初中數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)測評的實踐探索

摘要：數(shù)學(xué)抽象是通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)。2020年江蘇省義務(wù)教育學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中，初中數(shù)學(xué)項目組依據(jù)課標(biāo)明確了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)測評的實踐依據(jù)和表現(xiàn)水平，基于橫向?qū)Ρ妊芯坷宥藬?shù)學(xué)抽象素養(yǎng)測評的研究思路。以M8SS17為例，說明數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)測評試題的改進過程。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象;學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測;素養(yǎng)測評;初中數(shù)學(xué)

一、 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)測評的實踐依據(jù)

（一） 數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵和表現(xiàn)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對“數(shù)學(xué)抽象”的描述為：“數(shù)學(xué)抽象是通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)語言予以表征……數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)與體系。”

（二） 數(shù)學(xué)抽象的評價要素

基于數(shù)學(xué)抽象的具體表現(xiàn)，有研究指出：“數(shù)學(xué)抽象的基本操作步驟是：分離屬性與建構(gòu)模型—概括與一般化—定義與符號化—系統(tǒng)化。有了這樣的操作步驟，就可以在教學(xué)實踐中設(shè)計出有針對性的抽象活動，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。”仔細(xì)斟酌這一“基本操作步驟”，不難發(fā)現(xiàn)：這里的“分離屬性與建構(gòu)模型”就是發(fā)現(xiàn)問題;“概括與一般化”就是提出問題;“定義與符號化”意味著分析問題能力的發(fā)展，因為定義過程中對命題的具體表征標(biāo)志著新的信息表征通道的獲得;“系統(tǒng)化”意味著解決問題能力的發(fā)展，因為新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的形成標(biāo)志著抽象已由“工具性理解”上升到“概念性理解”，這意味著新經(jīng)驗的普適是經(jīng)驗增值的標(biāo)志，也是解決問題能力發(fā)展的標(biāo)志。

數(shù)學(xué)抽象的表現(xiàn)是學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)測評的基本參考依據(jù)，其內(nèi)隱于思維品質(zhì)，外顯于問題解決的路線、手段、策略中。所以素養(yǎng)雖然不能被直接觀測，但可以通過學(xué)生在具體任務(wù)中的實際表現(xiàn)加以推測。要確保這種推測的合理性，就必須充分了解所測素養(yǎng)的內(nèi)涵和外延，建立素養(yǎng)與具體任務(wù)上的外在表現(xiàn)之間的關(guān)聯(lián)?；跀?shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵和表現(xiàn)以及初中生的認(rèn)知水平，我們厘定了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的評價要素，包括：在實際情境中明確實際問題;分析實際問題中的相關(guān)因素（變量）;用自然語言描述特點;通過數(shù)學(xué)的思維方式，總結(jié)出一般的規(guī)律;借助符號、圖形等實現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念、關(guān)系和規(guī)律的表征;提煉出解決一類問題的數(shù)學(xué)原理及其中蘊含的數(shù)學(xué)思想;在新的情境中選擇和運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法解決問題。

二、 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)測評的表現(xiàn)水平

（一） 從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系

1. 水平描述

水平A：能在綜合的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言予以表達(dá);能在所得數(shù)學(xué)結(jié)論的基礎(chǔ)上形成新命題。

水平B：能在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出一般的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則;能將已知的數(shù)學(xué)命題推廣到一般的情形。

水平C：能在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則;能在特例的基礎(chǔ)上歸納并形成簡單的數(shù)學(xué)命題。

水平D：不能根據(jù)具體情境抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則;機械識記已有命題，不能進行抽象。

2. 相關(guān)示例

（1） 李奶奶買了一筐草莓，連筐共重a kg，其中筐重1 kg。將草莓平均分給4位小朋友，每位小朋友可分得（）

A. a4 kgB. a4-1kg

C. a+14kgD. a-14 kg

（2） 如圖1，風(fēng)箏牽引繩AB的長度所在范圍是（）

A. 36 m至38 mB. 38 m至40 m

C. 40 m至42 mD. 42 m至44 m

（二） 從事物的具體背景中，借助符號進行運算和推理，抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)

