素養(yǎng)立意下解析幾何專題復(fù)習(xí)常規(guī)與轉(zhuǎn)向

【摘 要】 素養(yǎng)立意下的解析幾何專題復(fù)習(xí)，在高考導(dǎo)向、總結(jié)歸納、突出常規(guī)的同時要轉(zhuǎn)向注重知識間的融合，注重培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力;要轉(zhuǎn)向落實細節(jié)，注重回歸教材的方式方法，培養(yǎng)慣性觀念時注重學(xué)生運算難點的突破，運用變式教學(xué)提升學(xué)生核心素養(yǎng);要轉(zhuǎn)向高考試題命題技術(shù)、共性聯(lián)系、創(chuàng)新研究等方面的總結(jié)和預(yù)測上來，從而把握命題方向.

【關(guān)鍵詞】 素養(yǎng)立意;解析幾何;變式教學(xué);命題技術(shù);共性聯(lián)系

高考評價體系標志著中國高考正在實現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的歷史性轉(zhuǎn)變.回顧2021年素養(yǎng)立意下的解析幾何考題，可總結(jié)為：強化“四基”、考查“四能”;主要表現(xiàn)在突出主干知識，重視解析幾何的本質(zhì)、基本思想與方法，考查學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)以及分析問題、解決問題的能力.因此，作為素養(yǎng)立意下的專題復(fù)習(xí)，注重常規(guī)的同時，還必須適時“轉(zhuǎn)向”，跳出“刷題”模式，筆者認為可以從以下方面把握與提升.

1 高考導(dǎo)向，總結(jié)歸納1.1 突出常規(guī)情境，注重基本思想與技能

《普通高中課程標準（2017年版2020年修訂）》[1]（以下簡稱課標）指出，平面解析幾何內(nèi)容包括：直線與方程、圓與方程、圓錐曲線與方程、平面解析幾何的形成與發(fā)展.課標對每部分的考查要求作了明確，但高考中直線、圓的方程很多時候融入圓錐曲線與方程的知識當(dāng)中進行綜合考查，因此，圓錐曲線與方程是解析幾何的核心內(nèi)容.梳理近兩年的解析幾何考查熱點，大致可歸納如下：

從表1不難發(fā)現(xiàn)，高考試題主要以變換曲線類型、幾何性質(zhì)和位置關(guān)系為載體，基本上在距離問題、面積問題、最值與范圍問題、定點定值問題等典型問題情境上做文章.

1.2 體現(xiàn)知識融合，注重問題解決能力

除了常規(guī)的考查方式，素養(yǎng)立意下的高考試題要素已經(jīng)從單一要素轉(zhuǎn)向復(fù)合要素，這導(dǎo)致更注重考查知識的融合;同時隨著不定項多選題的出現(xiàn)，對解析幾何專題的要求更強調(diào)知識的遷移和問題解決能力.

1.2.1 考查多選題與解析幾何知識的融合

例1 （2020年山東卷9題）已知曲線C：mx2+ny2=1.

A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上

B.若m=n>0，則C是圓，其半徑為n

C.若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±-mnx

D.若m=0，n>0，則C是兩條直線

評析 此題以圓錐曲線統(tǒng)一形式為情境載體，根據(jù)參數(shù)的變化，融合了不同曲線類型的知識，要求考生能從基礎(chǔ)知識出發(fā)，進行具體問題具體分析，在分類討論的基礎(chǔ)上進行邏輯推理，最后落腳在曲線（直線）方程、漸近線等常規(guī)問題的解決上.值得一提的是，解析幾何的多項選擇題緊接著出現(xiàn)在2021年新高考Ⅰ卷11題，以直線與圓的方程為載體，落腳在動態(tài)變化和對距離的考查上.1.2.2 考查解析幾何與函數(shù)知識的融合

例2 （2020年浙江卷8）已知點O（0，0），A（–2，0），B（2，0）.設(shè)點P滿足|PA|–|PB|=2，且P為函數(shù)y=34-x2圖象上的點，則|OP|=（? ）.

