培養(yǎng)建模思想建構(gòu)數(shù)學(xué)高品質(zhì)課堂

摘要：建模思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的一項核心素養(yǎng)，是聯(lián)通數(shù)學(xué)理論和現(xiàn)實社會中實際應(yīng)用的重要橋梁，更是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的主要手段之一，因此，如何在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生在實際應(yīng)用中使用建模思想具有重要的研究意義。文章結(jié)合教學(xué)案例對如何在教學(xué)中循序漸進地滲透建模思想，培養(yǎng)建模能力進行分析。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);建模思想;核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1673-8918（2022）07-0074-04

數(shù)學(xué)建模思想不僅是一種降低數(shù)學(xué)知識理解難度的學(xué)習(xí)方法，同時也是一種高效的數(shù)學(xué)解題思路。在數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想，首先要引導(dǎo)學(xué)生理清建模思想的主線，明確建模思想的應(yīng)用場景，之后結(jié)合案例步驟培養(yǎng)學(xué)生循序漸進自主建模的能力，最后需要對建模思想的應(yīng)用加以延伸，引導(dǎo)學(xué)生自主歸納舉一反三，提升建模綜合能力。

一、 感知價值，了解建模思想在高中思想教學(xué)中的意義

建模思想是高中數(shù)學(xué)中的一種重要思想，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的建模思想能夠極大地活化數(shù)學(xué)教學(xué)的實效，在提升學(xué)生解題效率的同時，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（一）有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率

數(shù)學(xué)知識龐雜而晦澀，很多知識看似互不相干，其實它們彼此之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于幫助學(xué)生完善認(rèn)知體系，建構(gòu)屬于自己的認(rèn)知框架，而數(shù)學(xué)思想無異于貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終的紅線，能將數(shù)學(xué)知識新知系統(tǒng)地貫穿起來，讓學(xué)生在紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識之間發(fā)現(xiàn)彼此的相通相融。模型意識更是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進程中一種自發(fā)的對數(shù)學(xué)問題的升華，幫助學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型意識，讓學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時，自覺將其內(nèi)化為數(shù)學(xué)模型，使數(shù)學(xué)問題有了著力點，從而幫助學(xué)生輕松解決數(shù)學(xué)問題。

（二）有助于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升

學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展不是一朝一夕之功，它需要學(xué)生在平時的數(shù)學(xué)問題的處理過程中不斷積累，不斷碰撞，在點滴之間升華而成?？v觀優(yōu)秀的學(xué)生，其對數(shù)學(xué)的認(rèn)知絕非停留于問題的表象，也不會像其他學(xué)生那樣，處理問題僅僅能夠聯(lián)想到簡單的關(guān)聯(lián)性知識。而這樣一種優(yōu)秀的數(shù)學(xué)品質(zhì)需要學(xué)生具有縝密的思維與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯，對問題能有洞如觀火的眼光，這就需要學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題，能夠站在更高的層次審視問題，從最本質(zhì)的維度去剖析問題，這樣才能高屋建瓴，讓問題變得游刃有余。對此，唯有幫助學(xué)生形成對數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)認(rèn)知，抓住數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在聯(lián)想，建構(gòu)起問題解決的自然框架。所以，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，使得學(xué)生抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在面對新問題時自然產(chǎn)生正向遷移，從而使得數(shù)學(xué)問題得以高效解決。

（三）助力學(xué)生感知數(shù)學(xué)的內(nèi)在奧秘

學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，迷戀數(shù)學(xué)才會去主動探究數(shù)學(xué)，也只有這樣才會逐漸體會到數(shù)學(xué)世界的奧妙，進而使其產(chǎn)生對數(shù)學(xué)世界的濃厚興趣。如果我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中，零敲碎打、支離破碎的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅會讓學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率大打折扣，弱化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實效，更絲毫不會體驗到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂，長此以往，則會導(dǎo)致學(xué)生厭倦數(shù)學(xué)，從內(nèi)心深處產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的抵制。而如果我們引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，通過數(shù)學(xué)思想厘清數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，使得學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的內(nèi)在奧妙，則不僅能促進學(xué)生數(shù)學(xué)解題效率的提升，更能使得學(xué)生走進數(shù)學(xué)的內(nèi)在，體會數(shù)學(xué)的奧妙，進而在數(shù)學(xué)問題的順暢求解中產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的濃厚情感，為學(xué)生以后進一步深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定堅實的基礎(chǔ)。

