新課程背景下高考“數(shù)列”考向透視

【摘 要】 縱觀近幾年的高考題和?？碱}，對數(shù)列的考查主要是數(shù)列的性質(zhì)、通項、求和、遞推式、最值、證明、大小關(guān)系比較、數(shù)列文化題，以及與相關(guān)知識的交匯題，試題具有知識點多、覆蓋面廣、綜合性強的特點，是高考經(jīng)久不衰的考查重點.

【關(guān)鍵詞】 新課程;高考數(shù)列;考向透視

隨著新課標(biāo)的出臺和新課程的實施，近幾年的高考和?？迹瑢?shù)列內(nèi)容的考查很好地體現(xiàn)了新課程理念和邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，充分顯示了能力要求和學(xué)科素養(yǎng).主要考向表現(xiàn)在以下四個方面：數(shù)列的函數(shù)特性、數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和、數(shù)列中的不等關(guān)系. 本文結(jié)合部分高考題、模考題和自編題予以透視，從中展示數(shù)列的核心知識與方法，并與相關(guān)知識融會貫通，提高解題能力[1]. 四個考向的具體分析見下文.

1 數(shù)列的函數(shù)特性

1.1 數(shù)列的單調(diào)性

數(shù)列{an}是一種特殊函數(shù)，與函數(shù)一樣也具有單調(diào)性.一般地， 若數(shù)列{an}滿足an<an+1（an>an+1）對任意n∈N*都成立， 則稱數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列或單調(diào)遞減數(shù)列.

例1 （自編題）已知單調(diào)遞增數(shù)列{an}的通項an=n2-kn（n∈N*）， 則實數(shù)k的取值范圍是（? ）.

A. （-∞，2]? B.（-∞ ，3）C.（-∞ ，2）? D.（-∞ ，3]

評析 解本題有兩種思路： 一是對an<an+1參變分離為k<2n+1，再確定實數(shù)k的取值范圍;二是利用二次函數(shù)的單調(diào)性處理，a1，a2在對稱軸的兩旁且a1<a2也滿足條件，這是易忽視致誤的.數(shù)列{an}的單調(diào)性與函數(shù)f（x）單調(diào)性有區(qū)別.數(shù)列的定義域{1，2，3，…，n，…}是離散的， 而函數(shù)的定義域往往是連續(xù)的，不能完全套用函數(shù)的單調(diào)性去處理數(shù)列的單調(diào)性問題. 求數(shù)列{an}的范圍問題或最大項（最小項）問題，我們常常利用數(shù)列的單調(diào)性處理.解不等式組an≥an+1，an≥an-1，求出n，則第n項最大; 解不等式組an≤an+1，an≤an-1，求出n，則第n項最小.

1.2 數(shù)列的周期性

與函數(shù)一樣，數(shù)列{an}也具有周期性.一般地， 若數(shù)列{an}滿足an=an+k（k∈N*）對任意n∈N*都成立， 則稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列，正整數(shù)k為其周期.在有關(guān)數(shù)列的某些求積求和問題中，利用數(shù)列的周期性處理簡單快捷.

例2 （2021 ·安徽安慶?？碱}）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+1=1+an1-an（n∈N*），則該數(shù)列前2021項的乘積a1a2a3a4…a2021=.

評析 本題中已知的遞推式無法轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式，從解題目標(biāo)讓我們想到需要考察數(shù)列的周期性，這是處理此種類型問題的基本套路.顯然，對于選擇題和填空題來說，特殊值法尋求周期比較簡單.對于解答題來說，邏輯推證法更嚴(yán)謹，還能從中發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，得到拓展：

an+1=1+an1-an類比f（x+1）=1+f（x）1-f（x）（周期是4）;

an+1=11-an類比f（x+1）=11-f（x）（周期是3）;

an+1=±1an類比f（x+1）=±1f（x）（周期是2）;

an+1=1-1an類比f（x+1）=1-1f（x）（周期是3）[2].

1.3 數(shù)列的圖象

數(shù)列{an}的圖象是有限個或無數(shù)個孤立的點. 有的數(shù)列問題常常與其圖象建立聯(lián)系，利用數(shù)列的圖象處理.

例3? （2020 ·北京重點中學(xué)聯(lián)考題）如下圖，直線y=kx上有一列點P1，P2，P3，…，Pn…滿足：Pn-1Pn+1=nPnPn+1（n≥2）.設(shè)線段P1P2，P2P3，P3P4，…，PnPn+1的長分別為a1，a2，a3，…，an，且a1=1.

