高三數學綜合測試

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，計40分)

(A)3 (B)6 (C)9 (D)12

5.已知命題p:?x∈R,ax2+ax+1>0,命題q:函數y=-(a+1)x是減函數.則命題p成立是q成立的( )

(A)充分不必要條件

(B)充要條件

(C)必要不充分條件

(D)既不充分也不必要條件

(A)3π (B)4π (C)9π (D)12π

(A)an=n(B)an=2n

(C)an=n+1 (D)an=n2-2n+3

二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,計20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)

x681012 y6m32

(A)變量x,y之間呈正相關關系

(B)變量x,y之間呈負相關關系

(C)m的值等于5

(D)該回歸直線必過點(9,4)

10.已知圓O的方程為x2+y2=1,過第一象限內的點P(a,b)作圓O的兩條切線PA,PB,切點分別為A,B,下列結論中正確的有( )

(A)若點P在直線3x+4y-10=0上,則四邊形OAPB的面積最小值為2

(B)四點O,A,P,B共圓

(C)直線AB的方程為ax+by-1=0

(A)π是f(x)的周期

(D)f(x)在[-202 1,202 1]中的零點個數不超過2 574個

(A)f(x)是周期函數

(B)任意x1,x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≤2

三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,計20分)

15.已知非零向量a,b滿足|b|=2|a|,且(a+b)⊥a,則a與b的夾角為______.

16.古希臘數學家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn):平面上到兩定點A,B距離之比為常數λ(λ>0且λ≠1)的點的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓,該圓簡稱為阿氏圓.根據以上信息,解決下面的問題:

四、解答題(本大題共6小題,計70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知數列{an}的前n項和為Sn,且滿足a1=2,Sn=2an-2,其中n≥2,n∈N*.

(1)求證:{an}是等比數列,并求{an}的前n項和Sn;

18.(本小題滿分12分)已知?ABC的三邊a,b,c所對的角分別為A,B,C,若acosB+bcosA=2b,a=6,______.

(1)求角B;

(2)求邊c.

(1)證明:面PEF⊥面PAB;

(2)求面PEF與面PAD所成銳二面角的余弦值.

20.(本小題滿分12分)2020年春,我國武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒,感染后會出現(xiàn)發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等癥狀,嚴重的可導致肺炎甚至危及生命.新型冠狀病毒疫情牽動每一個中國人的心,為了遏制病毒的傳播,危難時刻全國人民眾志成城、共克時艱.某校為了了解學生對新型冠狀病毒的防護認識,對該校學生開展網上防疫知識有獎競賽活動,并從男生、女生中各隨機抽取20人,統(tǒng)計答題成績分別制成如下頻率分布直方圖和頻數分布表:

女生成績

規(guī)定:成績在80分以上(含80分)的同學稱為“防疫明星”.

(1)根據以上數據,完成以下2×2列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為“防疫明星”與性別有關;

男生女生合計 防疫明星 非防疫明星 合計

(2)以樣本估計總體,以頻率估計概率,現(xiàn)從該校男生中隨機抽取4人,其中“防疫明星”的人數為X,求隨機變量X的分布列與數學期望.

附:參考公式

參考數據:

P(K2?k0)0.1000.0500.0250.0100.0050.001 k02.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)O為坐標原點,若直線l與橢圓C交于M,N兩點,直線OM的斜率為k1,直線ON的斜率為k2,當?OMN的面積為定值1時,k1k2是否為定值?若是,求出k1k2的值;若不是,請說明理由.

參考答案

一、單項選擇題

1.B; 2.C; 3.B; 4.B; 5.D;

6.C; 7.B; 8.C.

二、多項選擇題

9.BCD;10.BCD;11. AD;12.BCD.

三、填空題

四、解答題

18.(1)由條件及正弦定理，可得sinAcosB+sinBcosA=2sinB,即sinC=2sinB,即c=2b.

取AD中點M,連結EM,因為ABCD是平行四邊形,所以EM⊥BD.又因為EF∥BD,所以EM⊥EF.

因為?PBC是等邊三角形,E為BC中點,所以PE⊥BC.又因為平面PBC⊥面ABCD,平面PBC∩面ABCD=BC,所以PE⊥平面ABCD.

又因為EM，EF?平面ABCD,所以PE⊥EM，PE⊥EF.于是EM，EF，EP兩兩垂直.

平面PEF的法向量為n=(1,0,0),由m·n=0,得平面PEF⊥平面PAB.

所以，平面PEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值為

20.(1)由頻率分布直方圖，可得男生中成績大于等于80的頻率為(0.035+0.025)×10=0.6,故男生中“防疫明星”的人數為20×0.6=12人,“非防疫明星”人數為8人.

由頻數分布表，可得女生中“防疫明星”的人數為6人,“非防疫明星”人數為14人.所以2×2列聯(lián)表為

男生女生合計 防疫明星12618 非防疫明星81422 合計202040

X的可能取值為0,1,2,3,4.

所以隨機變量X的分布列為

X01234 P166259662521662521662581625

(2)由f(x)≥1,可得aex-1-lnx+lna≥1,即ex-1+ln a-lnx+lna≥1,即ex-1+ln a+lna+x-1≥lnx+x=eln x+lnx.

令g(t)=et+t,則g′(t)=et+1>0,g(t)在R上單調遞增.由g(lna+x-1)≥g(lnx)，得lna+x-1≥lnx,即lna≥lnx-x+1.

由lna≥h(x)，得lna≥0,a≥1.故a的范圍為[1,+∞).

當直線MN的斜率存在時,設直線MN的方程為y=kx+m,點M(x1,y1),N(x2,y2).

(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,

且Δ=64k2-16m2+16>0.