探尋一類(lèi)動(dòng)點(diǎn)路徑問(wèn)題的通式通法

尹慶剛 趙廣國(guó)

[摘 ?要] 從近幾年全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試題的特點(diǎn)來(lái)看，考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的中考?jí)狠S試題逐漸成為中考命題者的新寵. 文章以2019年浙江省嘉興市中考數(shù)學(xué)第16題為例，談?wù)勗囶}原型來(lái)源、試題解法、變式應(yīng)用，并做一般推廣.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);基本圖形;變式;直線型;外接圓

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是以數(shù)學(xué)課程教學(xué)為載體，基于數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)技能而形成的重要的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力. 自2016年教育部公布《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》正式確定學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的框架、維度和指標(biāo)以來(lái)，數(shù)學(xué)學(xué)科被注入了新的根本任務(wù)，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)與學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，立德樹(shù)人.

在九年制義務(wù)教育的基礎(chǔ)上，什么樣的試題能夠綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，正成為中考數(shù)學(xué)命題者思考與研究的問(wèn)題. 若能在一道試題中綜合考查各方面的能力，這種題型無(wú)疑既具有甄別與選拔功能，同時(shí)也是受廣大師生歡迎的好題，“動(dòng)點(diǎn)路徑問(wèn)題”就是這樣的一類(lèi)問(wèn)題. 這類(lèi)試題的正確求解，不僅需要學(xué)生具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，良好的空間思維與想象能力，而且還需要學(xué)生具有良好的幾何直觀、推理與運(yùn)算能力，考查學(xué)生通過(guò)九年的學(xué)習(xí)發(fā)展出來(lái)的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力.

文章以2019年浙江省嘉興市中考數(shù)學(xué)第16題為例，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)談?wù)勥@道題目的解法并做出推廣與應(yīng)用.

試題呈現(xiàn)

如圖1，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在一個(gè)平面上，邊AC與EF重合，AC=12 cm. 當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC方向滑動(dòng). 當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____cm;連接BD，則△ABD的面積最大值為_(kāi)_____cm2.

動(dòng)手操作探思路

本題是一道有約束條件的動(dòng)點(diǎn)路徑求軌跡長(zhǎng)度的問(wèn)題，其中等腰直角三角形的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)在另一個(gè)直角的兩條邊上滑動(dòng)，求直角頂點(diǎn)滑過(guò)的路徑長(zhǎng)度. 本題位于嘉興市中考數(shù)學(xué)填空題最后一題，壓軸題的位置，具有明顯的甄別與選拔功能. 多數(shù)學(xué)生拿到該試題，短時(shí)間內(nèi)對(duì)題目中的點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡具體是怎樣的，運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度是多少或許并沒(méi)有一個(gè)清晰準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，缺少正確的解題思路. 然而試題呈現(xiàn)的問(wèn)題背景卻容易喚醒學(xué)生動(dòng)手操作探尋問(wèn)題的求解方法. 在缺少解題思路的情況下，實(shí)驗(yàn)操作不失為一種簡(jiǎn)單快捷的方法，可以說(shuō)本題的思維起點(diǎn)并不高.

筆者在求解這道試題之后，也嘗試著動(dòng)手操作探究了點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡. 第一步，準(zhǔn)備一把足夠長(zhǎng)的直尺作為BC邊所在直線并固定;第二步，固定三角板ABC;第三步，保證三角板DEF的斜邊EF與三角板ABC的直角邊AC重合，且三角板DEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在三角板ABC的直角邊AC與直角邊BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng);最后一步，觀察點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡. 如果需要，可以反復(fù)操作. 通過(guò)上述四步操作：

（1）部分優(yōu)等生能較容易猜出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡屬于直線型，為問(wèn)題的理性求解提供了感性經(jīng)驗(yàn).

（2）通過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)操作，大部分學(xué)生能夠回憶并聯(lián)想到這樣一道源于教科書(shū)的經(jīng)典習(xí)題的求解方法. 課本習(xí)題呈現(xiàn)如下：

例題：如圖2所示，兩個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形在同一平面內(nèi)，其中正方形EFGH的頂點(diǎn)E是正方形ABCD的中心，按住正方形ABCD不動(dòng)，將正方形EFGH繞頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，從點(diǎn)A在邊EF上開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（其中0°≤α≤90°），則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積______.

