以學(xué)為中心著眼互動的“全微分”類比探究性教學(xué)

景慧麗　王兆強(qiáng)

摘? 要：學(xué)員是學(xué)習(xí)的主體，在教學(xué)過程中必須以學(xué)員為中心，加強(qiáng)教學(xué)互動，讓學(xué)員參與到教學(xué)活動中。探究性教學(xué)突出學(xué)員的主體地位，強(qiáng)調(diào)學(xué)員主動性和創(chuàng)造性的發(fā)揮，考慮到“全微分”與“一元函數(shù)微分”的關(guān)系，文章結(jié)合教學(xué)實踐，對“全微分”這一部分內(nèi)容進(jìn)行突出互動的類比探究性教學(xué)。

關(guān)鍵詞：互動;以學(xué)為中心;類比;探究性教學(xué);全微分

中圖分類號：G642? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2022）10-0005-04

Abstract： Students are the main body of learning. In the process of teaching， we must take learning as the center， strengthen teaching interaction， and let students participate in teaching activities. Inquiry teaching emphasizes the main position of students and emphasizes the initiative and creativity of students. Considering the relationship between complete differential and univariate function differential， this paper combines teaching practice to carry on the analogy inquiry teaching of complete differential.

Keywords： interaction; learning-centered; analogy; inquiry teaching; complete differential

貫徹新時代軍事教育方針必須解決好“教什么、怎么教，學(xué)什么、怎么學(xué)”的問題，這就需要教員發(fā)揮好“教”的主導(dǎo)作用，激發(fā)“學(xué)”的內(nèi)生動力，注意到著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、教育家波利亞（George Polya）曾說：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑都是由自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)，理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。[1]”因此，筆者遵循以學(xué)員為中心的原則，著眼師生互動和生生互動，在教學(xué)過程中充分發(fā)揮學(xué)員學(xué)習(xí)主體作用，研究和實踐了軍校高等數(shù)學(xué)課程的探究性教學(xué)，針對不同的教學(xué)內(nèi)容，研究、探索和實踐了不同的探究性教學(xué)方式。例如，針對習(xí)題課研究和實踐了基于學(xué)員作業(yè)的相互挑刺式的探究性教學(xué)，針對部分概念、定理研究和實踐了基于階梯問題的探索式、討論式和類比式等探究性教學(xué)。注意到多元函數(shù)微積分學(xué)是由一元函數(shù)微積分學(xué)推廣發(fā)展來的[2]，它們之間有很多相同之處，例如，多元函數(shù)在一點處連續(xù)的概念與一元函數(shù)相同，都是? ? ? ? ? ? ? ?;偏導(dǎo)數(shù)的定義與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義一樣，都是增量比的極限;多元分段函數(shù)在分段點處的偏導(dǎo)數(shù)以及高階偏導(dǎo)數(shù)的求法與一元函數(shù)相同，都必須用導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的定義去求[3];多元函數(shù)和一元函數(shù)取得極值的必要條件相同，即若函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)存在，則該極值點必是函數(shù)的駐點;格林公式與牛頓——萊布尼茨公式的本質(zhì)一樣，都揭示的是函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的取值規(guī)律與區(qū)域邊界上的取值規(guī)律之間的聯(lián)系等。因此，多元函數(shù)微積分學(xué)的教學(xué)更適合類比探究性教學(xué)。文章結(jié)合教學(xué)實踐，以“全微分”的教學(xué)為例，探討著眼互動的以學(xué)員為中心的類比探究性教學(xué)的具體實施過程。

一、“全微分”著眼互動的類比探究性教學(xué)過程

（一）由實際問題引入，創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，類比分析，獲得三個基本概念

一堂課的引入方式有很多種，可以開門見山，即直接告訴學(xué)員本節(jié)課要講什么內(nèi)容，這樣重點突出，直觀明了;也可以通過復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容引入本節(jié)內(nèi)容，所謂的溫故而知新;也可以通過檢測預(yù)先布置給學(xué)員的預(yù)習(xí)問題引入，這樣既可以培養(yǎng)學(xué)員的自學(xué)能力，還可以培養(yǎng)學(xué)員參與課堂教學(xué)活動的積極性;當(dāng)然還可以通過與本節(jié)知識相關(guān)的新聞引入等，無論采用什么方法，都要本著以學(xué)為中心的原則，目的是激發(fā)學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣，喚起學(xué)員的思維，引燃學(xué)員的學(xué)習(xí)激情[4]。

