近年高考概率統(tǒng)計試題分析及2022年高三復(fù)習(xí)建議

王淼生 周翔

【摘 要】 通過對近年尤其近三年高考概率與統(tǒng)計試題的分析，對比新舊版教材（人教A版）相關(guān)內(nèi)容的增減與編排次序，揭示概率與統(tǒng)計試題的命制特點(diǎn)，預(yù)測2022年高考試題的側(cè)重點(diǎn)，提出2022年高三復(fù)習(xí)與備考建議.

【關(guān)鍵詞】 試題分析;教材對比;命題特點(diǎn);復(fù)習(xí)建議

《中國高考評價體系》是一個以價值為引領(lǐng)的、系統(tǒng)的、科學(xué)的評價體系，創(chuàng)造性地提出“一核四層四翼”，借以評價與檢測考試目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的程度及考試要求達(dá)成的幅度.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將概率統(tǒng)計作為四大主線之一，凸顯概率統(tǒng)計在高中數(shù)學(xué)課程中的地位與價值.尤其2021年的全國高考試題，緊緊圍繞《中國高考評價體系》的精髓與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》要求，實(shí)現(xiàn)“知識立意”到“能力立意”再到“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”轉(zhuǎn)變，落實(shí)“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的目標(biāo).本文通過對近三年全國卷概率統(tǒng)計試題的綜述及新舊版教材的對比，預(yù)測未來命題側(cè)重點(diǎn)，為2022年高三復(fù)習(xí)備考提出一些建議.

1 近三年概率統(tǒng)計高考試題分析

1.1 全國卷概率統(tǒng)計試題綜述及分布

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，概率統(tǒng)計主要內(nèi)容包括：隨機(jī)事件與概率、隨機(jī)事件的獨(dú)立性、獲取數(shù)據(jù)的基本途徑及相關(guān)概念、抽樣、統(tǒng)計圖表、用樣本估計總體.概率統(tǒng)計（含排列組合）一直是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，一般以“二小一大”三道試題呈現(xiàn)（具體分布情況見表1）.其中，隨機(jī)變量的分布、期望、樣本分析、統(tǒng)計圖表及與其他知識的綜合交匯成為熱點(diǎn).從新高考全國卷來看，2021年Ⅰ卷以考查獨(dú)立性理解和運(yùn)用獨(dú)立性進(jìn)行決策為主，Ⅱ卷推陳出新，借助導(dǎo)數(shù)工具研究概率取值范圍，彰顯《中國高考評價體系》中“四翼”要求——學(xué)科知識的綜合性與交匯性，而舊高考模式的甲卷、乙卷，為了實(shí)現(xiàn)新舊高考順利交接，整體呈現(xiàn)文理趨同，重心向統(tǒng)計傾斜.

1.2 全國卷概率統(tǒng)計高考試題命制特點(diǎn)

（1）重視相關(guān)核心概念的辨析考查

題1 （2021·全國新高考18）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（? ）.

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立

題2 （2021·全國甲卷理10）將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（? ）.A.13?? B.25?? C.23?? D.45

評注 題1考查事件獨(dú)立性的概念，得分率較低.失分原因在于考生對獨(dú)立性概念理解不夠深刻，難以辨析獨(dú)立性概念與條件概率之間的聯(lián)系與區(qū)別.題2涉及古典概型，求解關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為兩組相同元素的排列計數(shù)問題.

（2）強(qiáng)化閱讀理解能力的考查題3 （2021·全國甲卷文2）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如圖1頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（? ）.

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

題4 （2021·全國乙卷理17）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為S21和S22.

（1）求，，S21，S22;

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果-≥2S21+S2210，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.評注 題3通過頻率分布直方圖考查考生對符號語言、圖形語言的閱讀理解能力.題4需要對表格中蘊(yùn)含的信息進(jìn)行提取、加工.考查考生對數(shù)據(jù)的分析處理能力及作出統(tǒng)計推斷的能力.（3）凸顯知識點(diǎn)的綜合性與交匯性考查

題5 （2021·全國Ⅰ卷18）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列;

（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

題6 （2021·新高考全國Ⅱ卷21）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P（x=i）=pi（i=0，1，2，3）.