A. ?逐漸變小 ? ? ? ? B. ?逐漸變大

C. ?先變小再變大 D. ?保持不變

此題中兩個(gè)正方形重疊部分是四邊形BPEQ，四邊形BPEQ是一個(gè)具有條件∠B=∠E=90°的基本圖形. 盡管題中頂點(diǎn)E的位置并沒(méi)有變化，只是考查旋轉(zhuǎn)背景下陰影部分的面積問(wèn)題，但求解思路是過(guò)點(diǎn)E分別作AB，BC邊的垂線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題. 而嘉興市中考試題考查的是一個(gè)等腰直角三角形的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)在另一直角的兩邊上滑動(dòng)，求直角頂點(diǎn)滑過(guò)的軌跡路徑長(zhǎng)度問(wèn)題. 兩個(gè)問(wèn)題看似毫無(wú)聯(lián)系，實(shí)則有很多相似之處. 首先，試題中的等腰直角三角形的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)在另一直角的兩邊上滑動(dòng)的任意瞬間，都會(huì)出現(xiàn)課本習(xí)題中的基本圖形——四邊形BPEQ. 也就是說(shuō)，這兩道題目中的圖形都包含一組對(duì)角相等且為90°的四邊形;其次作輔助線的方法也相同;再次兩道題目都利用了構(gòu)造全等直角三角形最終解決問(wèn)題.

遷移這道課本習(xí)題作輔助線并利用三角形全等解決問(wèn)題的方法，是成功求解這道中考?jí)狠S試題的不二法門(mén)，為理性思考解決本題奠定了基礎(chǔ).

理性思考覓方法

問(wèn)題1：通過(guò)本試題實(shí)物圖可以抽象出幾何圖形，如圖3所示. 受上述例題啟發(fā)，容易獲得本題的解題思路.

假設(shè)△DEF運(yùn)動(dòng)到如圖4所示△D′E′F′的位置，出現(xiàn)基本圖形D′E′CF′. 過(guò)點(diǎn)D′分別作D′M⊥AC，垂足為M，D′N(xiāo)⊥BC，垂足為N. 則∠D′ME′=∠D′N(xiāo)F′=90°.

由題意知∠ACB=90°，所以∠ACN=90°. 所以∠MD′N(xiāo)=90°.

因?yàn)椤鱀EF為等腰直角三角形，所以∠E′D′F′=90°，D′E′=D′F′，∠ACD=∠F′CD=45°. 所以∠MD′E′=∠ND′F′，且點(diǎn)D在∠ACF′的角平分線上. 所以△D′ME′≌△D′N(xiāo)F′. 所以D′M=D′N(xiāo). ?所以點(diǎn)D′到∠ACF′兩邊的距離相等，即點(diǎn)D′在∠ACF′的角平分線上. 所以點(diǎn)C，D，D′三點(diǎn)共線. 由于點(diǎn)D′的任意性，易知點(diǎn)D在∠ACF′的角平分線上運(yùn)動(dòng).

在△DEF滑動(dòng)的過(guò)程中，如圖3所示，當(dāng)且僅當(dāng)△DEF的邊EF與△ABC的邊AC重合，或△DEF的邊EF與△ABC的邊BC所在直線重合時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離最近，此時(shí)點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離為CD或AD的長(zhǎng)度.

因?yàn)椤鱀EF為斜邊長(zhǎng)12 cm的等腰直角三角形，所以CD=AD=6 cm. 由圖4、圖5易知，當(dāng)且僅當(dāng)DE⊥AC，DF⊥BC時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離最遠(yuǎn). 此時(shí)四邊形CEDF為正方形，對(duì)角線CD=EF=12 cm. 即點(diǎn)D到點(diǎn)C的最遠(yuǎn)距離為12 cm.

所以點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為2（12-6）=（24-12） cm.

問(wèn)題2：由問(wèn)題1可知，點(diǎn)D在∠ACF′的角平分線上運(yùn)動(dòng). 通過(guò)圖形直覺(jué)感知，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C的距離最遠(yuǎn)時(shí)，△ABD的面積最大. 此時(shí)，四邊形DECF是邊長(zhǎng)為6 cm的正方形，如圖6所示，連接AD，BD.

所以S=S+S-S.

因?yàn)椤鰽BC為∠BAC=30°的直角三角形，所以BC=4.