本節(jié)教學(xué)內(nèi)容，筆者采用了開門見山和實際問題相結(jié)合的方法引入，即筆者首先告訴學(xué)員本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是全微分的概念及其存在的條件，它和一元函數(shù)微分有很多相同之處但也存在著差異，在學(xué)習(xí)過程中要善于類比，區(qū)分異同，到底它們之間存在哪些相同之處、哪些不同呢，大家拭目以待。這樣的“開場白”激起了學(xué)員的好奇心，學(xué)員們都迫切地想知道答案。然后筆者話鋒一轉(zhuǎn)，告訴學(xué)員類似于其他很多數(shù)學(xué)概念，全微分這個概念也是來源于實際需求的，這樣就自然而然地引出了實際問題，即引例。筆者設(shè)計引例遵循的原則是：既要考慮學(xué)員的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及他們身份的特殊性，也要立足所選用的教材。因此，筆者將教材（即同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的高等數(shù)學(xué)第七版）中本節(jié)內(nèi)容的例題4[5]改編成了引例，即某軍械所學(xué)員在修理武器裝備時，需要對一圓柱體固件進(jìn)行噴涂，噴涂后其半徑r由20 mm增大到20.05 mm，高度h由100 mm增大到100.1 mm，求此圓柱體體積v的改變量？駐v。這樣的引例盡管實質(zhì)與軍事實際問題關(guān)系不大，但是也略帶軍事特色，也能讓學(xué)員感受到數(shù)學(xué)“淡淡的軍味”，無形中也激起了學(xué)員學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

筆者要求學(xué)員自己獨立地去求解引例，學(xué)員完成后，筆者立馬提出問題：如果拋開該問題的實際背景，純粹從數(shù)學(xué)上來研究，數(shù)據(jù)都不變，只借助紙和筆，如何計算函數(shù)z=rh的改變量呢？學(xué)員經(jīng)過討論、嘗試后發(fā)現(xiàn)無法計算出精確值。筆者告訴學(xué)員，在工程應(yīng)用、軍事應(yīng)用以及生活實際中很難得到一個量的精確值，例如引例中圓柱體體積的改變量？駐v的計算需要用到π，而π只有近似值，所以大家得到的結(jié)果只是？駐v的近似值，其實，在實際應(yīng)用中也一般都是用近似值代替精確值，基于這個實際情況，不妨計算函數(shù)z=rh改變量的近似值，該如何計算呢？能快速方便地計算出來嗎？這個問題大部分學(xué)員都毫無頭緒、無從下手。此時筆者啟發(fā)學(xué)員回憶是否學(xué)習(xí)過一元函數(shù)改變量的近似值的計算呢？方法是什么呢？能不能類比當(dāng)時解決一元函數(shù)改變量的近似值的方法來解決二元函數(shù)呢？這樣通過讓學(xué)員回憶、討論和類比，再加上筆者的引導(dǎo)，二元函數(shù)的偏增量、全增量和偏微分這三個基本概念就水到渠成地呈現(xiàn)在學(xué)員面前了。筆者分析完二元函數(shù)偏微分的實質(zhì)，立馬提出下面的問題讓學(xué)員思考、討論：偏增量可以用其自變量增量的線性函數(shù)來近似計算，那么全增量是不是也可以用其自變量改變量的線性函數(shù)近似代替呢？絕大部分學(xué)員都認(rèn)為應(yīng)該可以，此時筆者又提出問題：“怎么表示呢？具體形式是什么呢？”由于學(xué)員數(shù)學(xué)素養(yǎng)不同，接受新知識的能力也不同，此時學(xué)員的結(jié)論就比較多了。當(dāng)學(xué)員的探索偏離“軌道”，甚至有可能出錯時，教員要及時地進(jìn)行干預(yù)、指導(dǎo)，根據(jù)課堂教學(xué)實際情況，筆者引導(dǎo)學(xué)員探索的過程如下。

（二）大膽猜想，由特殊到一般，獲得全微分的概念

筆者首先啟發(fā)學(xué)員類比已學(xué)知識進(jìn)行大膽猜想，然后帶領(lǐng)學(xué)員再對引例重新分析，得到的結(jié)論是：？淄=？仔r2h這個函數(shù)的全增量？駐？淄確實可以用其自變量的增量？駐r、？駐h的線性函數(shù)近似代替，并且具體形式是：？駐？淄=？仔[2rh？駐r+r2？駐h+o（）]，進(jìn)一步可以將其寫成？駐？淄=？仔[A？駐r+B？駐h+o（）]的形式，其中A=2rh，B=r2，顯然這里的A、B都是與？駐r、？駐h無關(guān)的常數(shù)。到此，筆者告訴學(xué)員這個特殊函數(shù)的全增量所具有的形式可以完全推廣到一般的二元函數(shù)，即對二元函數(shù)z=f（x，y）來說，如果其在點P0（x0，y0）處的全增量