1. 水平描述

水平A：能通過數(shù)學(xué)對象、運算或關(guān)系理解數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu);能理解數(shù)學(xué)結(jié)論的一般性，感悟高度概括、有序多級的數(shù)學(xué)知識體系;能在現(xiàn)實問題中把握對象的數(shù)學(xué)特征，并用數(shù)學(xué)語言予以表達(dá)，感悟通性通法的數(shù)學(xué)原理和其中蘊含的數(shù)學(xué)思想。

水平B：能用恰當(dāng)?shù)睦咏忉尦橄蟮臄?shù)學(xué)概念和規(guī)則;能理解數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論，構(gòu)建相關(guān)知識之間的聯(lián)系;能理解用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的概念、規(guī)則、推理和論證，并提煉出解決一類問題的數(shù)學(xué)方法，理解其中的數(shù)學(xué)思想。

水平C：能解釋數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的含義;能了解命題的條件與結(jié)論，并能從熟悉的問題中抽象出數(shù)學(xué)問題（獨立的、關(guān)聯(lián)不密切）;能用數(shù)學(xué)語言進行基本的表達(dá)、推理和論證，在相似問題的解決中感悟通性通法和其中的數(shù)學(xué)思想。

水平D：不能解釋數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的意義;不能了解命題的條件與結(jié)論;不能用數(shù)學(xué)語言表達(dá)、推理和論證;不能感悟數(shù)學(xué)思想方法。

2. 相關(guān)示例

用黑白兩色棋子按圖2所示的方式擺圖形，依照此規(guī)律，第n個圖形中黑色棋子共有個。

（三） 用數(shù)學(xué)語言予以表征

1. 水平描述

水平A：能用數(shù)學(xué)原理解釋自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象;能針對具體問題運用或創(chuàng)造數(shù)學(xué)方法解決問題。

水平B：能用一般的概念解釋具體現(xiàn)象;能在新的情境中選擇和運用數(shù)學(xué)方法解決問題。

水平C：能夠結(jié)合實際情境解釋相關(guān)的抽象概念;能模仿學(xué)過的數(shù)學(xué)方法解決簡單的問題。

水平D：不能結(jié)合具體情境表達(dá)或解釋一些特征或關(guān)系;不能在具體情境中選擇和運用數(shù)學(xué)方法解決問題。

2. 相關(guān)示例

甲、乙兩家葡萄園采摘葡萄的收費標(biāo)準(zhǔn)如下：

甲葡萄園：入園采摘葡萄不超過4千克需付費40元，超過4千克的部分每千克需另付5元。

乙葡萄園：入園門票為每人12元，采摘葡萄每千克另付b元，總費用y與采摘質(zhì)量x之間的關(guān)系如圖3所示。

（1） 寫出題中的變量：;（至少寫兩個）

（2） a=;

（3） 若分別在甲、乙兩家葡萄園采摘8千克葡萄，所付費用相同，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式。

三、 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)測評的研究思路

（一） 橫向?qū)Ρ妊芯?/p>

在測評試題命制過程中，項目組對比研究了PISA測試數(shù)學(xué)試題、SAT數(shù)學(xué)試題、中學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽試題和日本初中生數(shù)學(xué)試題等系列材料。研究發(fā)現(xiàn)，各測評項目在問題解決的具體問題設(shè)置和考查取向上存在一定的差異。日本初中生數(shù)學(xué)試題和SAT數(shù)學(xué)試題的問題任務(wù)設(shè)計淡化學(xué)科語言、圖像等，按照生活真實情況加以呈現(xiàn)，并給出生活化的問題任務(wù)，對學(xué)生在“數(shù)學(xué)概念及概念之間關(guān)系的抽象”“數(shù)學(xué)規(guī)律的揭示以及數(shù)學(xué)術(shù)語的表征水平”等層面的考查較多，也較為準(zhǔn)確。PISA測試試題和中學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽試題則更講究問題情境設(shè)置生活化，學(xué)生解決問題時需要經(jīng)歷的抽象過程更完整、更復(fù)雜，任務(wù)設(shè)置的層次與數(shù)學(xué)抽象水平的層級更加貼合，更利于準(zhǔn)確地評價學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)層級。