二、 條分縷析，探析培養(yǎng)建模思想的主線

探析建模思想的主線旨在引領(lǐng)學(xué)生分析常用的數(shù)學(xué)建模思想，理解每一類的應(yīng)用應(yīng)該如何與建模思想相結(jié)合，最后掌握一種以不變應(yīng)萬變的建模方法。教師在課堂上要充分地發(fā)揮指引作用，對適用建模思想的情境條分縷析，助力學(xué)生掌握建模思想應(yīng)用的方法論，能夠在實際應(yīng)用中靈活地運用所學(xué)知識對問題進行建模，達到快速解決的效果。

（一）幾何與代數(shù)，建立聯(lián)系

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)建模方法，通過代數(shù)的幾何圖像表達將抽象的數(shù)字、公式表達轉(zhuǎn)換為直觀可見的圖形進行觀察分析，同樣也可以將比較復(fù)雜的圖形表示轉(zhuǎn)換為簡潔的數(shù)學(xué)表達便于求解。因此，數(shù)形結(jié)合的建模思想是解決幾何與代數(shù)問題的強力方法，通過數(shù)與形的轉(zhuǎn)換建立圖形和代數(shù)的數(shù)學(xué)聯(lián)系，進而完成求解。

例如，在講解“函數(shù)的單調(diào)性”這部分內(nèi)容時會遇到兩種常見的習(xí)題，一種是給出一個函數(shù)要求確定該函數(shù)在什么時刻會有最值，以及在不同區(qū)間范圍內(nèi)的函數(shù)取值變化規(guī)律;另一種則是給出一個圖像，要求根據(jù)該圖像中函數(shù)的變換規(guī)律確定該函數(shù)的代數(shù)表達。這一類型的題目就要用到數(shù)形結(jié)合進行求解，而其中圖形之間轉(zhuǎn)換的聯(lián)系便是課堂上學(xué)過的導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識。比如給出函數(shù)y=3x2+3，要求該函數(shù)的取值規(guī)律，首先對函數(shù)求導(dǎo)得到y(tǒng)′=6x，畫出y′的圖像可以看到原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在x<0時，y軸小于0，而x>0時，y軸大于0，從而可以得出原函數(shù)在x<0時遞減，當(dāng)x=0時有最小值，當(dāng)x>0時函數(shù)無限遞增。同理，對原函數(shù)繼續(xù)求導(dǎo)可以進一步分析原函數(shù)遞減和遞增過程中的規(guī)律。

由此可見，在建立數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)模型時最重要的就是找到數(shù)與形之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，通過這一數(shù)學(xué)關(guān)系建立圖形和代數(shù)表達之間的邏輯聯(lián)系，從而可以得到模型建立的思路。因此，教師在課堂教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生明確不同圖形和代數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，在腦海中建立圖形和代數(shù)之間的橋梁，這樣才能迅速地建立數(shù)學(xué)模型完成求解。

（二）統(tǒng)計與概率，融合應(yīng)用

統(tǒng)計與概率的知識是與實際生活聯(lián)系十分緊密的內(nèi)容，日常生活中許多需要決策的必然性和可行性都是相關(guān)知識的運用。同時，這一部分的教學(xué)內(nèi)容也是多種概率模型為基礎(chǔ)。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)結(jié)合實際應(yīng)用場景引導(dǎo)學(xué)生建立起相應(yīng)的概率與統(tǒng)計數(shù)學(xué)模型，將細碎的知識點融入應(yīng)用場景中幫助學(xué)生完成相關(guān)知識的歸納梳理，滲透數(shù)學(xué)建模思想。

