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    問題解法探索,多樣變式探究

    2022-04-25 13:50:54馬東松
    關(guān)鍵詞:解法幾何變式

    馬東松

    [摘 ?要] 多函數(shù)幾何題是初中數(shù)學(xué)的重要題型,建議充分把握函數(shù)與幾何的關(guān)聯(lián),結(jié)合問題特征進(jìn)行突破. 教學(xué)中應(yīng)合理拓展解法及變式問題,使學(xué)生充分認(rèn)識問題,掌握解題策略. 文章將對一道多函數(shù)幾何題展開探究,并進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐反思,提出相應(yīng)的建議.

    [關(guān)鍵詞] 多函數(shù);幾何;分步;解法;變式

    函數(shù)綜合是中考和??汲R姷膲狠S題命題形式,往往將曲線與直線、圖形融合在一起,綜合考查函數(shù)圖像的位置關(guān)系及函數(shù)背景下的幾何模型構(gòu)建,下面深入探究.

    問題呈現(xiàn),分步探究

    1. 問題呈現(xiàn)

    問題:在平面直角坐標(biāo)系中,已知一次函數(shù)y=-x+3的圖像與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)B. 拋物線的解析式為y=-x2+bx+c,點(diǎn)A和B位于拋物線上.

    (1)試求拋物線的解析式;

    (2)如圖1所示,點(diǎn)M(m,y1),N(n,y2)是第一象限且位于拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),有m<n. 分別過點(diǎn)M和N作MC和ND垂直于x軸,設(shè)與直線AB的交點(diǎn)分別為C和D.

    ①若四邊形MNDC為平行四邊形,試求m與n之間的關(guān)系;

    ②在①條件成立的前提下,設(shè)四邊形MNDC周長為L,試求L的最大值;

    (3)如圖2所示,設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A′,分析在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使得∠APA′=∠ABO?若存在,請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

    2. 分步探究

    本題目為二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合題,其中融合了平行四邊形,問題解析要把握函數(shù)圖像上的關(guān)鍵點(diǎn),由交點(diǎn)作為突破口求解析式,利用點(diǎn)距離探求線段長,把握線段、圖形中的幾何性質(zhì),轉(zhuǎn)化角度模型.

    第(1)問求拋物線的解析式,核心解法是待定系數(shù)法,由一次函數(shù)解析式可求點(diǎn)A和B的坐標(biāo),將其代入拋物線的解析式即可求解. 可求得點(diǎn)A(4,0),B(0,3),代入y=-x2+bx+c中,可得-42+4b+c=0,

    c=3, 解得b=,c=3,所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+x+3.

    第(2)問構(gòu)建了平行四邊形MNDC,其中邊MC和ND平行于y軸,所涉兩問分別探究坐標(biāo)參數(shù)m和n的關(guān)系,以及周長的最大值,解析時(shí)要構(gòu)建點(diǎn)坐標(biāo)、線段、幾何特性之間的關(guān)聯(lián),利用函數(shù)性質(zhì)分析最值.

    ①四邊形MNDC為平行四邊形,已知MC∥ND,則MN∥CD. 如圖3,過點(diǎn)N作MC的垂線,設(shè)垂足為點(diǎn)E,可證△NEM∽△AOB,由相似性質(zhì)可得=. 設(shè)點(diǎn)Mm,-m2

    +m+3,點(diǎn)Nn,-n2

    +n+3,可推得線段ME=-m2+n2+(m-n),NE=n-m,代入比例關(guān)系可得=,解得m+n=4.

    ②平行四邊形MNDC的周長可表示為L=2(NM+MC),需分別求NM和MC的線段長. 在Rt△AOB中,由勾股定理可得AB=5. 可知∠MNE=∠OAB,則cos∠MNE=cos∠OAB,在對應(yīng)三角形中構(gòu)造三角函數(shù)值模型,則=,代入線段長可得=,則MN=(2-m),而MC=-m2+m+3-

    -m+3=-m2+4m,所以L=2(NM+MC)=-2m2+3m+10= -2

    m-2+. 分析可知,當(dāng)m=時(shí),L可取得最大值,且最大值為.