（1）已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E（X）;

（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：

p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E（X）≤1時，p=1，當(dāng) E（X）>1時，p<1;

（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義.

評注 題5考查分布列、期望并通過期望作出科學(xué)決策.題6的難點(diǎn)在于信息的讀取和加工.先構(gòu)造函數(shù)f（X）=p0+p1x+p2x2+p3x3-x，發(fā)現(xiàn)f（1）=0及導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的判別式大于零（存在兩個異號根）.E（X）≤1與E（X）>1的本質(zhì)反映了導(dǎo)函數(shù)在x=1處的符號特征.再結(jié)合圖象，借助函數(shù)單調(diào)性解決問題.題6具有較強(qiáng)的綜合性與交匯性，有利于考生展示才華，落實(shí)立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)的目標(biāo).

2 概率統(tǒng)計知識在新舊版教材中的對比

概率統(tǒng)計知識已經(jīng)成為公民的必備常識.隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，統(tǒng)計與概率地位得到進(jìn)一步提升.在高三復(fù)習(xí)中，要密切關(guān)注、仔細(xì)對照新舊版本教材在內(nèi)容增減及編排次序等方面的差異.比如，最新版教材將概率統(tǒng)計作為高中數(shù)學(xué)四大主線之一，貫穿于必修、選擇性必修和選修課程之中;將數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)文化滲透在在整個高中數(shù)學(xué)之中.以人教A版為例，增加了分層隨機(jī)抽樣的樣本均值和樣本方差;百分位數(shù);樣本點(diǎn)，有限樣本空間;乘法公式，全概率公式等內(nèi)容.刪減了統(tǒng)計中的系統(tǒng)抽樣、變量的相關(guān)性;概率中的幾何概型;計數(shù)原理中的計數(shù)原理解決簡單的實(shí)際問題等內(nèi)容.降低了概率中的超幾何分布及計數(shù)原理等內(nèi)容的考查要求.調(diào)整了一些內(nèi)容的編排次序，比如對事件的獨(dú)立性與條件概率等概念，人教A版新教材將“相互獨(dú)立事件”概念安排在普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊第十章“概率”第10.2“事件的相互獨(dú)立性”中;將“條件概率”編排在普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊第七章“隨機(jī)變量及其分布”第7.1“條件概率與全概率公式”中.人教A版舊教材將獨(dú)立事件安排在條件概率之后，而人教A版新教材將獨(dú)立事件安排在條件概率之前，這是人教A版新舊教科書在“獨(dú)立事件”編排上最為顯著的變化.借此警醒一線教師對比教材、研究教材，密切關(guān)注教材內(nèi)容編排次序的變化.這正是高考命題專家命制上述題1的緣由（詳見文[1]）.3 對2022年全國高考概率統(tǒng)計的預(yù)測

預(yù)計2022年高考對概率統(tǒng)計的考查主要聚焦基本概念、基本公式的理解、應(yīng)用以及運(yùn)算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力. 考點(diǎn)主要有兩大類：一類是以排列組合、二項(xiàng)式定理、古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的概率計算問題. 另一類是以抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本數(shù)字特征、統(tǒng)計圖表、回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)為主的統(tǒng)計案例問題. 選擇題、填空題預(yù)計仍以考查核心概念為主，難度適中;解答題未必固定在第19題的位置，可能后移至20或21題，加大綜合考查力度，需要引起重視.

3.1 考查傳統(tǒng)文化背景下的樣本點(diǎn)分析

題7 （2019·全國Ⅰ理6）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，

如圖2就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是（? ）.

A.516??? B.1132

C.2132??? D.1116

評注 弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、革命文化和社會主義先進(jìn)文化是新高考落實(shí)立德樹人的重要載體.近年來以傳統(tǒng)優(yōu)秀文化為背景的概率統(tǒng)計試題屢見不鮮. 題7就是從我國古代典籍《周易》中的“卦”演變而來，需要考生認(rèn)真審題，重視閱讀，快速抓住概率實(shí)質(zhì)，準(zhǔn)確設(shè)定有限樣本空間，列出樣本點(diǎn)，運(yùn)用古典概型公式快速求解.3.2 考查時代熱點(diǎn)下的數(shù)據(jù)加工與處理能力

題8 （2018·全國Ⅰ卷理3）某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：

則下面結(jié)論中不正確的是（? ）.