（Ⅰ）求出a2，a3的值，并寫出an的表達式（用n表示）;

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}圖象上的點Mn（n，an）（n∈N*，n≥2），

證明這些點中不可能同時有兩個點在直線y=kx上.

評析 對（Ⅰ），運用向量加法法則將已知的向量等式變形，獲得向量長度數(shù)列的遞推式;

對（Ⅱ），運用反證法證之. 我們知道，數(shù)列{an}的圖象是曲線y=f（x）（an=f（n））上離散的點，第n個點的坐標(biāo)為Mn（n，an）（n∈N*）.正因為如此，就建立了平面曲線與數(shù)列之間的對應(yīng)關(guān)系，出現(xiàn)了以數(shù)列的圖象為背景的試題，重點考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和遷移能力. 緊緊抓住n是圖象上點的橫坐標(biāo)，an是對應(yīng)的縱坐標(biāo)，且滿足解析式an=f（n）是關(guān)鍵[2].

2 數(shù)列的通項公式

2.1 利用基本公式求通項

等差數(shù)列有3個常用公式： 通項公式an=a1+（n-1）d與兩個求和公式Sn=na1+n（n-1）2d，Sn=n（a1+an）2.等比數(shù)列有4個常用公式： 通項公式an=a1·qn-1與3個求和公式Sn=a1（1-qn）1-q（q≠1），Sn=a1-anq1-q（q≠1），Sn=na1（q=1）.比如已知等差數(shù)列的兩項可以求出首項a1與公差d; 已知等差數(shù)列的兩個和，可以通過兩個方程求出首項a1與公差d等等. 對等比數(shù)列也是如此.

例4 （自編題）設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和， 若a2021=S2021=2021，則{an}的通項an=.

例5 （2021 ·江西南昌?？碱}）已知{an}是首項為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，且9S3=S6.若bn=anan+1，n∈N*. 則數(shù)列{bn}的通項bn=.

評析 例4的思路是由S2021=2021確定a1，再求d和an. 例5的思路是由9S3=S6確定{an}的公比q，進一步求an和bn. 解題有兩個關(guān)鍵點：一是等差數(shù)列{an}的通項由首項a1與公差d完全確定，等比數(shù)列{an}的通項由首項a1與公比q完全確定;二是利用已知條件或等差、等比數(shù)列的性質(zhì)構(gòu)建方程，確定a1，d和a1，q，再寫出通項公式.

2.2 利用Sn與an的關(guān)系求通項

若已知數(shù)列{an}的前n項和Sn與項數(shù)n之間具有函數(shù)關(guān)系Sn=f（n），則無論數(shù)列{an}是否為等差或等比數(shù)列，當(dāng)n≥2時，都有Sn-1=f（n-1），再利用公式an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2，求其通項.

例6 （2021 ·全國高考乙卷題）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項積.已知2Sn+1bn=2.（Ⅰ）證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;（Ⅱ）求{an}的通項公式.

評析 本題的基本思路是，在遞推式bn=S1·S2·S3·…·Sn中賦n為n-1，對兩個遞推式實施相除變形，確定Sn，bn，bn-1的關(guān)系，進一步推出bn-bn-1為常數(shù)， 求出an. 解題有3個關(guān)鍵點：一是求首項.利用a1=S1求出a1;二是求通項.當(dāng)n≥2時，用n-1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系Sn-1=f（n-1），利用an=Sn-Sn-1可求出當(dāng)n≥2時an的表達式;三是必須驗證.看a1是否適合n≥2時an的表達式，否則，只能用分段函數(shù)an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2來表示.

2.3 利用累加法求通項

遇到形如an+1-an=f（n）型的遞推關(guān)系式，往往可以利用對應(yīng)的恒等式an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1（n≥2）求通項，其實質(zhì)就是“累加法”.

例7 （2021 ·西工大附中質(zhì)檢題）在數(shù)列{an}中，nan+1-（n+1）an=1（n∈N*），且a1=1，則通項an=.

評析 本題的思路是，將遞推式變形為an+1=an+f（n）的形式，再累加. 解題有3個關(guān)鍵點：一是變形化簡.當(dāng)n≥2時，對恒等式an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1中的各加項化簡.二是注意檢驗.要驗證當(dāng)n=1（或n=2）時是否滿足前述一般情形，即當(dāng)n≥2（或n≥3）時的情形.若滿足，則上述求出的an就是通項公式.若不滿足，則必須寫成分段函數(shù)的形式. 三是形如an+1=an+f（n）（其中∑n-1k=1f（k）可求）的遞推式往往可以運用累加法求通項. 不符合這種形式的可以考慮向這種形式轉(zhuǎn)化.2.4 利用累乘法求通項

遇到形如an+1an=f（n）型的遞推關(guān)系式，可利用對應(yīng)的恒等式an=anan-1·an-1an-2…a2a1·a1

（n≥2）求通項，其實質(zhì)就是“累乘法”.

