解析幾何中的創(chuàng)新題型分類解析

王勇 張華麗

【摘 要】 解析幾何中的創(chuàng)新題型大致分為四類：定義新的概念、創(chuàng)設(shè)新的情景、設(shè)置新的交匯、建模新的應(yīng)用.本文結(jié)合相關(guān)高考模擬題予以分類解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

【關(guān)鍵詞】 解析幾何;創(chuàng)新題型;分類解析

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求考生對(duì)“新穎的信息、情景和設(shè)問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，進(jìn)行獨(dú)立思考、探索和探究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題.”[1]隨著新一輪課程改革的深入和推進(jìn)，高考的改革使知識(shí)立意轉(zhuǎn)向能力立意，強(qiáng)化學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的考查，推出了一批新穎而又別致，具有創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維的新題.本文采擷解析幾何中的創(chuàng)新題型并予以分類解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

1 定義新的概念

例1 （2021·福州市模擬題）（多選）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)A（-4，0），B（0，4），其歐拉線方程為x-y+2=0，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是（? ）.

A.（2，0）??? B.（0，2）C.（-2，0）? D.（0，-2）

答案：選AD.

點(diǎn)評(píng) 本題以“歐拉線”為載體，考查考生的信息遷移能力和運(yùn)算求解能力，閱讀并領(lǐng)悟“歐拉線”的實(shí)質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.本題是多選題，是新高考標(biāo)志性的新題型.

例2 （2021·青島市模擬題）（多選）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓.[2]”后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-2，0），B（4，0），點(diǎn)P滿足|PA||PB|=12.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，則下列結(jié)論正確的是（? ）.

A.C的方程為（x+4）2+y2=9

B.在x軸上存在異于A，B的兩定點(diǎn)D，E，使得|PD||PE|=12

C.當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線PO是∠APB的平分線

D.在C上存在點(diǎn)M，使得|MO|=2|MA|

答案：選BC.

點(diǎn)評(píng) 本題以“阿波羅尼斯圓”為背景，考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系，考查考生的運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，弘揚(yáng)和傳承魅力無窮的數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣和內(nèi)在動(dòng)力.

例3 （2021·襄陽市模擬題）定義曲線a2x2+b2y2=1為橢圓x2a2+y2b2=1的“倒橢圓”.已知橢圓C1：x24+y2=1，它的“倒橢圓”C2：4x2+1y2=1的一個(gè)對(duì)稱中心為;過“倒橢圓”C2上的點(diǎn)P作直線PA垂直x軸于點(diǎn)A，作直線PB垂直y軸于點(diǎn)B，則直線AB與橢圓C1的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

答案：（0，0）;1.

點(diǎn)評(píng) 本題給出“倒橢圓”的概念讓學(xué)生領(lǐng)悟，在弄懂新概念的基礎(chǔ)上，結(jié)合已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，即可順利解決問題.本題是“雙空題”，是新高考慣用的一種創(chuàng)新題型.

2 創(chuàng)設(shè)新的情景

例4 （2021·泉州市模擬題）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)（如圖1，圖2所示，其中F1，F(xiàn)2分別為橢圓（雙曲線）的左、右焦點(diǎn)）在建筑、通訊、精密儀器制造等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.

如圖3，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的橢圓C與雙曲線C′構(gòu)成，一光線從左焦點(diǎn)F1發(fā)出，依次經(jīng)過C′，C反射，又回到點(diǎn)F1，歷時(shí)m秒;如圖4，若將裝置中的C′去掉，則該光線從點(diǎn)F1發(fā)出，經(jīng)過C反射兩次后又回到點(diǎn)F1，歷時(shí)n秒.若C與C′的離心率之比為13，則mn=.

解析 設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2.

在圖3中，由橢圓的定義得BF1+BF2=2a1①，由雙曲線的定義得AF2-AF1=2a2②，①-②得AF1+AB+BF1=2a1-2a2，所以△ABF1的周長(zhǎng)為2a1-2a2.在圖4中，光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1發(fā)出，經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2，即直線ED過點(diǎn)F2，所以△EDF1的周長(zhǎng)為4a1.