A.222? B. 4105? C. 7? D. 10

評析 本題體現(xiàn)了雙曲線和函數(shù)圖象的融合，同時函數(shù)圖象也是橢圓的上半部分，從而也是雙曲線和橢圓知識的融合.要求學(xué)生能從雙曲線的定義出發(fā)，得出雙曲線右支的方程，結(jié)合函數(shù)解析式得出P點坐標.考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運算和直觀想象的核心素養(yǎng).值得注意的是，在2021年浙江卷第9題出現(xiàn)了與數(shù)列（等比數(shù)列）知識的融合.1.2.3 考查解析幾何與平面向量的融合

平面向量在新人教A版教材中的位置發(fā)生了重要變化，它作為一種解決問題的工具更加受到重視.因此解析幾何與平面向量的融合也就變得十分自然.比如2020年江蘇卷、天津卷、上海卷中的解析幾何解答題，2021年上海卷20題等.這類融合主要涉及圓錐曲線的相關(guān)知識和平面向量知識等，多出現(xiàn)在解答題，考查學(xué)生從代數(shù)角度尋找關(guān)于長度或者利用向量的坐標反映向量的位置關(guān)系方面解決問題的能力.2 備考轉(zhuǎn)向，落實細節(jié)復(fù)習(xí)備考策略一直是一個老生常談的問題，往往各種宏觀上的指導(dǎo)頗多，而在復(fù)習(xí)中微觀上的實際操作卻比較少.下面就幾點落實關(guān)鍵細節(jié)上的經(jīng)驗和想法給出建議.2.1 回歸教材，注重方式方法

回歸教材絕對不是在復(fù)習(xí)中簡單地讓學(xué)生“看看教材，做做習(xí)題”.復(fù)習(xí)備考回歸教材是連續(xù)性的過程，是進入復(fù)習(xí)教學(xué)時就要思考的整體性的、全局性的計劃部署，要定位如何通過對高考題和教材習(xí)題的比較、研究，達到回歸教材、活用教材以及類比拓展的目的[2].

首先建立高考試題與教材的對接點.從高考試題的顯性要素和隱性要素兩方面建立高考試題與教材的對接點.比如，2021年全國新高考Ⅱ卷第13題可對接新人教A版選擇性必修2習(xí)題3.2第3題;全國甲卷理科第15題可對接選擇性必修2復(fù)習(xí)參考題3第7題等.其次，以高考為導(dǎo)向挖掘教材資源.根據(jù)建立的高考與教材的對接點，從高考考查的重點、高考試題的命題思路反思教材相關(guān)重點內(nèi)容的問題提出方式，創(chuàng)新教材習(xí)題形式.最后，將對接點要融入解析幾何專題中的思維導(dǎo)圖，形成概念與概念之間的邏輯關(guān)系，以便應(yīng)對知識融合時的思維跨越.2.2 培養(yǎng)慣性觀念，突破運算難點素養(yǎng)立意的高考命題重視學(xué)科觀念、規(guī)律的考查，考查學(xué)生扎實的學(xué)科基礎(chǔ)，引導(dǎo)他們?nèi)バ纬伤季S中的慣性觀念，并且能夠合理的進行轉(zhuǎn)化[3].思維上的慣性觀念往往在解析幾何解答題中體現(xiàn)為：需要聯(lián)立直線與曲線方程，利用韋達定理整體代換進行求解，所得表達式有時候可以很快求解，有時候就需要一些技巧，這時學(xué)生就容易卡殼.這是學(xué)生運算的難點，因為這里涉及到兩種運算結(jié)構(gòu).2.2.1 對稱結(jié)構(gòu)

轉(zhuǎn)化表達式中只含“x1+x2”（或“y1+y2”）、“x1x2”（或“y1y2”）的結(jié)構(gòu)，我們俗稱其為“對稱結(jié)構(gòu)”.例3 （2021年新高考Ⅰ卷21題）在平面直角坐標系xOy中，已知點F1（-17，0），F(xiàn)2（17，0），點M滿足|MF1|-|MF2|=2，記M的軌跡為C.

（1）求C的方程;

（2）設(shè)T點在直線x=12上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且|TA||TB|=|TP||TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

評析 第（2）問中可用弦長公式轉(zhuǎn)化為|TA||TB|=1+k2AB·|xA-12|·1+k2AB·|xB-12|=（1+k2AB）（xAxB-xA+xB2+14）.此時能直接利用韋達定理整體代換求解.再比如2021年新高考Ⅱ卷20題也是如此.2.2.2 非對稱結(jié)構(gòu)例4 （2020年全國Ⅰ卷理科21題）已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，AG·GB=8.P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.

（1）求E的方程;

（2）證明：直線CD過定點.