可以寫成A？駐x+B？駐y+o（）的形式，其中A、B是不依賴于？駐x、？駐y的常數(shù)，類似于一元函數(shù)可微和微分的概念，此時就稱二元函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處是可微的，并且把A？駐x+B？駐y稱為函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處的全微分。這樣通過猜想以及從特殊到一般的分析方法就獲得了全微分的概念。

合情猜想是科學(xué)探索中一種很重要的思想方法，在教學(xué)過程中，教員要挖掘教學(xué)內(nèi)容中的合情猜想思想，精心進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)員感受、體會合情猜想的美，進(jìn)而掌握這個數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（三）進(jìn)一步分析全微分的概念，類比一元函數(shù)，結(jié)合已學(xué)知識，獲得全微分存在的必要條件

得到全微分的概念后，筆者設(shè)計兩個問題讓學(xué)員討論、探索，其中一個問題是：已知函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處可微，如果讓自變量的增量？駐x、？駐y都趨于零，會有什么情況發(fā)生？另一個問題是：已知函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處可微，如果自變量的增量比較特殊，即？駐x=0或者？駐y=0，會有什么情況發(fā)生？學(xué)員通過解決這兩個問題，得到的結(jié)論是：如果函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處可微，則函數(shù)在該點必連續(xù);函數(shù)在該點的兩個偏導(dǎo)數(shù)也都存在，且A=fx（x0，y0）、B=fy（x0，y0）。此時筆者一方面對學(xué)員的探索步驟進(jìn)行點評、總結(jié)，一方面讓學(xué)員回憶一元函數(shù)在一點處的連續(xù)性、可導(dǎo)性和可微性的關(guān)系，并類比一元函數(shù)思考上述兩個結(jié)論反之是否成立（即如果函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處連續(xù)，那么函數(shù)在該點處是否可微？如果函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么函數(shù)在該點處是否可微？）。學(xué)員的討論結(jié)果并不一致，為了解決學(xué)員的疑問，筆者首先讓學(xué)員說出上述兩個結(jié)論（即如果函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處可微，則函數(shù)在該點必連續(xù);函數(shù)在該點的兩個偏導(dǎo)數(shù)必存在）的逆否命題，然后讓學(xué)員回憶多元函數(shù)在一點處的偏導(dǎo)數(shù)的存在性和函數(shù)在該點處的連續(xù)性之間的關(guān)系以及一個命題與其逆否命題之間的關(guān)系，這些準(zhǔn)備工作完成后，筆者就帶領(lǐng)學(xué)員從理論上進(jìn)行分析，具體分析過程如下：如果函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處連續(xù)，則此時不能保證函數(shù)在該點處的偏導(dǎo)數(shù)存在，而函數(shù)在一點處的偏導(dǎo)數(shù)不存在的話，函數(shù)在該點一定不可微（原理是原命題等價于其逆否命題），由此可知，函數(shù)在一點處連續(xù)的話，函數(shù)在該點未必可微，用類似的方法可以得到：函數(shù)在一點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在的話，也不能保證函數(shù)在該點處可微，綜上可知，函數(shù)在一點處連續(xù)和該點處的偏導(dǎo)數(shù)存在都是全微分存在的必要非充分條件，這樣從理論上就得到了全微分存在的必要條件，但是這種理論分析對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較差的學(xué)員來說稍微有點抽象，他們會感覺云里霧里，因此為了幫助學(xué)員理解上述結(jié)論，筆者就采用了“用事實說話”的方法，即通過具體的例子來展示上述結(jié)論，筆者并沒有立刻給出反例，而是在帶領(lǐng)學(xué)員探索全微分存在的充分條件過程中創(chuàng)設(shè)情境，舉出反例，并讓學(xué)員通過解決筆者設(shè)計的問題達(dá)到“豁然開朗”的效果。

另外，注意圖表具有直觀、清晰、簡潔和條理性好等特點，它能直觀地體現(xiàn)出特定知識點的方方面面，還能揭示出事物之本質(zhì)關(guān)系[6]，有著文字語言無法代替的優(yōu)越性。所以，在教學(xué)和學(xué)習(xí)過程中，如果能把某些有內(nèi)在聯(lián)系的知識，有機(jī)結(jié)合起來，制成圖表，可使知識條理化、系統(tǒng)化，有助于理解知識[4]。因此，為了幫助學(xué)員更直觀、清晰地感受和掌握所探索到的結(jié)論，筆者讓學(xué)員自己畫出它們之間的關(guān)系圖，即如圖1所示。

