shí)際問題生活情境

學(xué)科情境綜合應(yīng)用（一） 試題初稿及說明

嘗出來的不等式：數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)問題，就拿我們平時(shí)喝的糖水來說，里面也包含著數(shù)學(xué)問題，并且是不等式的問題。

（1） 假設(shè)在a克糖水中含有b克糖（a>b>0），則糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比（即糖水的濃度）為。再加入m克糖，則糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比（糖水的濃度）為。

（2） 生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，糖水添加糖后會(huì)更甜，于是得出一個(gè)不等式： 。我們?nèi)しQ之為“糖水不等式”。

（3） 請(qǐng)嘗試證明“糖水不等式”。

學(xué)生只有了解情境，才能產(chǎn)生探究的興趣。通過300人試測(cè)和訪談，我們了解到：學(xué)生對(duì)這一真實(shí)情境比較熟悉，覺得貼近生活，很喜歡這道題;但嘗試證明“糖水不等式”比較困難，學(xué)生解答正確率非常低，說明問題設(shè)計(jì)的臺(tái)階太高，中間沒有很好的鋪墊。

（二） 試題過程稿及說明

嘗出來的不等式：數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)問題，就拿我們平時(shí)喝的糖水來說，里面也包含著數(shù)學(xué)問題。

（1） 假設(shè)在a克糖水中含有b克糖（a>b>0），則糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比（即糖水的濃度）為?，F(xiàn)再加入m克糖，則糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比（糖水的濃度）為。

（2） 生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，糖水添加糖后會(huì)更甜，于是得出一個(gè)不等式： 。我們?nèi)しQ之為“糖水不等式”。請(qǐng)你證明這個(gè)“糖水不等式”。

（3） 數(shù)學(xué)上有一個(gè)等比定理：若b1a1=b2a2=…=bnan，則b1+b2+…+bna1+a2+…+an=b1a1。請(qǐng)嘗試用生活中的糖水實(shí)驗(yàn)說明該定理成立。

過程稿經(jīng)多次研討打磨，任務(wù)的呈現(xiàn)方式基于學(xué)生的知識(shí)水平，學(xué)生能運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解決問題。這樣的設(shè)計(jì)，既可以消除學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的疏離感、陌生感，又可以實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用的目的，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際價(jià)值;但總體立意上還是缺乏“從數(shù)學(xué)到生活”的意蘊(yùn)。

（三） 試題定稿及說明

數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)。用我們平時(shí)喝的糖水做“糖水實(shí)驗(yàn)”，也能驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)結(jié)論。

（1） 糖水實(shí)驗(yàn)一：現(xiàn)有a克糖水，其中含有b克糖（a>b>0），則糖水的濃度（即糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比）為ba，加入m克水，則糖水的濃度為。

生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，糖水加水后會(huì)變淡，由此可以寫出一個(gè)不等式，我們?nèi)しQ為“糖水不等式”。

（2） 糖水實(shí)驗(yàn)二：將“糖水實(shí)驗(yàn)一”中的“加入m克水”改為“加入m克糖”，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)你寫出一個(gè)新的“糖水不等式”：。

（3） 糖水實(shí)驗(yàn)三：請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)“糖水實(shí)驗(yàn)”，說明等比定理“若b1a1=b2a2=…=bnan，則b1+b2+…+bna1+a2+…+an=b1a1”成立。

定稿試題的設(shè)計(jì)難度恰當(dāng)、層次合理，充分考慮到學(xué)生的個(gè)體差異，讓不同水平的學(xué)生都能嘗試解決不同的數(shù)學(xué)建模問題。同時(shí)，由易到難的梯度設(shè)置，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能夠幫助學(xué)生樹立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。實(shí)測(cè)結(jié)果也表明，調(diào)整了第（2）問后，學(xué)生對(duì)“從生活到數(shù)學(xué)”的理解更加充分。從全省監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)來看，后兩小問學(xué)生的得分率分別為0.35和0.37，與預(yù)設(shè)難度基本吻合。

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的測(cè)評(píng)旨在通過學(xué)生在具體任務(wù)上的表現(xiàn)，推斷其數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的表現(xiàn)水平。這一推斷過程會(huì)比傳統(tǒng)測(cè)評(píng)方式的推斷過程更為復(fù)雜，體現(xiàn)在整個(gè)推斷過程的諸多環(huán)節(jié)。一方面，要準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵和表現(xiàn)水平;另一方面，要基于真實(shí)情境，創(chuàng)設(shè)能夠引發(fā)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)表現(xiàn)的評(píng)價(jià)任務(wù);同時(shí)，也需要以學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，研制等級(jí)性、多元化的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，提高評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的科學(xué)性和合理性。

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