評析 解答此題大部分學(xué)生的慣性思路為：由A（-3，0），B（3，0），設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），直線AC與BD的方程為y=y1x1+3（x+3），y=y2x2-3（x-3）根據(jù)AC與BD相交，則可得3y1x1+3=y2x2-3.此時就是非對稱結(jié)構(gòu)，若將CD直線方程（斜率存在時）y=kx+b代入橢圓方程得到表達式（9k2+1）x2+18kbx+9b2-9=0，由韋達定理并不能解決問題[4].教師這時應(yīng)該引導(dǎo)、幫助學(xué)生總結(jié)處理這類問題的方法（例如平方法、積轉(zhuǎn)為和等）或者規(guī)避這類非對稱結(jié)構(gòu)的求解方法.2.3 課堂變式教學(xué)，聚焦核心素養(yǎng)

課堂變式教學(xué)能總結(jié)復(fù)習(xí)備考中出現(xiàn)的問題，能夠引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的情境中抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，并以此鋪展開來，在關(guān)聯(lián)的情境中分析并解決數(shù)學(xué)問題，達到觸類旁通的效果.例5 （2021年八省聯(lián)考數(shù)學(xué)21題（1）） 雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左頂點為A，右焦點為F，動點B在C上.當(dāng)BF⊥AF時，|BF|=|AF|.求C的離心率.

此題是解答題第（1）問，以雙曲線為情境，在兩直線為特殊位置關(guān)系且滿足|BF|=|AF|等式關(guān)系時的離心率問題，依然落腳于常規(guī)問題.為了提升學(xué)生解決問題的能力，可以針對情境進行變式、遷移：

例6 （恩施州2022屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測6題） 雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左頂點為A，右焦點為F，過點A的直線交雙曲線C于另一點B，當(dāng)BF⊥AF時滿足|AF|>2|BF|，則雙曲線離心率e的取值范圍是（? ）.

A.1<e<2?? B.1<e<32

C.32<e<2D.1<e<3+32

這樣，就把圓錐曲線中基本量的問題遷移到了范圍問題，雖然基礎(chǔ)知識一樣，但涉及到邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)水平是不一樣的.

3 研究考向，猜想預(yù)測

加強對高考試題的研究，可以在命題技術(shù)、共性聯(lián)系、創(chuàng)新研究等方面總結(jié)解題思路、方法，便于在關(guān)聯(lián)的情境中進行遷移，把握命題方向乃至預(yù)測試題.3.1 基于命題技術(shù)研究與預(yù)測

歸納解析幾何題情境中的圓錐曲線性質(zhì)及去情境化的平面幾何性質(zhì)，總結(jié)命題技術(shù)及類似案例，能深入體會解析幾何命題中利用平面幾何關(guān)于三角形的一些等式關(guān)系、性質(zhì)或結(jié)論進行試題命制的過程.

例7 （2019年浙江卷21題）如圖1，已知F（1，0）是拋物線y2=2px（p>0）的焦點，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，點Q在點F的右側(cè)，記△AFG，△CQG的面積分別為S1，S2.

（1）求p的值及拋物線的準線方程;

（2）求S1S2的最小值及此時G點坐標.

若去掉拋物線的情境，可表述為：如圖2，過△ABC的重心G作一條直線分別交AB，AC于F，Q，記△AFG，△CQG的面積分別為S1，S2，則S1S2的最小值為1+32[5].

結(jié)論很容易證明，也是三角形中的一條性質(zhì).有意思的是，2021年浙江卷依然是類似的命題手法.

例8 （2021年浙江卷21題）如圖3，已知F是拋物線y2=2px（p>0）的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且|MF|=2.（1）求拋物線的方程;

（2）設(shè)過點F的直線交拋物線于A，B兩點，斜率為2的直線l與直線MA，MB，AB，x軸依次交于點P，Q，R，N，且|RN|2=|PN|·|QN|，求直線l在x軸上截距的范圍.

同樣地，去掉拋物線背景，可描述為： 如圖4，在MAB中，MF平分∠AMB，直線PQ與MAB的三邊MA，MB，AB，MF依次交于點P，Q，R，N，如果|RN|2=|PN|·|QN|，那么BMMP·NRQN·RFFB=1. 結(jié)論的證明可利用梅涅勞斯定理，請讀者自己完成.類似這樣的命題手法，通過三角形性質(zhì)，融入圓錐曲線的背景，應(yīng)該引起關(guān)注.3.2 基于試題共性研究與預(yù)測

所謂試題共性研究，就是根據(jù)聯(lián)系的多樣性，對各地高考試卷解析幾何的命題立意、情境設(shè)問、解法等方面進行共性研究，歸納與分類，尋找之間的聯(lián)系，把握命題方向.

