論瓜豆模型解題方法研究

陳琴

[摘 ?要] 最值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn)之一，涵蓋知識(shí)點(diǎn)廣，形式多樣，解題靈活，綜合性強(qiáng)，是學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn). 研究者結(jié)合目前學(xué)生學(xué)情和考試需要，綜合平時(shí)做題經(jīng)驗(yàn)和資料的查詢，得到了最值問(wèn)題中找運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題“瓜豆模型”的解決辦法，主要解決了從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡與主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)系，以及如何找到從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡等問(wèn)題.

[關(guān)鍵詞] 瓜豆模型;最值問(wèn)題;解題方法

瓜豆模型，就是通過(guò)找規(guī)律，把這一類問(wèn)題抽象、簡(jiǎn)化成一種具有代表性的基本圖形. 瓜豆模型的好處在于多一種解題思路，解題時(shí)形成條件反射，看到這個(gè)基本圖形就聯(lián)想到解題策略. 瓜豆模型對(duì)解題者的思維要求較高. 文章將提出解決瓜豆問(wèn)題的思路和方法，不過(guò)不同的問(wèn)題基本上有不同的解題技巧，而要運(yùn)用這些方法、技巧，要求解題者具有較強(qiáng)的洞察力和數(shù)學(xué)機(jī)智，并能靈活運(yùn)用各種方法.

文章將討論一類動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題. 對(duì)于此類試題，一般先描述動(dòng)點(diǎn)P，但最終問(wèn)題卻是求另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，當(dāng)然，P，Q之間存在某種聯(lián)系. 解題的常規(guī)思路為：從P點(diǎn)出發(fā)探討Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡. 其中動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本類型為圓或圓弧型、線段或直線型. 為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P，Q，可稱點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”. 古人云：種瓜得瓜，種豆得豆. 對(duì)于瓜豆問(wèn)題，“種”圓得圓，“種”線得線，“種”的是哪種運(yùn)動(dòng)軌跡，得到的就是哪種運(yùn)動(dòng)軌跡，這就是“瓜豆模型”.

知識(shí)儲(chǔ)備

1. 兩點(diǎn)確定一條直線.

2. 圓的定義.

3. 旋轉(zhuǎn)的定義、旋轉(zhuǎn)三要素、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

4. 掌握中位線、手拉手全等、“A”型相似、手拉手相似、位似等知識(shí).

模型條件

1. 兩動(dòng)點(diǎn)有主、從關(guān)系，有一定點(diǎn).

2. 從動(dòng)點(diǎn)與主動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比為定值.

3. 從動(dòng)點(diǎn)與主動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)連線的夾角等于定值.

模型結(jié)論

從動(dòng)點(diǎn)與主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡一樣.

模型

（一）模型1：動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線或線段

1. 兩動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)在同一條直線上

（1）（特殊情況）如圖1所示，A為定點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP的中點(diǎn)Q，點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線.

圖2所示，分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)Q向直線BC作垂線，垂足分別為M，N. 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即點(diǎn)Q到直線BC的距離是定值. 故點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是過(guò)AM中點(diǎn)且平行于BC的一條直線.

（2）（一般情況）如圖3所示，A為定點(diǎn)，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，在AP上取一點(diǎn)Q，使QA ∶ PA=n，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線.

模型分析 如圖4所示，分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)Q向BC作垂線，垂足分別為M，N. 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由QA ∶ PA=n，得QN=（1-n）AM，即點(diǎn)Q到直線BC的距離是定值. 故點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是過(guò)AM上一點(diǎn)Q，滿足QN=（1-n）AM且平行于BC的一條直線.

