“一元二次方程”單元教學(xué)設(shè)計研究

張學(xué)聯(lián)

(貴州省遵義市習(xí)水縣第八中學(xué) 貴州 習(xí)水 564600)

一元二次方程是初中階段在“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容中的重要組成部分，可以構(gòu)建出現(xiàn)實數(shù)量關(guān)系的模型。但是，在人們的現(xiàn)在的實際生活中，接觸的方程模型不都是線性的，一元二次方程在此發(fā)揮著重要價值，是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中不能缺少的一部分。另外，在新課程標準中，對于一元二次方程的內(nèi)容，做出了全面的概述，為后期學(xué)生們學(xué)習(xí)一元二次不等式、二次函數(shù)、圓的方程等知識的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，為學(xué)生學(xué)習(xí)起承前啟后的作用。由此可知，一元二次方程單元的學(xué)習(xí)，是要求學(xué)生熟練掌握的知識點。所以，教師在教學(xué)一元二次方程的時候，為了防止此部分內(nèi)容與其他知識點分割，一定要在教學(xué)前了解學(xué)生的心理認知發(fā)展規(guī)律與學(xué)習(xí)情況，分析單元內(nèi)容，梳理有關(guān)知識，整合零散的知識實施備課，保證教學(xué)活動的順利進行。在此背景下，本文分析了一元二次方程單元設(shè)計的內(nèi)容。

1.“一元二次方程”單元包含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，要迎合新課程標準，緊密聯(lián)系核心素養(yǎng)，從縱向、橫向角度入手，充分擴展數(shù)學(xué)學(xué)科教育的深度與廣度?！陡咧袛?shù)學(xué)課程標準》中，提出要培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。下面對初中一元二次方程單元中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進行梳理，涉及的內(nèi)容有：

第一，推理能力。在一元二次方程單元教學(xué)設(shè)計中，推理能力主要體現(xiàn)在方程式根的判別式、韋達定理的推導(dǎo)等。在此結(jié)合教單元教學(xué)目標，推導(dǎo)一元二次方程韋達定理的過程。

上述為韋達定理的證明過程，教材中是讓學(xué)生先猜想，然后利用一元二次方程與其根的判別式，證明了根與系數(shù)的關(guān)系，在此過程就是對學(xué)生推理能力的培養(yǎng)。

第二，運算能力，在一元二次方程單元中有很多是使用正確的方法解方程。如問題：多種方法解方程x(2x-5)=6x-15

上述兩種解方程的方法之間有緊密的聯(lián)系，學(xué)生在解答一元二次方程的時候，要結(jié)合方程的形式，選擇適合的方法。

第三，模型思想。建模思想是學(xué)生感受數(shù)學(xué)，建立數(shù)學(xué)與世界聯(lián)系的主要途徑。一元二次方程單元教學(xué)中對學(xué)生模型思想的培養(yǎng)，可助學(xué)生理解一元二次方程的模型，體現(xiàn)實際問題中的數(shù)量關(guān)系，以此求出結(jié)果并討論。

例題，你能用一條長為40厘米的繩子，圍成一個面積為75平方厘米的矩形，能否圍成一個面積為101平方厘米的矩形？

解：設(shè)圍成75平方厘米的矩形的長為x厘米，列出方程x(20-x)=75，解得x1=15，x2=5(舍去)，20-x1=5，所以長為15厘米，寬為5厘米。

設(shè)圍成101平方厘米的矩形的長為x厘米，列出方程x(20-x)=101，判別式△=-1<0.

所以可以圍成面積為75平方厘米的矩形，但是不能圍成101平方厘米的矩形。

第四，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，此就是運用意識，即學(xué)生在實際生活中，能夠從數(shù)學(xué)的角度思考問題，然后解決問題。在一元二次方程單元中，對學(xué)生應(yīng)用意識的培養(yǎng)，主要體現(xiàn)在將一元二次方程運用于實際生活與生產(chǎn)中。

例題，兩年前，在還沒有改進生產(chǎn)技術(shù)時，生產(chǎn)一噸零件甲的成本為5000元，生產(chǎn)一噸零件乙的成本為6000元?，F(xiàn)在，生產(chǎn)一噸零件甲的成本降到3000元，生產(chǎn)一噸零件乙的成本為3600元，請問哪種零件的成本降價幅度大？

解，假設(shè)現(xiàn)在生產(chǎn)一噸零件甲的年平均下降率為x，由此可得兩年后，一噸甲零件的成本為5000(1-x)2，可得5000(1-x)2=3000，解方程，得到x1≈0.225，x2≈1.775(舍去)，所以可得甲零件的年平均下降率為22.5%。同理，列式，得到乙零件成本的年平均下降率也是22.5%。兩種零件的成本年平均下降率相同。