例8? （2021 ·福建漳州?？碱}）函數(shù)f（n）定義在正整數(shù)集上，且滿足f（1）=2021，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）=n2f（n），則f（n）=.

評析 本題的思路是，在遞推式中賦值后，與原式整體相減，得到f（n）與f（n-1）的比值關(guān)系，再利用累乘法處理.解題有3個關(guān)鍵點：一是變形化簡. 當(dāng)n≥2時，對恒等式an=anan-1·an-1an-2…a2a1·a1中的各因式化簡;二是注意檢驗. 要驗證當(dāng)n=1（或n=2）時是否滿足前述一般情形，即當(dāng)n≥2（或n≥3）時的情形.若滿足，則上述求出的an就是通項公式.若不滿足，則必須寫成分段函數(shù)的形式;三是形如an+1an=f（n）（其中積f（1）·f（2）·…·f（n-1）可求）的遞推式往往可以用累乘法求通項.

3 數(shù)列求和3.1 公式法求和

對于一個整體是等差或等比數(shù)列的和式，直接運用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式或它們的性質(zhì)求和，往往稱為公式求和法.

例9 （2021 ·全國高考甲卷題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若S2=4，S4=6，則S6=（? ）.

A. 7?? B. 8?? C. 9?? D. 10

例10 （2020 ·山東青島聯(lián)考題）若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，S3=-30，S8=-40，則S11的值是.

評析 例9的思路是，由“S2，S4-S2，S6-S4成等比數(shù)列”構(gòu)建方程求公差t，再求S6，或由S2=4，S4=6，利用求和公式構(gòu)建方程組. 例10的思路是，利用Sn=An2+Bn（A，B為常數(shù)），或Sn=na1+n（n-1）2d，或Sn=n（a1+an）2和am+an=ap+aq（m+n=p+q）處理. 解題有兩個關(guān)鍵點：一是確定求和公式中的元素.根據(jù)條件確定等差數(shù)列求和公式Sn=na1+n（n-1）2d，Sn=n（a1+an）2和等比數(shù)列三個求和公式Sn=a1（1-qn）1-q（q≠1），Sn=a1-anq1-q（q≠1），Sn=na1（q=1）中的相關(guān)元素，代入公式求和;二是活用等差或等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì).往往已知等差或等比數(shù)列中的某些和，要求另外的和，常常運用“Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，S4m-S3m，…也成等差數(shù)列”（對等差數(shù)列來說）和“當(dāng)Sm≠0時，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，S4m-S3m，…也成等比數(shù)列”（對等比數(shù)列來說），同時也活用am+an=ap+aq或am·an=ap·aq（m+n=p+q）.

3.2 錯位相減法求和若數(shù)列{an}和{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列， 則求其積數(shù)列{an·bn}的前n項和，可以運用錯位相減法. 例11 （2021 ·全國高考甲卷題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為;如果對折n次，那么∑nk=1Sk=dm2.

評析 對空1，按對折列舉即可;對空2，根據(jù)規(guī)律可得Sn，再由錯位相減法得出結(jié)果，注意乘以分數(shù)公比12. 解題有兩個關(guān)鍵點：一是考慮特殊情形.判斷等比數(shù)列{bn}的公比是否為1，若為1，直接利用等差數(shù)列求和公式求和即可;二是考慮一般情形.當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{bn}的公比不為1時，將和式兩邊同時乘以這個公比，并跟原和式錯位列式、整體相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，化簡整理得到原和式.

數(shù)列文化題是近年來高考考查數(shù)列知識的新亮點，主要以數(shù)列發(fā)展史和數(shù)列的當(dāng)代應(yīng)用為載體設(shè)置，具有背景新、結(jié)構(gòu)新、內(nèi)容新的特點.解題一般步驟是：閱讀、理解和遷移.核心是通過遷移，得到相應(yīng)的數(shù)列模型，再利用數(shù)列相關(guān)知識求解模型，實現(xiàn)解題目標(biāo).

3.3 裂項相消法求和

無法用公式求和法、分組求和法或錯位相減求和法求和的， 可以根據(jù)和式通項的特點， 考慮將其裂項， 使得和式中許多項能相消.

