挖掘教材價(jià)值 活用基本圖形

胡厚偉

[摘 ?要] 對(duì)一道中考試題的來源、結(jié)構(gòu)、解法三個(gè)方面進(jìn)行特色解讀. 基于基本圖形，從不同視角探索其解法的多樣性，挖掘試題蘊(yùn)含的價(jià)值及教學(xué)導(dǎo)向，在幾何教學(xué)中發(fā)展幾何直觀與空間觀念.

[關(guān)鍵詞] 基本圖形;解法賞析;幾何直觀;空間觀念

題目呈現(xiàn)

（2021年廣東第23題）如圖1，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn).連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點(diǎn)G，求CG的長(zhǎng).

特色解讀

1. 源于教材，巧妙改編，考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解

在新課程標(biāo)準(zhǔn)的引領(lǐng)下，很多中考試題都呈現(xiàn)出教材例題、習(xí)題的影子. 命題者回歸教材尋找題源，進(jìn)行深度加工、拓展變式與整合創(chuàng)新編制而成中考題，已經(jīng)成為很多中考命題者的選擇. 本題以人教版教材八年級(jí)上冊(cè)第52頁(yè)的“第7題”作為命題素材，結(jié)合折疊、相似等知識(shí)巧妙改編、整合而成：如圖2，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC. 求證：AE是∠DAB的平分線.

從知識(shí)層面上看，該題考查圖形的性質(zhì)、圖形的變化兩個(gè)方面，綜合考查正方形、折疊、角平分線、平行線的相關(guān)性質(zhì). 掌握所學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步理解相關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力，結(jié)合圖形變換，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力及推理能力.

2. 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，問題明確，考查對(duì)基本圖形的識(shí)別

作為一道幾何綜合題，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，問題明確，考查內(nèi)容卻十分豐富. 題中包含了許多常見的平面幾何中的基本圖形，比如“平行線與角平分線（折疊問題隱含角平分線）構(gòu)造等腰三角形”的基本圖形;巧妙地添加輔助線則構(gòu)成“A型”“8型”的相似三角形;還可構(gòu)成常見的“一線三垂直”的基本圖形. 學(xué)生對(duì)這些基本圖形的深入識(shí)別和遷移應(yīng)用，是順利解決此問題的關(guān)鍵所在.

3. 解法多樣，凸顯素養(yǎng)，考查對(duì)思想方法的運(yùn)用

此題以學(xué)生熟悉的正方形知識(shí)為背景，以折疊問題為載體，考查學(xué)生在軸對(duì)稱變換背景下的推理探究能力和解決問題的能力. 不僅突出對(duì)數(shù)學(xué)基本思想方法的考查，還強(qiáng)化對(duì)學(xué)生綜合素養(yǎng)的考查. 在求解過程中，將等量線段轉(zhuǎn)化到相應(yīng)的三角形中，再通過直接或間接地設(shè)未知數(shù)，由勾股定理或相似比建立方程或方程組，從而求出線段的長(zhǎng)度，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法中的轉(zhuǎn)化思想與方程思想.

解法欣賞

1. 視角1：根據(jù)角平分線性質(zhì)定理構(gòu)造全等，利用勾股定理、相似建立方程求解

解法1 ?如圖3，延長(zhǎng)BF交CD于點(diǎn)H，連接EH. 易證△EDH≌△EFH，得到DH=HF. 設(shè)CH=x，則DH=FH=1-x. 在Rt△BCH中，12+x2=（2-x）2，解得x=. 因?yàn)锳B∥CH，AC=，所以△HCG∽△BAG，可得比例式=，所以CG=.

點(diǎn)評(píng) ?解法1的本質(zhì)是將原圖中缺少的部分補(bǔ)全，構(gòu)造出角平分線性質(zhì)定理的基本圖形. 同時(shí)，考查對(duì)“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”性質(zhì)定理的運(yùn)用，對(duì)學(xué)生的識(shí)圖能力要求較高. 仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，可從圖1 中分離出其他豐富的基本圖形，比如兩條平行線的同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直，射影定理等所呈現(xiàn)的基本圖形（如圖4所示），從而可以衍生出一些新的解法和結(jié)論. 如求CH的長(zhǎng)度時(shí)，易證∠BEH=90°，由射影定理EF 2=HF·BF，可得DH=HF=，故CH=1-DH=. 再利用相似求出線段CG的長(zhǎng)度，此解法過程略.

