分類例析參數(shù)法在競賽題中的應(yīng)用

路雪梅

(山東省東營市利津縣高級(jí)中學(xué)，257400)

參數(shù)法是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法.利用參數(shù)可以傳遞信息,溝通不同條件之間、條件與結(jié)論之間,乃至不同變量之間的緊密聯(lián)系,達(dá)成數(shù)學(xué)不同模塊的相互轉(zhuǎn)換,優(yōu)化解題過程.本文以圓與橢圓的參數(shù)方程為例,舉例說明參數(shù)法在數(shù)學(xué)競賽題中的應(yīng)用,彰顯參數(shù)在此處的兩個(gè)應(yīng)用價(jià)值:一是通過參數(shù)簡明地表示曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo);二是將曲線的有關(guān)計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為三角問題,從而運(yùn)用三角函數(shù)性質(zhì)及變換公式幫助我們求解諸如最值、參數(shù)取值范圍等問題.

一、求函數(shù)的值域

在圓x2+y2=r2的參數(shù)方程x=rcosθ,y=rsinθ(θ為參數(shù),r>0)中，參數(shù)θ表示旋轉(zhuǎn)角，這是其幾何意義.一般地，圓(x-a)2+(y-b)2=r2的參數(shù)方程為x=a+rcosθ,y=b+rsinθ(θ為參數(shù)，r>0).

二、求參數(shù)的取值范圍

(A)(-∞,-4] (B)[-4,+∞)

(C)(-∞,4] (D)[4,+∞)

評(píng)注本題將點(diǎn)P的坐標(biāo)用橢圓的參數(shù)方程表示,代入不等式后分離出參數(shù)m,利用三角代換進(jìn)行轉(zhuǎn)化,避開了常規(guī)思路繁雜的運(yùn)算,為簡化最值的求解過程鋪平了道路.

三、求最值

解易知點(diǎn)A(3,0),F(0,1).

評(píng)注本題將點(diǎn)P的坐標(biāo)用橢圓的參數(shù)方程表示,將四邊形分割為兩個(gè)三角形后,面積表示為三角函數(shù)形式,利用輔助角法和正弦函數(shù)的有界性求得最值,充分體現(xiàn)了參數(shù)法解題的優(yōu)越性.

解易知焦點(diǎn)F1(-1,0),F2(1,0).設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),由條件可知x0>0,y0>0,y1<0,y2<0.

以下先求y1-y2.

四、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡

例5(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABCD的邊長為4，且|OB|=|OD|=6.

(1)證明：|OA||OC|為定值；

(2)當(dāng)點(diǎn)A在半圓M：(x-2)2+y2=4(2≤x≤4)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)C的軌跡.

解(1)定值為20.(過程略)