例如，在講解概率模型時以生活當(dāng)中的兩種實例為切入點引導(dǎo)學(xué)生展開探究建立概率模型。第一種為常見的擲骰子游戲，總的可能出現(xiàn)的情況是固定的，讓學(xué)生對多次投擲的結(jié)果進行統(tǒng)計分析。第二種實例為商場常見的轉(zhuǎn)盤抽獎活動，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后指針?biāo)竻^(qū)域?qū)?yīng)所抽到的獎項，這種實例讓學(xué)生用轉(zhuǎn)筆的方式探究，轉(zhuǎn)動鉛筆最后統(tǒng)計分析筆尖所指向的區(qū)域，通過統(tǒng)計分析學(xué)生發(fā)現(xiàn)在第一種探究中無論做多少次實驗會出現(xiàn)的情況總共只有六種，并且對統(tǒng)計的結(jié)果顯示六種情況出現(xiàn)的次數(shù)幾乎相等。在第二種探究結(jié)果中發(fā)現(xiàn)筆尖所指向的方向完全不固定，去除人眼所能觀察統(tǒng)計的誤差可以存在無限種可能，但是通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)指向指定區(qū)域的數(shù)量與該扇形區(qū)域的角度相關(guān)。通過以上分析便可以引領(lǐng)學(xué)生對兩種概率概模型進行數(shù)學(xué)建模，符合第一種規(guī)律的則是古典概型，第二種則是幾何概型。

可見，在統(tǒng)計與概率相關(guān)知識的模型建構(gòu)中，要在課本教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上融合實際應(yīng)用中的相關(guān)內(nèi)容，以實際生活當(dāng)中的應(yīng)用為課堂教學(xué)的切入點，引導(dǎo)學(xué)生通過實驗探究得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)律，理解概率模型的應(yīng)用場景。因此，要想在概率統(tǒng)計相關(guān)知識教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，教師要充分地融合實際應(yīng)用，在應(yīng)用場景中完成模型建構(gòu)。

三、 循序漸進，探析培養(yǎng)建模思想的步驟

建模思想的培養(yǎng)不能是一蹴而就，而應(yīng)該有規(guī)律，循序漸進地進行滲透，這樣才能幫助學(xué)生在潛移默化中培植建模思想。為此，教師首先要讓學(xué)生了解建模思想的主線，并且能夠通過實際應(yīng)用和實踐探索驗證對模型的正確性進行驗證，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生對模型進行反思內(nèi)化，解釋為什么要這樣建立模型，這樣才能夠真正理解模型建構(gòu)背后的數(shù)學(xué)原理，為學(xué)生建模思想的形成積累基礎(chǔ)，在點滴之間鑄就學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)認(rèn)知，在日積月累中形成對數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)認(rèn)識。

（一）驗證猜想，建立模型

建模思想培養(yǎng)的第一步必然是模型的建立，但是不能為了建立模型而建立，把對某一猜想的驗證作為目的，以模型建構(gòu)作為手段去驗證有著更自然而然的效果。因此，教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)置相應(yīng)的問題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考并且提出猜想假設(shè)，之后再帶領(lǐng)學(xué)生通過模型建構(gòu)的方法進行驗證，在這一過程中自然而然地完成了建模思想的滲透。