2. 視角2：圖外補(bǔ)全三角形，恰構(gòu)“A”“8”雙相似

解法2 ?如圖5，延長(zhǎng)AD，BF交于點(diǎn)H. 易證△EFH∽△BAH，可得==. 設(shè)HF=x，HE=y，則有==，解得x=，y=;故AH=AE+HE=. 因?yàn)锽C∥AH，所以△BCG∽△HAG，可得比例式==，求得CG=.

解法3 ?如圖5，延長(zhǎng)AD，BF交于點(diǎn)H，設(shè)HF=x，HE=y. 由翻折可知，BE平分∠ABH，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理，可得=，故x=2y-1. 因?yàn)閠an∠H==，所以y=. 又因?yàn)锽C∥AH，所以=，故CG=.

點(diǎn)評(píng) ?上面兩種解法的構(gòu)圖，不僅恰好構(gòu)成“A”“8”型雙相似三角形，還非常神奇地出現(xiàn)了角平分線性質(zhì)定理（三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例）的基本圖形，即如圖6所示，因?yàn)锽E為△ABH的角平分線，所以=. 實(shí)乃一次非常巧妙的構(gòu)圖.

3. 視角3：已知直角→構(gòu)造“一線三垂直”，結(jié)合相似列方程求解

解法4 ?如圖7，過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，反向延長(zhǎng)FH交BC于點(diǎn)K，則HK⊥BC.

易證△EHF∽△FKB，所以===. 設(shè)EH=x，則FK=2x. 所以HF=1-2x，BK=2-4x.

因?yàn)锽K=AH，所以2-4x=x+，解得x=，求得BK=，F(xiàn)K=，PK=CK=. 所以FP=，CP=. 又因?yàn)镕P∥AB，所以△FGP∽△BGA，可得==. 于是有PG=，所以CG=.

4. 視角4：已知角平分線→添加平行線→構(gòu)造等腰三角形，結(jié)合相似、勾股定理解決問題

解法5 ?如圖8，過點(diǎn)G作QK∥AB，分別交BC，AD于點(diǎn)K，H，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.

易證∠ABE=∠HQE，所以tan∠ABE=tan∠HQE，即==.

設(shè)HE=x，則QH=2x，HG=HA=+x，BG=QG=+3x. 則GK=-x，BK=HA=+x. 顯然∠BKG=90°，在Rt△BKG中，由勾股定理得x=，所以GK=. 所以CG=GK=.

解法6 ?如圖9，延長(zhǎng)BF交CD于點(diǎn)H，再延長(zhǎng)BE，CD交于點(diǎn)Q.

顯然QH=BH，QD=BF，所以DH=HF. 設(shè)DH=HF=x，則CH=1-x，BH=1+x. 在Rt△BCH中，12+（1-x）2=（1+x）2，解得x=. 因?yàn)镃H∥AB，所以△CGH∽△AGB，可得==. 所以CG=.

解法7 ?如圖10，過點(diǎn)E作EH∥FB，EH交AB于點(diǎn)H，過G作GQ⊥AB于點(diǎn)Q. 易證EH =BH，AQ =QG.

設(shè)AH=x，BH=EH=1-x. 在Rt△HAE中，x2+

2=（1-x）2，解得x=.

易證∠AHE=∠ABG，所以==，即=，可得AQ=. 所以AG=，易求得CG=AC-AG=.

解法8 ?如圖11，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)H，使得BH=BG，連接HG，過G作GQ⊥AB于點(diǎn)Q ，顯然有BE∥HG，所以∠QHG=∠ABE. 所以tan∠H =tan∠ABE，即==. 設(shè)GQ=AQ=m，則QH=2m，BQ=1-m. 所以BH=BG=3m-1. 在Rt△GQB中，m2+（1-m）2=（3m-1）2，解得m=. 所以AG=GQ=. 故有CG=AC-AG=-=.