例9 （2021年新高考Ⅱ卷20題）已知橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1（a>0，b>0），右焦點為F（2，0），且離心率為63.

（1）求橢圓C的方程;

（2）設(shè)點M，N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線x2+y2=b2（x>0）相切.證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是|MN|=3.

例9與例3兩道真題的第（2）問解法中的條件式都是用弦長公式，轉(zhuǎn)化為兩交點坐標的對稱結(jié)構(gòu).在命題立意上，兩道高考真題都以圓錐曲線與圓的位置關(guān)系為背景，例3比較隱性，實質(zhì)為A，B，P，Q四點共圓，即圓與雙曲線相交于四點;例9顯性的給出了圓與橢圓相切，最后二者都是以直線與曲線的位置關(guān)系為落腳點[6].

3.3 基于創(chuàng)新視角研究與預(yù)測

高考命題要防止試題題型、命題方式固化，增加試題新穎性和靈活性，促進學(xué)生融會貫通、真懂會用，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)全面教學(xué)、夯實基礎(chǔ)、靈活學(xué)習(xí)、創(chuàng)新思考[7].同樣，解析幾何題也應(yīng)適當(dāng)創(chuàng)新，可以將一些簡單的幾何關(guān)系融入情境，提出新的問題，培養(yǎng)思維能力.例10 （恩施州2022屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測21題） 已知拋物線C：y2=2px（p>0）的頂點為A，直線y=x與拋物線C的交點（異于點A）到點A的距離為42.

（1）求C的標準方程;

（2）過點A作斜率為k（k>0）的直線l與C交于點M（異于點A），直線l關(guān)于直線y=x對稱的直線l1與C交于點N（異于點A），求證：直線MN過定點.

解析 （1）拋物線的標準方程為y2=4x.

（2）證明：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），將l：y=kx代入拋物線方程得k2x2-4x=0，所以x=4k2，y1=4k，設(shè)直線l1：y=k1x，同理x2=4k21，y2=4k1，因為l與直線l1：y=k1x關(guān)于直線y=x對稱，由圖形對稱性，計算可得k1k=1. 所以x2=4k2，y2=4k，又kMN=y2-y1x2-x1=4k-4k4k2-4k2=k（k2-1）k4-1=k1+k2，所以直線MN的方程為y-4k=k1+k2x-4k2，化簡有y=k1+k2（x+4），所以恒過定點（-4，0）.

評析 例10依然是常規(guī)情境中的定點定值問題，解題思路也是常規(guī)的慣性觀念，但是“一條直線關(guān)于y=x對稱的直線方程”是本題創(chuàng)新之處，在情境中融入了簡單“對稱”關(guān)系，學(xué)生在問題解決中出現(xiàn)了思維障礙、知識脫節(jié)，不會利用數(shù)形結(jié)合進行進一步的直觀想象，不會用數(shù)學(xué)語言將其描述出來.

4 結(jié)束語

盡管年年歲歲“題”相似，歲歲年年“意”不同，但是近幾年高考全國卷中解析幾何內(nèi)容一般包含2到3個選擇與填空題、1個解答題，基本趨于穩(wěn)定.各地也大多采用了三輪復(fù)習(xí)備考模式，本文中闡述的“三個方面”也是三輪復(fù)習(xí)階段實施層面中應(yīng)該重點關(guān)注的問題.總之，素養(yǎng)立意下的解析幾何復(fù)習(xí)備考，教師要從關(guān)注知識轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)生，不應(yīng)被“復(fù)習(xí)資料”牽著鼻子走，教學(xué)中應(yīng)該立足學(xué)情，抓住解析幾何本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻

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[7] 任子朝.高考命題創(chuàng)新[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（28）：1.

作者簡介 周威（1985—），男，中學(xué)一級教師，恩施州教育科學(xué)研究院高中數(shù)學(xué)教研員，全日制研究生學(xué)歷，理學(xué)碩士;主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究與質(zhì)量測評工作;主持了多項省級、州級教育規(guī)劃課題;在國家級、省級數(shù)學(xué)等專業(yè)期刊上發(fā)表論文60余篇.