模型結(jié)論 ①?gòu)膭?dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡直線的確定：過(guò)定點(diǎn)A作定線BC的垂線，垂足為M，在垂線段AM上取一點(diǎn)Q，使得QM=（1-n）AM，過(guò)點(diǎn)Q 作定線BC的平行線，則此直線為從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡. ②若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段P1P2，可以直接取線段P1P2的兩個(gè)端點(diǎn)得到對(duì)應(yīng)的Q的位置Q1，Q2，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段Q1Q2，且Q1Q2 ∶ P1P2=n，Q1Q2∥P1P2 .

2. 兩動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)不在同一條直線上

（1）（特殊情況）如圖5所示，A為定點(diǎn)，∠PAQ=90°且AP=AQ，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線.

模型分析 如圖6所示，在直線BC上任取兩點(diǎn)P1，P2，連接AP1，AP2，朝同一方向繞著點(diǎn)A同時(shí)旋轉(zhuǎn)AP1，AP2，得到AQ1，AQ2，且旋轉(zhuǎn)角為90°，作直線Q1Q2. 由手拉手全等模型可得P1P2=Q1Q2，且Q1Q2⊥BC. 因?yàn)镻1，P2是任取的，所以當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在直線Q1Q2上運(yùn)動(dòng). 所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線，且該直線與BC垂直.

（2） （一般情況）如圖7所示，A為定點(diǎn)，∠PAQ為定角α且AQ ∶ AP=n（定值），當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線.

模型分析 如圖8所示，在直線BC上任取兩點(diǎn)P1，P2，連接AP1，AP2，朝同一方向繞著點(diǎn)A同時(shí)旋轉(zhuǎn)AP1，AP2，旋轉(zhuǎn)角為α，再縮放得到P1，P2兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q1，Q2，使AQ1 ∶ AP1=n，AQ2 ∶ AP2=n. 作直線Q1Q2. 由手拉手相似模型可得Q1Q2 ∶ P1P2=n，且直線Q1Q2與直線BC的夾角為定角α.因?yàn)镻1，P2是任取的，所以當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在直線Q1Q2上運(yùn)動(dòng). 所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條直線，且這條直線與直線BC的夾角為定角α.

模型結(jié)論 ①找點(diǎn)Q的方法：在直線BC上取一點(diǎn)P（此時(shí)找特殊點(diǎn)），旋轉(zhuǎn)對(duì)象為主動(dòng)點(diǎn)P，旋轉(zhuǎn)中心為定點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)橹鲃?dòng)點(diǎn)繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到從動(dòng)點(diǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角為定角，再縮放得到AQ，使得AQ ∶ AP=n. ②直線Q1Q2與直線BC的夾角為定角α. ③若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段P1P2，可以直接取線段P1P2的兩個(gè)端點(diǎn)，得到對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)Q的位置Q1，Q2，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段Q1Q2，且Q1Q2 ∶ P1P2=n. ④添輔助線的方法：旋轉(zhuǎn)與縮放. ⑤說(shuō)明：為了方便，旋轉(zhuǎn)角有兩個(gè)，我們統(tǒng)一選擇小的那個(gè)旋轉(zhuǎn)角，從主動(dòng)點(diǎn)到從動(dòng)點(diǎn)有兩個(gè)方向，我們統(tǒng)一選擇小的旋轉(zhuǎn)角方向;這里，旋轉(zhuǎn)與縮放的順序可以調(diào)換.

（二）模型二：動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓或圓弧

1. 兩動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)在同一條直線上

（1）（特殊情況）如圖9所示，P是☉O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP的中點(diǎn). 當(dāng)點(diǎn)P在☉O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓.

模型分析 如圖10所示，連接AO，取AO的中點(diǎn)M，又點(diǎn)Q為AP的中點(diǎn)，所以MQ=OP. 因?yàn)镺P是定值，所以QM是定值. 所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心、OP的長(zhǎng)為半徑的圓. 點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡相當(dāng)于是點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡成比例縮放.

（2）（一般情況）如圖11所示，P是☉O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，在AP上取一點(diǎn)Q，使得QA ∶ PA=n. 當(dāng)點(diǎn)P在☉O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓.