點(diǎn)評(píng) ?解法5、6、7、8的構(gòu)圖源于基本圖形（如圖12），而此基本圖形源于人教版八年級(jí)上冊(cè)第78頁(yè)例2. 例題內(nèi)容為“求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形”. 從圖10、圖11中分別分解出圖13（1）和圖13（2）兩個(gè)基本圖形，細(xì)細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，這恰是常見二倍角與半角的處理方法，即“外做雙等腰，內(nèi)做雙等腰”.

5. 視角5：利用三角形面積法求解

解法9 ?如圖14，延長(zhǎng)BF交CD于點(diǎn)H，連接EH，過點(diǎn)G作GN⊥BC于點(diǎn)Q，GM⊥CD于點(diǎn)M.

由解法1可知CH=，顯然易證MG=NG，由面積關(guān)系可知S + S = S，即·CH·MG+·BC·NG=·BC·CH. 所以×MG+×1·NG=×1×，解得NG=.

所以CG=.

6. 視角6：從高觀點(diǎn)立意下去解決幾何問題

解法10 ?如圖15，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，延長(zhǎng)BF交CD于點(diǎn)H，連接EH. 顯然A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0），（1，0），（1，1）. 由解法1可知DH=，即點(diǎn)H的坐標(biāo)為

，1. 可求出AC，BH的函數(shù)解析式分別為y=x，y=-x+. 聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，可求出點(diǎn)G的坐標(biāo)為

，

，所以CG=.

解法11 ?如圖16，過點(diǎn)G作GH⊥BC，垂足為H. 設(shè)∠ABE=∠FBE=α，則∠ABF=2α，∠CBG=90°-2α. 因?yàn)閠anα=，所以tan2α==. 所以tan（90°-2α）=，即=.易求得GH=CH=，所以CG=GH=.

教學(xué)思考

1. 挖掘教材例、習(xí)題功能，發(fā)揮其潛在的作用與價(jià)值

教材中的例題、習(xí)題是經(jīng)過專家們精心打磨、層層挑選和反復(fù)斟酌而定下的題目，不僅蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法、解題技巧，還具有典型性、示范性和針對(duì)性. 同時(shí)，它們還有著鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、訓(xùn)練基本技能、啟迪數(shù)學(xué)思維的價(jià)值. 例題、習(xí)題教學(xué)時(shí)，不能只是為了解題而解題，要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度進(jìn)行剖析，培養(yǎng)學(xué)生一題多解、多解歸一、多反思多總結(jié)的習(xí)慣. 教師應(yīng)探尋不同例題、習(xí)題所涉及知識(shí)的關(guān)聯(lián)性和整體性，站在整個(gè)學(xué)段的數(shù)學(xué)體系中進(jìn)行有效的改編與整合，發(fā)揮出它們應(yīng)有的價(jià)值.

2. 關(guān)注基本圖形的運(yùn)用，發(fā)展幾何直觀與空間觀念

所謂基本圖形，是指教材中的概念、公理和定理所對(duì)應(yīng)的圖形. 可將基本圖形分為兩大類：第一類是點(diǎn)、線、角、平行線，三角形、四邊形、多邊形、圓等基本圖形;第二類是由兩個(gè)或兩個(gè)以上第一類圖形復(fù)合而成的基本圖形[1]. 在解法1中，當(dāng)延長(zhǎng)BF交CD于點(diǎn)H，連接EH之后，就很容易發(fā)現(xiàn)圖4中的兩種基本圖形——“平行線中的M型”“射影圖”，仔細(xì)觀察還有“8型”相似三角形，于是解法自然生成.

幾何教學(xué)中，類似于文中解法中分解或構(gòu)造出的圖4、圖6、圖12、圖13的基本圖形有很多，比如“手拉手型”“A型”等基本圖形，引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握這些基本圖形的性質(zhì)或結(jié)論，從已知圖形中分解或構(gòu)造出解題所需的基本圖形，再運(yùn)用基本圖形建立已知條件與所求結(jié)論之間的關(guān)系，達(dá)到解決問題的目的. 運(yùn)用此法可有效提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生幾何直觀和空間觀念.

參考文獻(xiàn)：

[1]傅佑珊. 平面幾何基本圖形的方法與教學(xué)實(shí)踐[J]. 北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)， 1997（02）：71-74.