（二） 測評總體思路

具有較高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的學(xué)生，能夠在若干具體的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，能夠?qū)⒁阎臄?shù)學(xué)命題推廣到一般的情形，并能創(chuàng)造性地靈活運用數(shù)學(xué)方法解決問題。數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成源于數(shù)學(xué)知識的習(xí)得和運用。數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的測評，內(nèi)容上力求淡化單純對知識點理解和掌握情況的考查，強調(diào)在真實情境下解決問題能力因素的考量，注重考查學(xué)生對具體問題數(shù)學(xué)本質(zhì)的抽象能力，著眼于通性通法。在命制測評試題時，要特別注重創(chuàng)設(shè)真實情境，充分關(guān)注數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)與情境特征的明確關(guān)系，確定合理的任務(wù)呈現(xiàn)方式，提供恰當(dāng)?shù)闹涡圆牧匣蛐畔?，同時兼顧設(shè)問指向和設(shè)問方式對問題解決的影響。

測評的命題思路一般通過多維細(xì)目表呈現(xiàn)。核心素養(yǎng)測評命題的多維細(xì)目表除了一般應(yīng)具備的題號、題型、分值、預(yù)估難度等項目外，還應(yīng)包括核心素養(yǎng)具體表現(xiàn)、情境類型、具體內(nèi)容、試題目標(biāo)等，以此來細(xì)化落實核心素養(yǎng)的測評。表1即2020年江蘇省義務(wù)教育學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)測評試題命制的多維細(xì)目表。

四、 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)測評的試題改進

2020年江蘇省義務(wù)教育學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中關(guān)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的測評共5小題17分。結(jié)合30人訪談、300人試測和5000人測試的結(jié)果，項目組對每一題都進行了多次打磨修改。下面以M8SS171（為完整呈現(xiàn)改進過程，這里一并呈現(xiàn)該解答題的后續(xù)幾小問）為例，說明數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)測評試題的改進過程。

學(xué)科情境有效提取題目中給出的信息該題重點考查學(xué)生在實際生活情境中，通過閱讀抽象出有用的數(shù)學(xué)信息，并理清各信息之間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，進一步抽象并建立函數(shù)結(jié)構(gòu)模型，最終解決實際問題的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（一） 試題初稿及說明

已知甲、乙兩家葡萄園，甲葡萄園進園采摘葡萄的費用如表2所示。

乙葡萄園，進園需先付a元/人，采摘的葡萄每千克b元，應(yīng)付的金額y（元）與采摘的數(shù)量x（千克）之間的關(guān)系如圖4所示。

（1） y（填“是”或“不是”）x的函數(shù);

（2） 由圖像可知a=;

（3） 小明和小強分別在甲、乙兩家葡萄園采摘了8千克葡萄，所付金額相同，求b的值;

（4） 若在甲、乙葡萄園分別采摘了x千克（x>0）葡萄，應(yīng)付金額差為40元，請直接寫出x的值。

該題創(chuàng)設(shè)了一個貼合學(xué)生生活實際的情境，旨在讓學(xué)生通過自主閱讀，理解給定的信息，根據(jù)給定問題的解決需要，對其中有用的數(shù)學(xué)信息進行剝離和抽象，并逐步深入到對情境中數(shù)量與數(shù)量之間關(guān)系的抽象，最終依據(jù)獲得的數(shù)量關(guān)系，確立數(shù)學(xué)模型，解決問題。項目組深入討論后，有兩點發(fā)現(xiàn)：一是用同樣的兩個字母“x”“y”表示在甲、乙兩個葡萄園分別進行的兩個不同采摘活動中的變量，不僅會給學(xué)生理解數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系帶來一些不必要的干擾，也會嚴(yán)重阻礙抽象層級的有序推進，需要改進;二是（3）（4）兩個設(shè)問較好地體現(xiàn)了“建立邏輯規(guī)則，提出問題解決模型，指向數(shù)學(xué)思想方法的抽象與應(yīng)用”，可以有效考查內(nèi)隱于學(xué)生思維品質(zhì)中的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的不同外顯形式，需要保留。

（二） 試題過程稿及說明

已知甲、乙兩家葡萄園，甲葡萄園進園采摘葡萄的費用如下頁表3所示。

乙葡萄園，進園需先付a元/人，采摘的葡萄每千克b元，應(yīng)付的金額y2（元）與采摘的數(shù)量x（千克）之間的關(guān)系如圖5所示。

y1（元）404040404550556065707580……（1） y1（填“是”或“不是”）x的函數(shù);