又C與C′焦點(diǎn)相同，離心率之比為13，所以a1=3a2.

注意到兩次所用時(shí)間分別為m，n，光線速度相同，所以mn=2a1-2a24a1=6a2-2a212a2=13.

點(diǎn)評(píng) 本題給出的情景新穎別致，考查橢圓和雙曲線的定義與光學(xué)性質(zhì)，破解此題的關(guān)鍵是利用橢圓和雙曲線的定義與光學(xué)性質(zhì)，分別求出圖3中光線經(jīng)歷的路程為2a1-2a2，圖4中光線經(jīng)歷的路程為4a1.圖5

例5 （2021·宜昌市模擬題）“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器于2019年1月在月球背面成功著陸.如圖5所示，假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，若用e1和e2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的離心率，則（? ）.

A. e1>e2? B. e1<e2? C. e1=e2D. e1與e2的大小關(guān)系不能確定

答案：選A.

點(diǎn)評(píng) 本題以“嫦娥四號(hào)”探月衛(wèi)星的運(yùn)行軌道為載體，考查橢圓的幾何性質(zhì)，穿插考查不等式的基本性質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱情和民族自豪感.

3 設(shè)置新的交匯

例6 （2021·成都市模擬題）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)H在直線x=a上，且滿且PH=λPF1PF1+PF2PF2，λ∈R.若5HP+4HF2+3HF1=0，則雙曲線C的離心率為（? ）.

A.3?? B.4?? C.5?? D.6

答案：選C.

點(diǎn)評(píng)? 本題是雙曲線與平面向量的交匯綜合題，根據(jù)條件可確定H在∠F1PF2的平分線上，結(jié)合點(diǎn)H在直線x=a上，可知H是△PF1F2的內(nèi)心，由5HP+4HF2+3HF1=0，可求出F1F2∶PF1∶PF2=5∶4∶3，再利用雙曲線的定義即可求解.

例7 （2021·武漢市模擬題）如圖6，已知拋物線C：y2=4x，過點(diǎn)A（1，2）作拋物線C的弦AP，AQ.設(shè)直線PQ過點(diǎn)T（5，-2），則以PQ為底邊的等腰△APQ的個(gè)數(shù)為（? ）.

A.1? B.2? C.3? D.4

答案：選A.

點(diǎn)評(píng) 本題是拋物線與函數(shù)相交匯的綜合題，設(shè)出直線PQ的方程為x=my+n，由解析幾何和平面幾何知識(shí)得到關(guān)于m的方程m3+m2+3m-1=0，構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理可知，該方程有唯一實(shí)根，進(jìn)而得到滿足條件的等腰△APQ有且只有一個(gè).

例8 （2021·江蘇四校聯(lián)考題）（多選）如圖7，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M為DD1的中點(diǎn)，N為正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（? ）.

A.若MN=2，則MN中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為π

B.若N到直線BB1與到直線DC的距離相等，則N的軌跡為拋物線的一部分

C.若D1N與AB所成的角為60°，則N的軌跡為雙曲線的一部分

D.若MN與平面ABCD所成的角為60°，則N的軌跡為橢圓

解析 對(duì)于A，連接DN，因?yàn)镸N=2，MD=1，MD⊥DN，所以DN=3，則MN的中點(diǎn)到MD的中點(diǎn)的距離為32，所以MN的中點(diǎn)的軌跡是以MD的中點(diǎn)為圓心，32為半徑且平行于平面ABCD的14圓周，其長(zhǎng)度為14×2π×32=3π4，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B，連接NB，因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，NB平面ABCD，所以NB⊥BB1，所以NB之長(zhǎng)即為N到直線BB1的距離，在平面ABCD內(nèi)，點(diǎn)N到定點(diǎn)B的距離與到定直線DC的距離相等，所以點(diǎn)N的軌跡就是以B為焦點(diǎn)，DC為準(zhǔn)線的拋物線的一部分，故B正確.