（四）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，進(jìn)行探究，獲得全微分存在的充分條件

得到全微分存在的必要條件后筆者乘勝追擊，又提出下面的問題讓學(xué)員思考、討論：如果函數(shù)在一點處不但連續(xù)而且兩個偏導(dǎo)數(shù)也都存在，此時函數(shù)在該點處可微嗎？如果可微，給出證明，如果不可微，請舉出反例。筆者把學(xué)員分成幾個小組進(jìn)行討論，并將討論結(jié)果、步驟展示出來。大部分學(xué)員通過查閱資料所得結(jié)論都是正確的，但是所舉反例以及如何說明不可微，這兩個方面不是很理想，這些情況都在筆者的意料之中。于是筆者就設(shè)計了一系列的階梯問題，通過讓學(xué)員解決這些階梯問題的過程，帶領(lǐng)學(xué)員共同探索出判斷函數(shù)可微性的方法，即當(dāng)函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處連續(xù)并且偏導(dǎo)數(shù)都存在的情況下，判斷該函數(shù)在點P0（x0，y0）處是否可微的方法是：判斷極限

是否為零，如果上述極限為零，則函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處可微;如果上述極限不存在或者極限存在但極限值不為零，則函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處不可微。

獲得上述方法后，筆者就舉出反例并帶領(lǐng)學(xué)員進(jìn)行詳細(xì)分析。分析完，筆者又提出問題：根據(jù)剛才的反例可知，函數(shù)在一點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在并且函數(shù)在該點連續(xù)也不能保證函數(shù)可微，但是，當(dāng)函數(shù)可微時，其微分A？駐x+B？駐y中不依賴于？駐x、？駐y的常數(shù)A、B就是函數(shù)在該點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)，基于這兩種情況，我們能不能給偏導(dǎo)數(shù)存在加強(qiáng)一些條件，使其保證函數(shù)可微呢？讓學(xué)員思考、討論并給出方案，筆者帶領(lǐng)學(xué)員進(jìn)行分析，最終得到的結(jié)論是：如果函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)在該點處必可微。此時，筆者立馬又提出問題：反之是否成立呢？即函數(shù)在一點處可微，那么函數(shù)在該點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)一定連續(xù)嗎？學(xué)員思考、討論完，筆者進(jìn)行總結(jié)，到此，已獲得全微分存在的必要條件和充分條件。這個充分條件筆者是根據(jù)學(xué)員的提議并結(jié)合教材所給定理帶領(lǐng)學(xué)員探索出來的，其實這個充分條件完全可以減弱，但是，筆者并沒有直接告訴學(xué)員可以將這個充分條件減弱，也沒有告訴學(xué)員將其減弱成什么，而是在本節(jié)課結(jié)束時，筆者將其設(shè)置成了一個思考題，讓學(xué)員課后完成，即從探索全微分存在的充分條件的過程中你能提煉出函數(shù)可微的其他條件嗎？如果能，請寫出來這個條件。這樣不但可以幫助學(xué)員將所學(xué)碎片知識系統(tǒng)化，培養(yǎng)學(xué)員養(yǎng)成數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯推導(dǎo)習(xí)慣，而且還可以培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維。

（五）總結(jié)應(yīng)用，進(jìn)行推廣

得到全微分存在的充分條件后，筆者讓學(xué)員自己歸納、總結(jié)出二元函數(shù)在一點處的可微性、偏導(dǎo)數(shù)的存在性、函數(shù)的連續(xù)性以及偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性這幾個概念之間的關(guān)系，畫出其關(guān)系圖，并與一元函數(shù)在一點處的可微性、可導(dǎo)性以及函數(shù)的連續(xù)性這三個概念之間的關(guān)系進(jìn)行對比，并做出比較表，這樣學(xué)員通過自己總結(jié)不但可以加深對知識點的理解，還可以使自己所學(xué)知識系統(tǒng)化、條理化[7]。另外，學(xué)員通過自己對比，更能理解多元函數(shù)微分學(xué)與一元函數(shù)微分學(xué)之間的區(qū)別與聯(lián)系，避免了死記現(xiàn)成的知識。到此，學(xué)員已獲得二元函數(shù)全微分的概念、存在條件以及求法，此時筆者告訴學(xué)員一元函數(shù)微分在數(shù)值上的重要應(yīng)用是近似計算，類似地，全微分在數(shù)值上的重要應(yīng)用也是近似計算，并讓學(xué)員先類比一元函數(shù)的近似計算公式寫出二元函數(shù)的近似計算公式，然后再用所得公式解決最開始的問題，即計算函數(shù)z=rh的改變量。這樣通過由理論到實踐的過程，學(xué)員不但能感受到公式的應(yīng)用美和簡單美，而且還能體會到自己探索知識樂趣。接下來筆者告訴學(xué)員二元函數(shù)全微分的概念、存在條件、計算方法、幾個概念之間的關(guān)系以及在數(shù)值上的應(yīng)用可以完全推廣到三元函數(shù)乃至n元函數(shù)，并讓學(xué)員類比二元函數(shù)全微分的概念及形式寫出n元函數(shù)全微分的概念及形式，至此，本節(jié)內(nèi)容已學(xué)習(xí)完畢。筆者為了讓學(xué)員進(jìn)一步體會和掌握類比探究性學(xué)習(xí)這個方法，又讓學(xué)員類比一元函數(shù)所具有的一階微分形式的不變性，思考多元函數(shù)全微分是不是也具有一階全微分形式的不變性？為下節(jié)課用類比探究性教學(xué)法學(xué)習(xí)多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)作鋪墊。