例12 （2021·皖江聯(lián)盟開年考）已知Sn是各項均不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和，且S2n-1=a2n（n∈N*）. 若存在n∈N*，使不等式1a1a2a3+1a2a3a4+1a3a4a5+…+1anan+1an+2

≥14n2+12nλ成立，則實數(shù)λ的最大值是.

評析 本題和式中的一般項1anan+1an+2，跳出了原有分母是兩項積的形式，分母anan+1an+2變成了三項積的形式，給人以耳目一新之感. 由于一般項

1anan+1an+2打破常規(guī)，學(xué)生往往不知道對其怎樣裂項：裂成三項沒做過，不知該如何下手;分母是三項積裂成兩項也沒做過，該怎么湊配也不清楚. 絕大部分學(xué)生因找不到解題思路，使解題陷入困境而失分.其實，如果對1n（n+1）=1n-1n+1和1anan+1=1an+1-an1an-1an+1比較熟悉，則能想到視anan+1和an+1an+2為兩個整體，即朝1anan+1an+2=1an+2-an1anan+1-1an+1an+2的方向裂項即可.本題雖然是常規(guī)題型，但立意新、結(jié)構(gòu)新、方法新，融等差數(shù)列的性質(zhì)、裂項相消求和、能成立不等式于一體，有較強的綜合性、一定的難度和很好的區(qū)分度，對邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)進行了深度考查.

裂項相消求和法是數(shù)列求和的一種重要方法.常見的裂項有：

1n（n+k）=1k1n-1n+k，1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），2n+1n2（n+1）2=1n2-1（n+1）2，（-1）n·2n+1n（n+1）=（-1）n·1n+1n+1，loga1+1n=loga（n+1）-logan，tann·tan（n+1）=tan（n+1）-tanntan1-1等等. 解題要點是對一般項裂項，鄰項相互抵消，實現(xiàn)求和. 從上述聯(lián)考題的解答，又得到一種新的裂項方式：

1anan+1an+2=1an+2-an1anan+1-1an+1an+2.

這給我們很大啟發(fā)，進一步有1anan+1an+2an+3=1an+3-an1anan+1an+2-1an+1an+2an+3和1anan+1an+2an+3an+4=1an+4-an1anan+1an+2an+3-1an+1an+2an+3an+4等等， 大大拓寬了我們的思維空間和知識視野. 正如田剛院士所說：解數(shù)學(xué)題既要講原則性和規(guī)律性，又要講靈活性和變通性. 這種新的裂項方式就應(yīng)該是數(shù)學(xué)方法的靈活性和變通性的體現(xiàn)[2].

3.4 放縮法求和

證明數(shù)列中的不等式，是近年來高考中出現(xiàn)的新熱點.其中常常要涉及到求和問題，而這些和又無法用常見模型計算，必須實施放縮變形，轉(zhuǎn)化為熟悉的模型處理，往往稱為放縮求和法.

例13 （2019·浙江高考題）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3=4，a4=S3，數(shù)列{bn}滿足：對每個n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比數(shù)列.

（Ⅰ）證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;（Ⅱ）記cn=an2bn，n∈N*.證明：c1+c2+c3+…+cn<2n，n∈N*.

評析 對（Ⅰ），利用a3=4和a4=S3構(gòu)建方程組求解等差數(shù)列{an}的首項和公差，進一步得到Sn，求出bn;對（Ⅱ），將一般項cn=an2bn進行放縮求和. 解題有3個關(guān)鍵點：一是觀察結(jié)構(gòu).觀察和式的結(jié)構(gòu)特征，確定如何放縮;二是恰當(dāng)放縮求和. 對一般項進行放縮，轉(zhuǎn)化為熟悉的模型（等差、等比，可以分組，可以裂項，可以錯位相減）求和;三是往證不等式. 研究新和式中的不等關(guān)系，實現(xiàn)證明數(shù)列中不等式的目標(biāo).

4 數(shù)列中的不等關(guān)系

4.1 數(shù)列中的大小比較

數(shù)列中項或和或式子的大小比較問題，也是一種常見題型，往往運用作差、作商比較法、分類討論法處理.

例14 （2021 ·武漢段考題）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和Sn>0 （n=1，2，…）.

（Ⅰ）求q的取值范圍;（Ⅱ）設(shè)bn=an+2-32an+1，記{bn}的前n項和為Tn，試比較Sn與Tn的大小.

評析 對（Ⅰ），運用等比數(shù)列求和公式，注意對公比q的分類討論;對（Ⅱ），利用作差比較法，注意對差的符號的分類討論.解題要素是：作差、變形、討論、判號、下結(jié)論。綜合性較強，對邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)有比較高的要求[2].

