探究導(dǎo)數(shù)中的隱零點問題

黃 可

(江蘇省南京市寧海中學(xué)高三(2)班,210024)

一、研究背景

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要研究對象,函數(shù)的零點問題,尤其是超越函數(shù)的零點問題成為函數(shù)壓軸題的命題熱點.有一種零點客觀存在,但解不出來,我們通過研究它的取值范圍、利用它滿足的等量關(guān)系進(jìn)行消元、換元、降次等方式能夠達(dá)到解決問題的目的,這類問題就是隱零點問題.此類問題往往要借助零點存在性定理、函數(shù)的單調(diào)性,找到函數(shù)零點的有效位置,一般對零點設(shè)而不求,通過整體代換或消超越式進(jìn)行化簡,再結(jié)合其他條件來解決問題.

二、探究問題

1.利用零點定理進(jìn)行估值

因為f(x)≥λ在(0,+∞)恒成立,且λ為整數(shù),所以λ≤-1,即λ的最大值為-1.

反思本題在研究g(x)的零點時,需要通過零點存在定理來估值,找到隱零點所在的區(qū)間.需要注意的是這個區(qū)間不能太大,需要控制在盡量小的范圍內(nèi),否則會影響最后得到的f(x0)的取值范圍,導(dǎo)致結(jié)果不理想.

2.利用隱零點的性質(zhì)求函數(shù)最值

例2已知函數(shù)f(x)=xex-ax+b的圖象在x=0處的切線方程為y=-x+1.

(1)求a,b的值;

(2)當(dāng)x>0 時,f(x)≥lnx-x+m,求實數(shù)m的取值范圍.

解(1)a=2,b=1.(過程略)

(2)當(dāng)x>0 時,f(x)=xex-2x+1≥lnx-x+m,即m≤xex-x-lnx+1.

綜上,得m≤g(x)min=2,即m∈(-∞,2].

反思本題由g′(x0)=0 會得到隱零點滿足的一個方程,該方程隱含了隱零點本身具有的性質(zhì),為后續(xù)在函數(shù)最值表達(dá)式中進(jìn)行整體消元提供了便利,方便了函數(shù)最值的間接計算.此處的消元原則是盡量消超越式,這樣會使函數(shù)的最值表達(dá)式變得比較簡單,使問題達(dá)到轉(zhuǎn)化與化歸的目的.

3.利用隱零點的性質(zhì)證明不等式

例3已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m),當(dāng)m≤2時,求證:f(x)>0.

證明當(dāng)m≤2,x∈(-m,+∞) 時,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需證明當(dāng)m=2 時有f(x)>0.

反思本題先由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性消去參數(shù),利用必要條件簡化證明途徑;再由零點定理明確隱零點的取值范圍,結(jié)合上述消元原則消去最小值f(x0)中的超越式,方便了函數(shù)最值的符號的判別.

三、方法整理

觀察總結(jié)以上隱零點問題的求解過程,可以得到解決此類問題的一般策略:

第一步:用零點存在定理判斷導(dǎo)函數(shù)零點的存在性,列出零點滿足的方程,并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到隱零點的取值范圍.當(dāng)函數(shù)的隱零點不可求時,首先可用特殊值進(jìn)行“投石問路”.特殊值的選取原則是:(1)在含有l(wèi)nx的復(fù)合函數(shù)中,常令x=ek,尤其是令x=e0=1進(jìn)行試探;(2)在含ex的復(fù)合函數(shù)中,常令x=lnk(k>0),尤其是令x=ln 1=0進(jìn)行試探.

第二步:以零點為分界點,說明導(dǎo)函數(shù)符號的正負(fù),進(jìn)而得到題設(shè)函數(shù)最值的表達(dá)式.

第三步:將零點滿足的方程適當(dāng)變形,利用隱零點具有的性質(zhì)整體代入函數(shù)最值表達(dá)式中進(jìn)行化簡,達(dá)到求函數(shù)最值、求參數(shù)取值范圍、證明不等式、解不等式等目的,使問題獲解.

(指導(dǎo)老師:居加穎)