    第(3)問為等角存在性問題,總體上采用“假設(shè)—驗(yàn)證”法. 其中∠ABO為定角,點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的點(diǎn),則其橫坐標(biāo)xP=. 點(diǎn)A′是拋物線與x軸的另一交點(diǎn),由條件可得點(diǎn)A′

    -,0,對于其中的等角關(guān)系,可轉(zhuǎn)化為所涉三角形的相似關(guān)系. 需要討論點(diǎn)P位于x軸上方和x軸下方兩種情形.

    ①當(dāng)點(diǎn)P位于x軸的上方時(shí),過點(diǎn)A作A′P的垂線,設(shè)垂足為點(diǎn)E,如圖4所示. 由于∠APA′=∠ABO,∠AOB=∠AEP=90°,則△AOB∽△AEP,由相似性質(zhì)可得==. 令PE=3m,AE=4m,則AP=A′P=5m,A′E=2m. 在Rt△AEA′中使用勾股定理,可得A′E2+AE2=A′A2,代入線段長則有(2m)2+(4m)2=

    4+2,整理可得m2=×

    2,所以yp==.

    ②根據(jù)對稱性可知,在x軸的下方有對稱的點(diǎn)P,此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-.

    綜上可知,在拋物線的對稱軸上存在滿足條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)分別為

    ,和

    深度探究,拓展變式

    上述對一道多函數(shù)綜合題進(jìn)行了解法探究,所涉三問涉及函數(shù)與幾何的眾多考點(diǎn),問題具有代表性,深入探究有助于解題能力的提升. 下面對核心之問開展解法拓展及變式探究.

    1. 把握性質(zhì)定理,構(gòu)建多樣思路

    上述考題的第(2)問中構(gòu)建了四邊形,屬于函數(shù)背景下的四邊形探究題,其中①問分析四邊形為平行四邊形時(shí)參數(shù)m與n之間的數(shù)量關(guān)系,實(shí)則考查的核心是平行四邊形性質(zhì)定理. 原解法構(gòu)建了相似三角形,串聯(lián)線段長與點(diǎn)坐標(biāo),其核心定理是“平行四邊形的對邊分別平行”,即其中的平行關(guān)系,以及由平行衍生的等角是思路構(gòu)建的核心. 故對于本題目,還可以把握函數(shù)背景中與平行、等角關(guān)聯(lián)的知識來構(gòu)建思路.

    (1)構(gòu)建思路1:平行線函數(shù)解析式的k相等

    四邊形MNDC為平行四邊形,則MN所在直線與直線y=-x+3相平行,即兩直線解析式的k值相等,可設(shè)MN的解析式為y=kx+b,則k=-. 設(shè)點(diǎn)Mm,-m2

    +m+3,點(diǎn)Nn,-n2

    +n+3,結(jié)合公式可知=-,解得m+n=4.

    (2)構(gòu)建思路2:等角的三角函數(shù)值相等

    參考原解法的構(gòu)圖思路,根據(jù)其中的平行關(guān)系可推知∠NME=∠MCB=∠ABO,則等角的三角函數(shù)值相等,顯然tan∠NME=tan∠ABO. 在Rt△ABO中,有tan∠ABO=. 設(shè)點(diǎn)Mm,-m2

    +m+3,點(diǎn)Nn,-n2

    +n+3,在Rt△NME中,ME=-m2+n2+(m-n),NE=n-m,則tan∠NME===,同樣可解得m+n=4.

    2. 把握問題本質(zhì),探索多樣變式

    上述考題的第(3)問為等角存在性問題,上述基于等角構(gòu)建了相似直角三角形模型,并結(jié)合勾股定理來構(gòu)建線段關(guān)系,本質(zhì)上就是函數(shù)與幾何問題中的相似關(guān)系. 對于該問題還可以依托知識核心進(jìn)行拓展變式.

    (1)拓展變式1——構(gòu)建相似圖形

    變式1:設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A′,點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的動(dòng)點(diǎn),連接A′P,再過點(diǎn)A作A′P的垂線,設(shè)垂足為點(diǎn)E,如圖5所示. 分析是否存在點(diǎn)P使得△AOB∽△AEP?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

    點(diǎn)撥:變式1為相似三角形存在性問題,與原問題本質(zhì)上是一致的,且相對較為簡單,可根據(jù)△AOB的邊長比例來設(shè)定△AEP的邊長,進(jìn)而結(jié)合勾股定理完成求解.