例如，在講解“等差數(shù)列前N項和”相關(guān)的知識時，首先提出問題：給出兩個數(shù)列如下：1，3，5，7，9…;3，8，13，18，23…，請寫出各數(shù)列的第10，100項各是多少，并求出各數(shù)列的前5，10，100項之和分別是多少，最后分析前N項和是多少。學(xué)生首先觀察兩個數(shù)列的規(guī)律確定其均是等差數(shù)列，公差分別為2和5，并由此規(guī)律推算出兩數(shù)列的第10和100項分別為19，199和48，498。之后要對數(shù)列的前10，100和N項進行求和計算，學(xué)生的第一種方法是逐個累加，但是當(dāng)計算前100項之和時就發(fā)現(xiàn)運算量太大，進一步地對數(shù)列各項的規(guī)律進行分析發(fā)現(xiàn)3+23=8+18，通過這一規(guī)律將大量的加法運算轉(zhuǎn)換為乘法運算，得到前N項和計算模型S=N×（a1+aN）÷2，之后通過該模型多次計算進行驗證。

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，在建模思想的滲透中不能忽視學(xué)生的主觀能動作用，要充分地給予學(xué)生主動探究的機會，讓其通過自主探究得出數(shù)學(xué)規(guī)律并對之進行數(shù)學(xué)建模，然后用自主建構(gòu)的模型進行猜想驗證，這樣可以讓學(xué)生更清晰地感受到建模思想在數(shù)學(xué)運用中的便捷性，加深對數(shù)學(xué)知識的理解，在這一過程中獲得珍貴的思考和建模體驗。

（二）反思內(nèi)化，解釋模型

對一個新的知識點或者一種新的數(shù)學(xué)模型不經(jīng)過反思內(nèi)化就很難將其徹底轉(zhuǎn)化為自己的東西，難以做到靈活運用。因此，教師在教學(xué)以及數(shù)學(xué)模型建構(gòu)培養(yǎng)過程中應(yīng)當(dāng)加強反思內(nèi)化的教學(xué)強度，鼓勵學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容和模型建構(gòu)進行深入的思考和消化吸收，深入理解模型建構(gòu)中各知識點之間的關(guān)聯(lián)，通過對模型加以解釋以加深理解。

例如，在講解“直線的方程”這一小節(jié)時，對同一直線在同一直角坐標(biāo)系中給出了三種不同的模型建構(gòu)方法，分別是點斜式、兩點式、一般式。為加深學(xué)生對這三種模型描述方式的理解，要求學(xué)生對三種模型進行解釋，搞清楚其中各個參數(shù)的含義。其中點斜式模型的數(shù)學(xué)表達式為y-y1=k（x-x1），在這一模型中k表示直線的斜率，（x，y）和（x1，y1）分別表示兩個位于線上的點，對這一模型進行深入反思得出，該模型用到了斜率的定義進行表達，斜率的定義為線上兩個點之間縱坐標(biāo)之差比上橫坐標(biāo)之差，將點斜式模型的表達式左右兩邊各除以（x-x1）則得到了k的表達式。同理要求學(xué)生對另外兩種模型分別進行反思和解釋以加深理解。

學(xué)生的反思能力是學(xué)生綜合素養(yǎng)的重要衡量。學(xué)生的反思更能促進學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的進一步完善，在學(xué)生建模思想的形成過程中，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生針對自己的認(rèn)知反思，從而針對自己的認(rèn)識不斷給予糾正，從而助推學(xué)生形成對數(shù)學(xué)建模的正確認(rèn)知。在上述案例教學(xué)中，教師通過解釋模型的方法引導(dǎo)學(xué)生對已學(xué)的模型進行反思內(nèi)化，這無疑也是一種十分有效的思路，在解釋的過程中學(xué)生能夠更加深入地去反思模型中為什么是這樣表達，理解各個表達式的內(nèi)部原理，將其徹底的內(nèi)化為自己的本領(lǐng)。

四、 匠心獨運，探析培養(yǎng)建模思想的途徑

建模思想的形成不僅需要教師幫助學(xué)生逐步形成，更應(yīng)通過教師的適時引導(dǎo)，讓學(xué)生及時消化吸收，并學(xué)會運用，在具體的實踐運用中感知和內(nèi)化。為此，教師在完成建模思想主線的探究以及建模思想的滲透之后，需要有一系列的配套途徑幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用，鞏固內(nèi)化之后才能讓建模思想在學(xué)生腦海中生根發(fā)芽。變式練習(xí)以及自主歸納的方法是鞏固學(xué)生建模能力的高效手段。