2.“一元二次方程”單元教學(xué)設(shè)計

2.1 確定單元教學(xué)目標。單元教學(xué)目標是學(xué)生在單元學(xué)習(xí)后，要達到的標準與要求。作為初中數(shù)學(xué)教師，在設(shè)計單元教學(xué)目標的時候，要遵循新課程標準中，提出的對學(xué)生核心素養(yǎng)的要求[1]?；诖?，在設(shè)計一元二次方程教學(xué)的時候，需要將教學(xué)目標與核心素養(yǎng)相結(jié)合，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為根本，確定本單元教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生哪些核心素養(yǎng)，只有單元與素養(yǎng)互相結(jié)合，才能設(shè)計適合的教學(xué)環(huán)節(jié)。在此教師需要注意，確定教學(xué)目標的時候，不一定要體現(xiàn)所有的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，只要迎合教學(xué)內(nèi)容即可。另外，教學(xué)目標的確定還需與教材中前后知識點相聯(lián)系。基于此設(shè)計的單元教學(xué)目標為：第一，知識與技能。學(xué)習(xí)一元二次方程的概念；掌握一元二次方程根的判別式，并使用多種方法解一元二次方程；學(xué)會韋達定理，并利用其解決簡單的問題；運用一元二次方程解決實際的問題。第二，過程與方法。學(xué)生能夠在實際生活事例中，抽象出一元二次方程，并以此了解方程是對現(xiàn)實生活中，數(shù)量關(guān)系模型的刻畫；在一元二次方程學(xué)習(xí)過程中，能夠從特殊到一般，然后再到特殊，通過教學(xué)設(shè)計可以提升學(xué)生的類比與轉(zhuǎn)化等多種數(shù)學(xué)思想；經(jīng)過對一元二次方程，根判別式與偉達定理的推導(dǎo)，能夠增強學(xué)生的推理能力。第三，情感態(tài)度與價值觀。在學(xué)生們學(xué)習(xí)一元二次方程的時候，能夠從整體到結(jié)構(gòu)，感知一元二次方程的內(nèi)在知識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的激情；加強一元二次方程與生活生產(chǎn)的聯(lián)系，增強學(xué)生的知識運用能力。

結(jié)合一元二次方程單元中的內(nèi)容分析，得知此部分涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有推理能力、運算能力、運用能力、模型思想，具體如圖1。

圖1 一元一次方程單元三維目標與涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

2.2 科學(xué)設(shè)置單元課時。結(jié)合人教版一元二次方程單元中的教學(xué)要素與教學(xué)單元，結(jié)合本學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課時數(shù)量，本單元一共可使用13課時，具體包括，認識一元二次方程、解一元二次方程、應(yīng)用一元二次方程解題、復(fù)習(xí)與小結(jié)[2]。

將一元二次方程單元分為認知、理解與運用三個模塊，因此在實際教學(xué)的時候，要貫穿使用一元二次方程，構(gòu)建數(shù)學(xué)模塊，讓學(xué)生能夠真實解決實際問題。第一部分，讓學(xué)生在生活中的事例，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，了解一元二次方程的概念，并知道其中的項與系數(shù)的關(guān)系。形成數(shù)學(xué)模型。在此可借助2-3個實際問題，引出列方程，然后引導(dǎo)學(xué)生分析方程的特點，與之前學(xué)習(xí)的一元一次方程作比較，得出結(jié)論。

解一元二次方程環(huán)節(jié)中，教學(xué)是重點，其本質(zhì)是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“降次”思想，然后接觸一元二次方程。教師在教學(xué)的過程中，要遵循人教版教材中設(shè)置的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生從簡單知識向復(fù)雜知識學(xué)習(xí)，思想上，也從特殊到一般。教學(xué)安排上也是引入實際問題，汲取教材內(nèi)容，一元二次方程根的辨別式和公式法這一節(jié)的內(nèi)容分割成兩節(jié)課，先讓學(xué)生學(xué)習(xí)辨別式知識，然后按再學(xué)習(xí)公式法解一元二次方程。以此減輕教師的教學(xué)壓力，幫助學(xué)生加強對方程辨別式對方程根的影響，達到能正確地解一元二次方程。因為此部分內(nèi)容較多，所以解一元二次方程的環(huán)節(jié)占了七節(jié)課，除了新授課，還有練習(xí)課，幫助學(xué)生規(guī)范性解方程的每一個步驟[3]。

最后的總結(jié)與復(fù)習(xí)階段，一是幫助學(xué)生梳理一元二次方程單元知識的整體結(jié)構(gòu)，助學(xué)生組成學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)。二是尊重單元的整體性，引導(dǎo)學(xué)生在本單元整體知識基礎(chǔ)上，解決實際問題。