模型分析 如圖12所示，連接AO，在AO上取點(diǎn)M，使得MA ∶ OA=n. 因?yàn)镼A ∶ PA=n，所以QM ∶ PO=n. 因?yàn)镻O是定值，所以QM是定值. 所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心、n·PO的長(zhǎng)為半徑的圓. 點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡相當(dāng)于是點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡成比例縮放.

模型結(jié)論 ①如何找從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心和半徑？圓心：連接定點(diǎn)A與圓心O，在AO上取一點(diǎn)M，使得MA ∶ OA=n，點(diǎn)M即為圓心. 半徑：MQ=nOP. ②若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓（圓?。?，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡也為圓（圓弧）. 若運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，則兩弧長(zhǎng)滿足：lQ ∶ lP=n. ③點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡相當(dāng)于是點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡成比例縮放.

2. 兩動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)不在同一條直線上

（1）（特殊情況）如圖13所示，P是☉O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，則當(dāng)點(diǎn)P在☉O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓.

模型分析 如圖14所示，將點(diǎn)O繞點(diǎn)A向主動(dòng)點(diǎn)（P）繞著定點(diǎn)（A）旋轉(zhuǎn)到從動(dòng)點(diǎn)（Q）的方向旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)M，連接AM，QM，AO，OP，可得△APO≌△AQM，于是PO=MQ. 因?yàn)镺為定點(diǎn)，所以M為定點(diǎn);因?yàn)镺P為定長(zhǎng)，所以MQ為定長(zhǎng). 所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心、OP的長(zhǎng)為半徑的圓. 點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡相當(dāng)于是點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°后得到的.

（2）（一般情況）如圖15所示，P是☉O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作∠PAQ=α且AQ ∶ AP=n，則當(dāng)點(diǎn)P在☉O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓.

模型分析 如圖16所示，將點(diǎn)O繞點(diǎn)A向主動(dòng)點(diǎn)（P）繞著定點(diǎn)（A）旋轉(zhuǎn)到從動(dòng)點(diǎn)（Q）的方向旋轉(zhuǎn)α，再縮放得到點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M，使AM ∶ AO=n. 連接AM，QM，AO，OP，則△APO∽△AQM，MQ ∶ PO=n. 因?yàn)镺為定點(diǎn)，所以M為定點(diǎn);因?yàn)镺P為定長(zhǎng)，所以MQ為定長(zhǎng). 所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心、n·PO的長(zhǎng)為半徑的圓. 點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡相當(dāng)于是點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡旋轉(zhuǎn)后成比例縮放.

模型結(jié)論 ①如何找從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心和半徑？旋轉(zhuǎn)對(duì)象為圓心O，旋轉(zhuǎn)中心為定點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)橹鲃?dòng)點(diǎn)繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到從動(dòng)點(diǎn)的方向，旋轉(zhuǎn)角為定角，再縮放AO，得到AM，使AM ∶ AO=n，從而得到從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心M. 又由MQ ∶ PO=n，可算出從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的圓的半徑MQ. ②從動(dòng)點(diǎn)的軌跡相當(dāng)于是主動(dòng)點(diǎn)的軌跡旋轉(zhuǎn)后成比例縮放（也可以是成比例縮放后旋轉(zhuǎn)）. ③若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓（圓?。?，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡也為圓（圓弧）. 若運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，則兩弧長(zhǎng)滿足lQ ∶ lP =n. ④添輔助線的方法：旋轉(zhuǎn)與縮放. ⑤說(shuō)明：為了方便，旋轉(zhuǎn)角有兩個(gè)，我們統(tǒng)一選擇小的那個(gè)旋轉(zhuǎn)角，從主動(dòng)點(diǎn)到從動(dòng)點(diǎn)有兩個(gè)方向，我們統(tǒng)一選擇小的旋轉(zhuǎn)角方向;這里，旋轉(zhuǎn)與縮放的順序可以調(diào)換.