（一）變式練習(xí)，引導(dǎo)舉一反三

解決問題是檢驗對所學(xué)知識掌握程度的最有效的辦法，同時也是幫助學(xué)生鞏固建模思想一個主要途徑。因此，教師要注重這一方式的使用，在課堂教學(xué)中聯(lián)系任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)中舉一反三，靈活地利用建模思想對問題進行高效求解。

例如，有問題如下：若函數(shù)f（x）=（x+a）（x-4）是偶函數(shù)，則a=？這道題常規(guī)的解法是根據(jù)偶函數(shù)定義f（x）=f（-x）列出（-x+a）（-x-4）=（x+a）（x-4）求解得出a=4。在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)深入思考偶函數(shù)的定義，并將學(xué)生的思路向數(shù)形結(jié)合模型以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)模型上遷移，嘗試?yán)眠@兩種已經(jīng)學(xué)過的模型求解。通過數(shù)形結(jié)合模型，學(xué)生發(fā)現(xiàn)偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱，因此必然會在x=0處取得極值點，在聯(lián)系到函數(shù)求導(dǎo)的模型可以推斷出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）必然在x=0出有零值，因此列出f′（0）=2×0+a-4=0，同樣得出a=4。

可見，在解決問題的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，對常見的解題思路進行變式，引申到相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，進而輕松解決思想問題，這樣可以達到很好的變式練習(xí)，聯(lián)系前后所學(xué)助力學(xué)生加深對數(shù)學(xué)模型理解的作用，更讓學(xué)生在這樣的訓(xùn)練中升華對建模思想的認(rèn)知。

（二）自主歸納，形成知識體系

培養(yǎng)建模思想的另一個重要途徑是自主歸納，僅靠教師的講解終究是空中樓閣，只有引導(dǎo)學(xué)生自主歸納，將建模的主線和建模的步驟融會貫通，理解其中的知識內(nèi)涵，形成完善的知識體系才能靈活地運用建模思想，也只有這樣，學(xué)生才會將建模思想靈活運用于思想解題之中。

例如，在講解“平面向量”相關(guān)知識時，對向量平行和垂直關(guān)系的性質(zhì)需要學(xué)生加以歸納，形成向量位置關(guān)系的知識體系建構(gòu)起數(shù)學(xué)模型。首先是對兩個向量a和b平行的情況進行歸納，如果a和b的坐標(biāo)表示分別為（x1，y1），（x2，y2）那么在a和b平行的情況下可以得出x1y2-x2y1=0。對a和b垂直的情況可以得出a點乘b等于0，等價于x1x2+y1y2=0。從而完成了向量位置關(guān)系的知識體系構(gòu)建。

可見，對知識點進行自主歸納不僅是一種鞏固所學(xué)形成知識體系的方法，同時也是一種有效建立數(shù)學(xué)模型的手段。通過對知識的自主歸納理清其間的數(shù)學(xué)知識脈絡(luò)，這樣在應(yīng)用解題時就能更加得心應(yīng)手，掌握數(shù)學(xué)建模的精髓。

綜上所述，數(shù)學(xué)建模不僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題方法。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分認(rèn)識建模思想在學(xué)生學(xué)習(xí)進程中的重要作用，在培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想時要有針對性地展開主線教學(xué)，對數(shù)學(xué)建模的步驟要細致講解，并鼓勵學(xué)生自主歸納和反思總結(jié)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模及應(yīng)用能力。

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作者簡介：上官志薇（1983～），女，漢族，江蘇淮安人，江蘇省淮陰中學(xué)，研究方向：高中數(shù)學(xué)高效課堂的研究。