突破向量數(shù)量積難點的有效策略

孔志文 蔣曉東

(北京市朝陽外國語學校，100012) (北京市朝陽區(qū)教育科學院，100028)

向量是高中數(shù)學的重要內容之一,是連接代數(shù)與幾何的橋梁,也是一種重要的數(shù)學工具.而向量的數(shù)量積是實數(shù),是連接向量和實數(shù)的紐帶.有關數(shù)量積的問題一般比較靈活,是學生思維發(fā)展的重要載體.數(shù)量積一般涉及模長、夾角、坐標等方面,是向量代數(shù)及幾何特性的綜合表現(xiàn).在處理有關向量數(shù)量積問題時,一般可以從定義法、基底法和坐標法三個方面思考,綜合運用轉化與化歸、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等數(shù)學思想解決問題.下面以一道選擇題為例闡述有關向量積問題解決的幾種有效策略,望廣大讀者批評指正.

一、問題呈現(xiàn)

分析本題是一個數(shù)量積問題,表述簡潔、結構新穎,難點在于如何根據(jù)條件合理轉化不等式問題.探求本題的解決對于提高學生分析問題和解決問題的能力有著重要的意義.

二、策略探索

策略1定義法

運用數(shù)量積的定義,可將向量的數(shù)量積問題轉化為投影問題,然后根據(jù)已經(jīng)條件求相關線段的取值范圍.

解法1如圖1,由于∠BAC=90°,BC=2,以AB,AC為鄰邊作矩形ABDC,設其外接圓為⊙O.

由已知條件，可得

亦即點P只能在與AD垂直的弦EF上.

策略2坐標法

解法2以BC的中點D為坐標原點,BC所在直線為x軸,建立如圖2的平面直角坐標系,則點B(-1,0),C(1,0).

設點P(t,0),A(x,y),易知-1≤t≤1.

由∠BAC=90°,BC=2,可知|AD|=1,即

x2+y2=1.

策略3基底法

λa2+μb2=1.

a2+b2=4.

三、結束語

向量數(shù)量積相關問題的解決需要和函數(shù)、方程、不等式相關內容聯(lián)系起來,有時候還需要和解析幾何等內容聯(lián)系起來,它是高中生進行研究性學習很好的載體.廣大師生在教和學的過程中都要高度重視,對于學生思維的發(fā)展大有裨益.