談一道解析幾何題

單 墫

(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，210023)

見(jiàn)到一道解析幾何題，如下：

有人稱(chēng)這道題為“惡心”的題.的確，如果僅用課本上(也就是課標(biāo)規(guī)定)的知識(shí)，解這道題是頗麻煩的.

考試是指揮棒，既出了這樣“惡心”的題，學(xué)生與教師不得不去做.

但指揮棒，也可發(fā)揮積極的作用，即應(yīng)當(dāng)允許師生用課本上雖未講到，但只是合理引伸或拓展的知識(shí).這樣，學(xué)生可以獲得更多的知識(shí)，能力也有所提高.當(dāng)然，如果一道題，僅是偏、怪、難，即使拓廣知識(shí)也無(wú)好辦法，即可真令人惡心，不該出這樣的題！

下面我們說(shuō)明這道題的解法.

(1)

上，所以由點(diǎn)A引出的直線(xiàn)AP，除了點(diǎn)A外，與橢圓僅有一個(gè)交點(diǎn)P.AQ與橢圓(1)的交點(diǎn)，也是A與Q.

其次，猜猜，題目的這種表述，多半是PQ通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)(當(dāng)然，PQ不通過(guò)定點(diǎn)的可能性也存在，只是可能性似乎小一些.這是我們的感覺(jué)，如果不對(duì)，我們也不堅(jiān)持錯(cuò)誤).

如果將A作為原點(diǎn)，BA作為縱軸，問(wèn)題將簡(jiǎn)單許多.

這就需要坐標(biāo)變換的知識(shí)，而這正是解析幾何極重要的內(nèi)容.課標(biāo)不詳講重要內(nèi)容，實(shí)際是見(jiàn)識(shí)太差.

新坐標(biāo)X，Y與老坐標(biāo)x,y的關(guān)系為

x=Xcosα+Ysinα-1，

(2)

(3)

(2),(3)兩式可寫(xiě)成

x=aX+bY+c1,

(2′)

y=bX-aY+c2.

(3′)

橢圓(1)在新坐標(biāo)系中的方程為3(aX+bY+c1)2+4(bX-aY+c2)2=12，即

3(aX+bY)2+4(bX-aY)2+6c1(aX+bY)+8c2(bX-aY)=0.

(4)

(新原點(diǎn)(0，0)在橢圓上，所以常數(shù)項(xiàng)一定是0，不必計(jì)算)

(4)式可寫(xiě)成

MX2+NY2-2abXY+(6c1a+8c2b)X+(6c1b-8c2a)Y=0.

(4′)

(其中M，N不必算出)

設(shè)PQ在新坐標(biāo)系中的方程為

mX+nY=1.

(5)

這時(shí)X，Y的齊次方程MX2+NY2-2abXY+[(6c1a+8c2b)X+(6c1b-8c2a)Y](mX+nY)=0

(6)

因?yàn)锳P，AQ與以Y軸上一點(diǎn)B為圓心的圓相切，所以AP，AQ的斜率為相反數(shù)，即

k1+k2=0.

(7)

由韋達(dá)定理，(7)式即(6)式中XY的系數(shù)為0，所以

n(3c1a+4c2b)+m(3c1b-4c2a)=ab，

(8)

即方程為(5)的直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn)

(9)

用(2′)，(3′)換回原坐標(biāo)，得

注意：用字母代替數(shù)，可以減少計(jì)算量，通常是先作化簡(jiǎn)，最后才將數(shù)值代替字母，這是一種基本的品質(zhì).在學(xué)習(xí)初一代數(shù)時(shí)就應(yīng)當(dāng)養(yǎng)成.然而，很遺憾，似乎很多教師也未具備這一品質(zhì).

我們的解法，特點(diǎn)是利用了坐標(biāo)變換，學(xué)習(xí)這個(gè)變換，遠(yuǎn)比解一道題重要.