所以S=S+S-S=AC×BC+（AC+DF）×CF-DF×（BC+CF）=×12×4+×（12+6）×6-×6×（4+6）=24+36+36-12-36=24+36-12.

評(píng)注 ?基于“點(diǎn)動(dòng)成線”的基本事實(shí)與直觀經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生易于直觀感知此題中點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條線，但具體是一條怎樣的線，開(kāi)始或許并不清楚. 事實(shí)上，對(duì)于具有良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，通過(guò)檢索自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的歷程可以知道，能夠求的“線”的長(zhǎng)度問(wèn)題不外乎直線型與圓型或兩者的復(fù)合. 除了這兩種類(lèi)型，其他類(lèi)型的線的長(zhǎng)度問(wèn)題在中學(xué)階段是沒(méi)有辦法求解的，此時(shí)學(xué)生應(yīng)該會(huì)有初步的判斷.

追根溯源求拓展

深入思考試題第一問(wèn)的解法與教科書(shū)提供的本試題的原型習(xí)題的解法，筆者注意到，若試題背景不是借助三角板工具，那么抽象出來(lái)的幾何圖形中的兩個(gè)直角三角形的條件便是多余的. 事實(shí)上，滑動(dòng)的△DEF不一定是等腰直角三角形，點(diǎn)E、點(diǎn)F也不一定是在一個(gè)直角的兩條邊上滑動(dòng). 在圖4中，只需要基本圖形D′E′CF′的其中一組對(duì)角之和為180°，而不是分別等于90°，這個(gè)問(wèn)題即可推廣到更一般的情況. 為更好地理解與把握這類(lèi)試題的特點(diǎn)，切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類(lèi)旁通的能力，下面針對(duì)本試題的問(wèn)題1給出幾個(gè)變式，以便深入探究這類(lèi)試題的本質(zhì).

變式1 ?如圖7，一副含45°和30°角的三角板ABC和EDF拼合在一個(gè)平面上，邊AC與EF重合，AC=12 cm. 當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC方向滑動(dòng). 當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____cm.

解法探析 ?假設(shè)△DEF運(yùn)動(dòng)到如圖8所示△D′E′F′的位置，過(guò)點(diǎn)D′分別作D′M⊥AC，垂足為M，D′N(xiāo)⊥BC，垂足為N. 則∠D′ME′=∠D′N(xiāo)F′=90°.

易知△D′ME′∽△D′N(xiāo)F′，==，即點(diǎn)D′到∠ACF′邊CA的距離D′M與點(diǎn)D′到邊CF′的距離D′N(xiāo)之比為，是一個(gè)定值，故C，D，D′三點(diǎn)共線. 由于點(diǎn)D′的任意性，易知點(diǎn)D在射線CD上運(yùn)動(dòng). 由圖9易知，在△DEF滑動(dòng)的過(guò)程中：

當(dāng)且僅當(dāng)DE⊥AC，DF⊥BC時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)C的距離最遠(yuǎn). 此時(shí)四邊形DECF為矩形，對(duì)角線CD=EF=12 cm. 即點(diǎn)D到點(diǎn)C的最遠(yuǎn)距離為12 cm.

當(dāng)且僅當(dāng)△DEF的邊EF與△ABC的邊BC所在直線重合時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離最近，此時(shí)點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離為AD的長(zhǎng)度，易知AD=6 cm.

所以點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（12-6）+（12-6）=（18-6） cm.

變式2 ?如圖10所示，△ABC和△DEF在同一平面內(nèi)，∠ACB=60°，△DEF為等邊三角形. △ABC的邊AC與△DEF的邊EF重合，AC=12 cm. 當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC方向滑動(dòng). 當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____cm.

解法探析 ?假設(shè)△DEF運(yùn)動(dòng)到如圖11所示的△D′E′F′的位置，過(guò)點(diǎn)D′分別作D′M⊥AC，垂足為M，D′N(xiāo)⊥BC，垂足為N. 則∠D′ME′=∠D′N(xiāo)F′=90°.

易知△D′ME′≌△D′N(xiāo)F′，==1，點(diǎn)D′到∠ACF′兩邊的距離相等，C，D，D′三點(diǎn)共線. 由于點(diǎn)D′的任意性，易知點(diǎn)D在射線CD上運(yùn)動(dòng). 由圖12易知，在△DEF運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中：

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)D到AC的距離最短時(shí)，即DE⊥AC，DF⊥BC時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離最遠(yuǎn). 由圖形易知，點(diǎn)D到點(diǎn)C的最遠(yuǎn)距離為8 cm.