4.2 數(shù)列中的不等式證明

證明數(shù)列中的不等式，是高考中一種常見的題型，放縮、裂項、累加常常是處理此類問題的有效途徑.

例15 （2020·安徽卓越縣中聯(lián)盟聯(lián)考題）在正項數(shù)列{an}中，已知a2=916，an+1=an+ann+12.

（Ⅰ） 確定數(shù)列{an}的單調(diào)性，并求出{an}中項的最小值;

（Ⅱ）證明：對任意n∈N*，都有an≤nn+1成立.

評析 本題中的遞推式an+1=an+ann+12以常見的an+1=an+f（n）為背景，但又跳出了原有模式而設(shè)置.對（Ⅰ），只要利用常見的比較an+1與an大小的方法，判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性即可;對（Ⅱ），顯然無法求出通項公式an，只能從遞推式中考慮.由于遞推式an+1=an+ann+12與以往形式不同，學(xué)生往往不知道利用放縮變形解題，知道的也難以對其正確地放縮變形，解題陷入困境，以致于絕大部分學(xué)生做不出來.其實，如果對于1n（n+1）=1n-1n+1和an+1-ananan+1=1an-1an+1比較熟悉，就可以通過放縮、裂項、累加破題.

一般地，對于形如an+1=an+f（an，n）的遞推式，可以通過an+1-an=f（an，n）來研究數(shù)列{an}的單調(diào)性和項的最值. 在無法求通項an時，往往可以通過適當(dāng)?shù)姆趴s、裂項、累加等變形和運算，確定其通項滿足的不等式，實現(xiàn)解題目標(biāo).an+1=an+f（n）是an+1=an+f（an，n）的特殊情形，此時往往能求出通項公式an.

適當(dāng)改變上述聯(lián)考題的結(jié)構(gòu)式，將an+1=an+ann+12變?yōu)閍n+1=an+an2n+12，作引申聯(lián)想，得到聯(lián)想1;將an+1=an+ann+12變?yōu)閍n+1=2an+12n-1ann+12，作引申聯(lián)想，得到聯(lián)想2[3].

聯(lián)想1 在正項數(shù)列{an}中，已知a2=109，an+1=an+an2n+12.證明：對任意n∈N，都有an≤4n3n+1成立.

聯(lián)想2 在正項數(shù)列{an}中，已知a1=1， an+1=2an+12n-1ann+12.

證明：an≤n·2nn+1（n∈N*）.

對上述聯(lián)考題作逆向思考，將結(jié)論an≤nn+1變?yōu)闂l件，條件an+1=an+ann+12變?yōu)閍n+1=an+mann+12，適當(dāng)互換題設(shè)與結(jié)論，得到聯(lián)想3[3].

聯(lián)想3 在正項數(shù)列{an}中，已知an+1=an+mann+12，且m>0. 若對任意n∈N*，都有an≤nn+1成立，有且僅有一個n，使等號成立，求{an}中項的最小值和m的值.

將上述聯(lián)考題結(jié)構(gòu)式中的“加號”變成“乘號”，即將an+1=an+ann+12變?yōu)閍n+1=an·ann+12，作類比聯(lián)想，得到聯(lián)想4[3].

聯(lián)想4 在數(shù)列{an}中，已知an>2，a1=2000，且an+1=an·ann+12. 證明： an≤2·103n（n∈N*）.

以上透視了新課程背景下高考“數(shù)列”的四大考向，數(shù)列中的公式思想、方程思想、函數(shù)思想、整體思想、分類討論思想、放縮思想等一些重要的思想方法都在上面的例題中得到了較好的體現(xiàn)，要切實把握. 學(xué)會根據(jù)問題的特征，選擇恰當(dāng)?shù)乃枷敕椒ǎ?有時候還需要幾種思想方法融為一體，共同發(fā)揮作用[1].

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

[2] 李昭平. 解數(shù)列問題要強化十種意識[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2016（12）.

[3] 李昭平. 對2020年一道數(shù)列不等式?？碱}的思考[J].教學(xué)考試（高考數(shù)學(xué)），2020（05）.

作者簡介 李昭平（1963—），安徽太湖人，中學(xué)正高級教師， 安徽省特級教師， 現(xiàn)為安徽省太湖中學(xué)副校長，安慶市數(shù)學(xué)學(xué)會副理事長;發(fā)表教育教學(xué)論文560余篇，在省內(nèi)外進行名師交流講座160多場.