對(duì)于C，如圖8，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（2，2，0），D1（0，0，2），設(shè)N（x，y，0）（0<x<2，0<y<2），D1N=（x，y，-2），AB=（0，2，0），cos60°=DN·ABDN·AB=2yx2+y2+4×2=12，化簡(jiǎn)得3y2-x2=4（0<x<2，0<y<2），所以N的軌跡為雙曲線的一部分，故C正確.

對(duì)于D，易知MN與平面ABCD所成的角為∠MND，所以∠MND=60°，則DN=33，所以點(diǎn)N的軌跡是以D為圓心，33為半徑的14圓周，故D錯(cuò)誤.故選BC.

點(diǎn)評(píng)? 本題是立體幾何與解析幾何的交匯綜合題，緊扣圓的定義、拋物線的定義，可判斷A，B，D三個(gè)選項(xiàng)的正誤，對(duì)于C選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的工具性得點(diǎn)N的坐標(biāo)需滿足的等式，即可判斷C選項(xiàng)的正誤.

4 建模新的應(yīng)用

例9 （2021·南京市模擬題）如圖9所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面）反射器和位于其焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn).

圖10是圖9的軸截面，A，B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，∠AFB是饋源的方向角，記為θ.焦點(diǎn)F到頂點(diǎn)的距離f與口徑d的比值fd稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等.如果某拋物面天線的焦徑比等于0.5，那么饋源的方向角θ的正切值為.

解析 建立如圖11所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為y2=2px（p>0），則f=p2，又fd=0.5，所以d=p，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以A，B的縱坐標(biāo)分別為p2，-p2，則Ap8，p2，Bp8，-p2，直線BF的斜率k=p2p2-p8=43，由拋物線的對(duì)稱性可知直線BF的傾斜角等于θ2，所以tanθ2=43，所以tanθ=2tanθ21-tan2θ2=831-169=-247.

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線的斜率公式、二倍角公式.考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索.

例10 （2021·長(zhǎng)沙市模擬題）某城市決定在夾角為30°的兩條道路EB，EF之間建造一個(gè)半橢圓形的主題公園，如圖12所示，AB=2千米，O為AB的中點(diǎn)，OD為橢圓的長(zhǎng)半軸，在半橢圓形區(qū)域內(nèi)再建造一個(gè)三角形游樂區(qū)域OMN，其中M，N在橢圓上，且MN的傾斜角為45°，MN交OD于G.

（1）若OE=3千米，為了不破壞道路EF，求橢圓長(zhǎng)半軸的最大值;

（2）若橢圓的離心率為32，當(dāng)OG為何值時(shí)，游樂區(qū)域△OMN的面積最大？

分析 （1）建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，得橢圓方程為x2a2+y2=1（a>1），由題意求出直線EF的方程，把直線EF的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用直線EF與半橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)，得a所滿足的不等式，解不等式得a的取值范圍，從而得橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)的最大值;（2）求出橢圓方程，設(shè)G（m，0），根據(jù)題意設(shè)出直線MN的方程，聯(lián)立直線MN的方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出△OMN的面積，利用基本不等式，即可求出游樂區(qū)域△OMN面積的最大值及相應(yīng)的OG的值.

答案：（1）橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)的最大值為263;

（2）當(dāng)OG為102千米時(shí)，游樂區(qū)域△OMN的面積最大.

點(diǎn)評(píng) 本題是以半橢圓為背景的實(shí)際應(yīng)用題，考查考生的數(shù)學(xué)建模能力和運(yùn)算求解能力，是一道優(yōu)秀的創(chuàng)新題.

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.6.

[2] 杜志建.2022新高考優(yōu)秀模擬試卷匯編45套·數(shù)學(xué)[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2021.6.

作者簡(jiǎn)介 王勇（1965—），男，湖北隨州人，特級(jí)教師，正高級(jí)教師（三級(jí)教授）;主要研究高中數(shù)學(xué)教育與教學(xué);國(guó)家級(jí)、省級(jí)學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表論文1800余篇，在全國(guó)各地講學(xué)200余場(chǎng).

張華麗（1976—），女，湖北棗陽人，高級(jí)教師;主要研究高中數(shù)學(xué)教育與教學(xué).