當(dāng)且僅當(dāng)△DEF的邊EF與△ABC的邊AC重合，或△DEF的邊EF與△ABC的邊BC所在直線重合時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離最近，由圖形易知，此時(shí)點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離為12 cm.

所以點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為2（8-12）=（16-24） cm.

抽象概括得通式

如圖13所示，一般地，△ABC和△DEF在同一平面內(nèi)，△ABC的邊AC與△DEF的邊EF重合. 在△DEF中，DE=a，DF=b，EF=c，∠EDF=α，在△ABC中，∠ACB=α. 當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC方向滑動(dòng). 當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____cm.

解法探析 ?假設(shè)△DEF運(yùn)動(dòng)到如圖14所示△D′E′F′的位置. 過(guò)點(diǎn)D′分別作D′M⊥AC，垂足為M，D′N(xiāo)⊥BC，垂足為N. 則∠D′ME′=∠D′N(xiāo)F′=90°.

易知△D′ME′∽△D′N(xiāo)F′. 所以==. 所以點(diǎn)D′到∠ACF′的邊CA的距離D′M與點(diǎn)D′到邊CF′的距離D′N(xiāo)之比是一個(gè)定值. 易知點(diǎn)D到∠ACF′的邊CA的距離與點(diǎn)D到邊CF′的距離之比也為，所以C，D，D′三點(diǎn)共線. 由于點(diǎn)D′的任意性，易知點(diǎn)D在射線CD上運(yùn)動(dòng). 在△DEF運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中：

由圖15易知，當(dāng)且僅當(dāng)DE⊥AC，DF⊥BC時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離最遠(yuǎn). 由圖形易知，點(diǎn)D到點(diǎn)C的最遠(yuǎn)距離為線段CD的長(zhǎng)度.

由題意易知，四邊形DECF存在外接圓，且四邊形DECF的外接圓即是△DEF的外接圓，線段CD即為四邊形DECF外接圓的直徑. 易知CD=.

當(dāng)且僅當(dāng)△DEF的邊EF與△ABC的邊AC重合或△DEF的邊EF與△ABC的邊BC所在直線重合時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離最近.

若a<b，△DEF的邊EF與△ABC的邊BC所在直線重合時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)C的最近距離為CD=ED=a.

若a=b，△DEF的邊EF與△ABC的邊BC所在直線重合或△DEF的邊EF與△ABC的邊AC重合，此時(shí)點(diǎn)D到點(diǎn)C的最近距離CD=ED=FD=a=b.

若a>b，△DEF的邊EF與△ABC的邊AC重合時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)C的最近距離為CD=FD=b.

綜上所述：在△DEF運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線型，路徑長(zhǎng)度為

-a+

-b=

-a-b cm.

特別地，當(dāng)△DEF是等腰直角三角形，即∠α=90°，EF=c=12 cm時(shí)，易知a=b=6 cm，所以點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為-a-b=（24-12） cm.

寫(xiě)在最后

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程. 學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng). 在平時(shí)的教學(xué)工作中，作為一線教師，在課堂教學(xué)過(guò)程中應(yīng)充分貫徹這一基本理念，逐步滲透解決問(wèn)題的思想、方法與策略，讓學(xué)生獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

“動(dòng)點(diǎn)路徑問(wèn)題”作為中考數(shù)學(xué)的壓軸試題，由于其本身具有“動(dòng)”的特點(diǎn)，無(wú)論是動(dòng)點(diǎn)滑過(guò)的軌跡路徑長(zhǎng)度還是其他有關(guān)問(wèn)題，均能較好地考查學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生在潛意識(shí)里就能意識(shí)到中學(xué)可求解的“線”的長(zhǎng)度問(wèn)題無(wú)外乎直線型與圓型. 在長(zhǎng)達(dá)九年的學(xué)習(xí)過(guò)程中教師應(yīng)讓學(xué)生的這種意識(shí)潛移默化逐步滲透，并成為根深蒂固的學(xué)科素養(yǎng)，同時(shí)在提高解題能力的過(guò)程中，切實(shí)保障核心素養(yǎng)的理念落地生根.