（2） 由圖像可知a=;

（3） 小明和小強分別在甲、乙兩家葡萄園采摘了8千克葡萄，所付金額相同，求進乙葡萄園采摘葡萄應(yīng)付的金額y2與采摘的數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式;

（4） 若在甲、乙葡萄園分別采摘m千克，應(yīng)付金額差為40元，直接寫出m的值。

試測和訪談后得知，學(xué)生熟悉這一真實的生活情境，對解答此類問題也有著濃厚的興趣，但在解決過程中存在如下問題：一是對函數(shù)的本質(zhì)定義模糊不清，所以對第（1）問的解答停留在機械性地選擇“是”或“不是”的層面，區(qū)分度達(dá)到-0.14，這嚴(yán)重偏離了“考查學(xué)生對兩個變化過程中‘應(yīng)付的金額y（元）與采摘的數(shù)量x（千克）之間的關(guān)系的理解與抽象水平”這一本質(zhì)目的，說明問題設(shè)計的指向性（基于八年級學(xué)生的實際抽象水平）還需要進一步明確;二是在甲園中采摘的數(shù)學(xué)信息用表格的形式給出，閱讀量較大，較多學(xué)生對其中兩個變量之間的關(guān)系表達(dá)不準(zhǔn)確或不能表達(dá)，這使得整個問題切入過難;三是在對后兩個問題的解答中，較多學(xué)生在不能完成前兩個問題解答的前提下，會利用坐標(biāo)系中的單位長度，通過畫圖找出某點的坐標(biāo)進行計算，進而解決問題，這也導(dǎo)致問題考查的重心偏離了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。所以，在300人前測的基礎(chǔ)上，項目組依據(jù)數(shù)據(jù)和訪談情況，又對試題做了修改。

（三） 試題定稿及說明

甲、乙兩家葡萄園采摘葡萄的收費標(biāo)準(zhǔn)如下：

甲葡萄園：入園采摘葡萄不超過4千克需付費40元，超過4千克的部分每千克需另付5元。

乙葡萄園：入園門票為每人12元，采摘葡萄每千克另付b元，總費用y與采摘質(zhì)量x之間的關(guān)系如圖6所示。

（1） 寫出題中的變量：;（至少寫兩個）

（2） a=;

（3） 若分別在甲、乙兩家葡萄園采摘8千克葡萄，所付費用相同，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式。

多次打磨后的試題，問題表述更加貼合生活實際（生活中，不會用表格來呈現(xiàn)采摘質(zhì)量與所付費用之間的關(guān)系），問題（1）的設(shè)問指向也由原來的對多個量之間復(fù)雜關(guān)系的揭示轉(zhuǎn)為分析問題中具體數(shù)量的特征，這就使得對問題中數(shù)量及數(shù)量之間關(guān)系的抽象切入過程變得舒緩許多。這一改變，不僅利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的有序推進，更利于學(xué)生將問題解決的活動重心向后移，進而讓更多的學(xué)生在（2）（3）兩個問題解決中的抽象水平得以表現(xiàn)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的層級性評價。分析全省監(jiān)測數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，問題（1）學(xué)生的得分率為0.74，與預(yù)設(shè)難度基本吻合。

“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對受教育者的影響及改變，屬于個體的思維品質(zhì)和能力，只有在具體的問題情境中，通過問題的解決過程才能外顯于行為，才能被察覺?！币虼?，在命制測評試題時，要關(guān)注問題的情境性，關(guān)注知識的形成性，關(guān)注思維的深刻性，設(shè)計貼合學(xué)生生活實際的有趣問題，讓學(xué)生在問題探究過程中，有層次地展現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，為學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平的劃分提供客觀的依據(jù)。

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（馬敏，江蘇省連云港市教育局教研室，特級教師，正高級教師。中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會理事、學(xué)術(shù)委員。全國優(yōu)秀教育工作者，全國師德先進個人，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對象，“蘇教名家”培養(yǎng)工程培養(yǎng)對象。曾獲全國和江蘇省初中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課評比一等獎。）