2.3 單元教學(xué)案例分析。初中生的學(xué)習(xí)動力，來自于其對現(xiàn)實生活中復(fù)雜問題解決的渴望，進而主動參與學(xué)習(xí)活動，逐漸掌握知識，提升能力。數(shù)學(xué)知識來自于對現(xiàn)實世界的抽象，又是對數(shù)學(xué)知識的一般化。在此可以聯(lián)系實際生活情境，進而在課堂中自然引入生活中的教學(xué)資源，吸引學(xué)生的注意力，促使其自然產(chǎn)生學(xué)習(xí)動力，主動分析一元二次方程中的內(nèi)容。在此過程中嘗試讓學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光看待世界，主動探究，在數(shù)學(xué)語言表征下，分析與解決數(shù)學(xué)問題，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升核心素養(yǎng)。如現(xiàn)實生活中有大量與一元二次方程有關(guān)的問題，此為學(xué)生學(xué)習(xí)提供了大量的生活素材。在此教師可以生活中的情境做導(dǎo)入，科學(xué)設(shè)計單元教學(xué)。

以單元中“認識一元二次方程”一課的教學(xué)設(shè)計為例，先確定教學(xué)目標：學(xué)習(xí)一元二次方程的概念、一般形式，可以精準區(qū)分出一元二次方程中的“項”和“系數(shù)”。在實際問題解答中，學(xué)生可以將數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，以此感悟模型思想；在實際生活中感知一元二次方程，知道數(shù)學(xué)的價值。教學(xué)重點為：一元二次方程的概念與一般形式。教學(xué)難點為：如何將一元二次方程，轉(zhuǎn)化為一般形式。具體教學(xué)的過程為：

第一，引入情境。

情境一，為學(xué)生呈現(xiàn)數(shù)學(xué)古書中內(nèi)容，如“一群猴子分兩隊做游戲，八分之一再平方，在樹林里蹦蹦跳跳。剩余十二嘰喳渣，總數(shù)一共有多少，兩隊猴子在一起？”假設(shè)猴子的數(shù)量有x只，你能列方程解決這個問題嗎？

情境二，一次足球比賽中，每兩個隊伍之間都要進行一次比賽，一天安排四場比賽，一共比賽7天，請問有多少個隊伍參賽？假設(shè)參加隊伍有x個，你能列出方程嗎？

設(shè)置多個問題，分別借助古代歷史問題、實際問題、模型問題，在此可以借助多媒體創(chuàng)建生活情境，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來自于生活，數(shù)學(xué)問題的解答就是解決生活問題[4]。

第二，新知講解。

讓學(xué)生思考上面教師提供的問題，并嘗試列出方程解答問題，分別是：x2-64x+768=0；x2+12x-15=0；x2-x=56.針對這三個方程，教師提出問題：(1)這三個方程是整式還是分式方程？(2)這三個方程的“元”和“次”分別是幾，他們與一元一次方程有什么不同？(3)這三個方程有什么共同點？(4)將這三個方程與一元一次方程的定義類比，你能給他們定義嗎？在多個層次性問題的引導(dǎo)下，讓學(xué)生慢慢了解一元二次方程，并掌握其概念。并依據(jù)此可以通過數(shù)學(xué)符號列出一元二次方程式，知道ax2為二次項，bx為一次項，c為常數(shù)項。根據(jù)這個一般式，教師繼續(xù)追問“為什么在這個一元二次方程式中的a為什么不能等于0？

在此環(huán)節(jié)中，讓師生之間及學(xué)生與學(xué)生之間產(chǎn)生了良性的互動，通過此可以訓(xùn)練學(xué)生的團隊合作能力、交流能力。另外，問題中通過一元一次方程的引入與比較，讓學(xué)生能夠更快了解一元二次方程的本質(zhì)，在類比的思想下掌握知識。

第三，講解例題。

例1，請你將方程3x(x-3)=5(x+3)化簡，讓其變?yōu)橐辉畏匠痰囊话阈问?，并標記出一次項與二次系數(shù)、常數(shù)項。

解：3x(x-3)=5(x+3)的化簡，先去括號，得到3x2-3x=5x+15，然后移項，合并同類項，得到一元二次方程的一般式，即3x2-8x-15=0.這里面，常數(shù)項為-15，一次項系數(shù)為-8，二次項系數(shù)為3。

通過例題的展示，讓學(xué)生加深對一元二次方程式概念的認知[5]。

結(jié)論

對于初中生來說，一元二次方程單元中有很多知識是抽象，不容易掌握的，此對于學(xué)生核心素養(yǎng)與綜合解決問題的能力有很高的要求。從新課程標準中三維教學(xué)目標、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面思考，科學(xué)設(shè)計一元二次方程單元的教學(xué)設(shè)計。此為一線教師要求較高，需要掌握有關(guān)專業(yè)知識和心理學(xué)、教育學(xué)等方面知識，通過此才能保證學(xué)生明確學(xué)習(xí)主線，構(gòu)建對單元內(nèi)容的完整認知，建立完整的知識結(jié)構(gòu)體系，增強數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)素養(yǎng)。