二、結(jié)束語

以上就是突出互動、以學(xué)為中心的“全微分”類比探究性教學(xué)全過程，教學(xué)實踐表明，這種教學(xué)方式不但可以提高學(xué)員學(xué)習(xí)效果，提升學(xué)員學(xué)習(xí)動力，提高教學(xué)質(zhì)量，更重要的是激發(fā)了學(xué)員參與教學(xué)過程的興趣和熱情，活躍了課堂氣氛，有效培養(yǎng)了學(xué)員分析問題、解決問題的能力，無形中也培養(yǎng)了學(xué)員的問題意識和創(chuàng)新能力，是落實新時代軍事教育方針的有效舉措之一。需要注意的是，類比是與已有知識、已學(xué)知識、先驗知識進(jìn)行比較，所以要想發(fā)揮好類比探究性教學(xué)、類比探究性學(xué)習(xí)的優(yōu)勢，就必須熟練掌握已有知識，就高等數(shù)學(xué)課程來說，只有熟練掌握一元函數(shù)微積分學(xué)的知識，才能游刃有余地類比探究多元函數(shù)微積分學(xué)相關(guān)知識。因此，在教學(xué)過程中，教員不但自己要重視基本概念、基本定理等基礎(chǔ)知識的教學(xué)，更重要的是要教育、引導(dǎo)學(xué)員注重基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，就像李克強(qiáng)總理在第十三屆全國人大四次會議閉幕后記者會上所說的，“我想對青年學(xué)生們說幾句話，不管你們將來從事什么職業(yè)、有什么樣的志向，一定要注意加強(qiáng)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，打牢基本功和培育創(chuàng)新能力是并行不悖的，樹高千尺，營養(yǎng)還在根部。把基礎(chǔ)打牢了，將來可以觸類旁通” 。

參考文獻(xiàn)：

[1]任長松.探究式學(xué)習(xí)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2005：3.

[2]景慧麗，王正元，楊寶珍，等.類比法在“全微分”教學(xué)中的應(yīng)用[J].河南廣播電視大學(xué)學(xué)報，2014，27（1）：105-106+112.

[3]景慧麗，王惠珍.偏導(dǎo)數(shù)易錯題分析研究[J].首都師范大學(xué)學(xué)報，2019，40（1）：78-82.

[4]景慧麗，李應(yīng)岐，屈娜.探索式教學(xué)法在“常數(shù)變易法”教學(xué)中的應(yīng)用[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報（教育科學(xué)版），2017，30（10）：125-128.

[5]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下）（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014：76.

[6]黃祿海.重視圖表在教學(xué)中的作用[J].寧德師專學(xué)報（自然科學(xué)版），2002，14（4）：376-380.

[7]景慧麗，趙偉舟，王惠珍，等.問題牽引式教學(xué)法在“方向?qū)?shù)”教學(xué)中的應(yīng)用[J].首都師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，36（6）：13-17.

基金項目：中國科協(xié)青年人才托舉工程項目“復(fù)雜多階段任務(wù)系統(tǒng)退化規(guī)律建模-剩余壽命預(yù)測與維修庫存決策”（17JCJQQT022）;2016年高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心教學(xué)改革項目“基于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力的高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計案例的探索與建設(shè)”（CMC20160405）;火箭軍工程大學(xué)2020年度教育教學(xué)研究課題“基于‘以學(xué)為中心’理念的《高等數(shù)學(xué)》課程探究性教學(xué)模式的研究與實踐”（HJJKT2020028）

作者簡介：景慧麗（1983-），女，漢族，河南平頂山人，碩士，副教授，研究方向為最優(yōu)化和大學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)。