    (2)拓展變式2——構(gòu)建面積比例

    變式2:設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A′,點(diǎn)P是拋物線的對稱軸上的點(diǎn),連接A′P,再過點(diǎn)A作A′P的垂線,設(shè)垂足為點(diǎn)E. 若△AOB∽△AEP,試求△AEP的面積.

    點(diǎn)撥:變式2中構(gòu)建了相似三角形,求△AEP的面積,是對原問題的深度變式. 顯然需要確定點(diǎn)P的坐標(biāo),推導(dǎo)相似三角形的面積比,進(jìn)而求出三角形的面積. 故分步突破:確定點(diǎn)P坐標(biāo)→構(gòu)建面積比→求三角形面積.

    解后反思,教學(xué)建議

    上述深度探究了一道多函數(shù)綜合題的解法,并進(jìn)行了多解探究和問題變式,有助于深度認(rèn)識問題,掌握問題的突破思路,同時(shí)探究策略有一定的參考價(jià)值,下面基于教學(xué)進(jìn)一步反思.

    1. 關(guān)注問題本質(zhì),定位知識考點(diǎn)

    上述是一道多函數(shù)綜合題,其中涉及了一次函數(shù)、二次函數(shù),并融合了平行四邊形、三角形等基本圖形. 總體來看,所涉三問立足函數(shù)與幾何的聯(lián)系,充分開展問題探究. 對于該類型壓軸題,解析過程中要關(guān)注問題本質(zhì),定位知識考點(diǎn). 以上述第(2)問為例,分別探究四邊形為平行四邊形時(shí)的坐標(biāo)參數(shù)關(guān)系以及圖形周長的最值,前一問本質(zhì)就是點(diǎn)坐標(biāo)與線段平行的關(guān)系,后一問則是構(gòu)建線段函數(shù). 把握問題本質(zhì),準(zhǔn)確定位考點(diǎn),有利于分析破題方法.

    2. 深度探索解法,變式拓展思考

    解題探究的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是探索解法,變式思考,即立足考題思考破題方法,并適度拓展,包括對解法的拓展和問題變式的拓展. 如上述探究平行四邊形中坐標(biāo)參數(shù)關(guān)系時(shí),從平行與三角形相似、平行與函數(shù)解析式k值的關(guān)系、平行等角與三角形函數(shù)值三大視角進(jìn)行了探究,形成了不同的突破思路;同時(shí)對第(3)問的等角存在性問題進(jìn)行了合理變式,形成了函數(shù)與幾何的典型問題. 解題教學(xué)時(shí)建議引導(dǎo)學(xué)生深度反思問題及解法,引導(dǎo)學(xué)生從不同視角認(rèn)識問題,總結(jié)解題方法,可結(jié)合“一題多解”“多題一解”“一題多變”來開展解題教學(xué),充分發(fā)揮考題價(jià)值,激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

    3. 關(guān)注數(shù)學(xué)思想,提升綜合素養(yǎng)

    多函數(shù)幾何題的破解過程往往需要利用眾多的數(shù)學(xué)思想,如上述問題總體上使用了數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化,求平行四邊形中的參數(shù)關(guān)系時(shí)涉及方程思想,求平行四邊形周長最值時(shí)用到了函數(shù)思想和模型思想. 正是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下學(xué)生完成了條件轉(zhuǎn)化、思路構(gòu)建. 數(shù)學(xué)思想是解法方法的精髓所在,對于提升學(xué)生的思維能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著極大的幫助. 教學(xué)中建議立足問題解法,反思數(shù)學(xué)思想,讓學(xué)生在解題中感悟思想方法,理解方法內(nèi)涵. 同時(shí)可依托考題指導(dǎo)學(xué)生掌握思想方法的使用技巧,如數(shù)形結(jié)合思想中的“以數(shù)釋形”“數(shù)形對照”,模型思想中的構(gòu)建幾何模型、函數(shù)模型等.

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