軌跡之其他圖形

在平時(shí)的教學(xué)中，我們常見的瓜豆模型運(yùn)動(dòng)軌跡為圓、圓弧、直線、線段，當(dāng)然，瓜豆模型的運(yùn)動(dòng)軌跡不僅限于這些. 瓜豆模型的運(yùn)動(dòng)軌跡還有折線段、雙曲線、拋物線等. 下面用兩個(gè)例子說(shuō)明瓜豆模型運(yùn)動(dòng)軌跡的其他兩種類型.

例1 如圖17所示，在反比例函數(shù)y= -的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)A，連接AO并延長(zhǎng)交圖像的另一支于點(diǎn)B，第一象限內(nèi)有一點(diǎn)C滿足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在一函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng). 若tan∠CAB=2，求點(diǎn)C所在函數(shù)圖像的解析式.

解析 如圖18所示，分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足分別為M，N，連接OC. 易證△AMO∽△ONC，因?yàn)閠an∠CAB=2，所以O(shè)C=2OA. 所以CN=2OM，ON=2AM. 所以O(shè)N·CN=4AM·OM=8. 所以點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為雙曲線. 又點(diǎn)C在第一象限，所以k=8. 所以點(diǎn)C所在函數(shù)圖像的解析式為y=.

例2 如圖19所示，已知A（-1，1），B（-1，4），C（-5，4），點(diǎn)P是△ABC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作等腰直角三角形OPQ. 當(dāng)點(diǎn)P在△ABC邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡形成的封閉圖形的面積為_______.

解析 由△OPQ是等腰直角三角形，可知點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡形狀相同. 因?yàn)镺P ∶ OQ= ∶ 1，所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡圖形與點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡圖形的相似比為 ∶ 1. 所以它們的面積比為2 ∶ 1. 又△ABC的面積為×3×4=6，故點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡形成的封閉圖形的面積為3.

文章的瓜豆模型解決了瓜豆模型中的基本問(wèn)題，與瓜豆模型相關(guān)的其他廣泛應(yīng)用還要進(jìn)一步研究，比如等腰三角形的存在性問(wèn)題、直角三角形的存在性問(wèn)題、等腰直角三角形的存在性問(wèn)題、胡不歸問(wèn)題等與瓜豆模型的聯(lián)系. 在研究利用瓜豆模型解題的過(guò)程中，筆者深刻地體會(huì)到，在平時(shí)的教育教學(xué)中，教師應(yīng)多思考、多提問(wèn)，這樣才能獲得更多的優(yōu)秀辦法，讓學(xué)生在理解知識(shí)、做題時(shí)事半功倍. 對(duì)教師而言，多搞研究可以提高教師的教育、教學(xué)水平，提高原創(chuàng)試題的質(zhì)量. 接下來(lái)，筆者要研究的問(wèn)題是如何向?qū)W生講授此模型.

在日常教學(xué)中，很多教師是想教會(huì)學(xué)生方法（規(guī)律），但教學(xué)實(shí)踐卻往往忽視了教他們?cè)鯓尤ヌ剿鬟@個(gè)方法（規(guī)律）. 方法對(duì)提高成績(jī)固然有用，但探索方法的過(guò)程對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維更為有利. 雖然有可能學(xué)生花費(fèi)很多時(shí)間在探索方面時(shí)，短期內(nèi)很難提高分?jǐn)?shù)，但長(zhǎng)期訓(xùn)練，對(duì)提高他們的學(xué)習(xí)能力、思考問(wèn)題的能力大有益處. 因此，怎樣講授此模型是教師后續(xù)研究的重點(diǎn). 在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)思考如何引導(dǎo)學(xué)生抽象、探究、總結(jié)、歸納出一般模型，如何培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，最終讓學(xué)生大膽探索、突破常規(guī)、積極創(chuàng)新.