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半

評注 概率統(tǒng)計源自生產(chǎn)、生活，同時又解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題.新高考尤其關(guān)注時代熱點(diǎn)，比如新農(nóng)村建設(shè)、醫(yī)療衛(wèi)生、藥品安全、環(huán)境監(jiān)測、質(zhì)量檢測等.題8就是典型的新時代新農(nóng)村經(jīng)濟(jì)建設(shè)問題，要求考生對現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與處理，從而得出結(jié)論.

3.3 考查運(yùn)算靈活性及思維敏捷性

題9 （2017·新課標(biāo)Ⅰ卷理19）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）.

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件數(shù)，求P（X≥1）及X的數(shù)學(xué)期望;

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;

（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

經(jīng)計算得=116∑16i=1xi=9.97，s=116∑16i=1（xi-）2=116（∑16i=1x2i-162）≈0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i=1，2，…，16.

用樣本平均數(shù)作為μ的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除（-3，+3）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ （精確到0.01）.

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ-3σ<Z<μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，0.008≈0.09.

評注 深入分析近年來的高考試題，不難發(fā)現(xiàn)高考對統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析和處理要求明顯提高.題9需要考生理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，借助已有數(shù)據(jù)，實(shí)施局部調(diào)整，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，優(yōu)化思維品質(zhì)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).3.4 考查獨(dú)立性檢驗(yàn)中的小概率思想

題10 （2020·全國Ⅲ文18、理18）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：

鍛煉人次空氣質(zhì)量等級??????? [0，200]（200，400]（400，600]

1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率;

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）;

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好

附：K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），

P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

評注 值得關(guān)注的是文科卷已經(jīng)連續(xù)多年考查獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，題10就是其中經(jīng)典案例之一.這類試題通過對收集數(shù)據(jù)的分類變量分析，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，輔助統(tǒng)計推斷.通常第（1）問考查頻率估計概率的思想方法，用樣本估計總體;第（2）問考查利用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法，即小概率反證法思想，屬于統(tǒng)計推斷.3.5 考查開放性情境中的科學(xué)決策能力

題11 （2018·全國卷Ⅱ理18）圖3是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖.

為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，2，…，17）建立模型①：=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，2，…，7）建立模型②：y=99+17.5t.

（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值;

（2）你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.

評注 題11是基于真實(shí)情境的開放性問題，答案并不唯一.可以從圖形（折線圖趨勢）視角，也可以從代數(shù)（計算結(jié)果）層面來判定模型②預(yù)測值更加可靠.題11賦予考生更大自主決策空間，鼓勵考生多角度地獨(dú)立解決問題，體現(xiàn)新高考命題的開放性與創(chuàng)新性. 3.6 考查分析和解決問題的綜合能力

題12 （2018·新課標(biāo)1卷理20）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0<p<1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點(diǎn)p0;

（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

（?。┤舨粚υ撓溆嘞碌漠a(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX;

（ⅱ）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

評注 題12與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識交匯，考查學(xué)科知識綜合應(yīng)用的力.需要考生構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)作為工具來確定最大值點(diǎn)p0.可以預(yù)見未來這類試題出現(xiàn)的概率較大， 凸顯中國高考評價體系中“四翼”明確提出的應(yīng)用性與綜合性.還必須指出的是，概率統(tǒng)計不等同于數(shù)學(xué)，教學(xué)中要重視培養(yǎng)統(tǒng)計意識.要求考生立足統(tǒng)計視角，借助數(shù)學(xué)工具來處理問題，這正是題12失分的主要原因，也是當(dāng)年高考后對本題爭論不休的緣由.

4 對2022年概率統(tǒng)計備考建議

4.1 重視核心概念，提升學(xué)生理解、辨析數(shù)學(xué)概念的根本能力

概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，是思維的載體，是創(chuàng)新的源泉. 數(shù)學(xué)教學(xué)中最困難、最棘手的就是概念，因此學(xué)術(shù)界將數(shù)學(xué)概念譽(yù)為“冰冷的美麗”.概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心環(huán)節(jié)，整個數(shù)學(xué)知識體系是建立在概念基礎(chǔ)之上. 長期以來，數(shù)學(xué)教師重解題技巧，輕概念生成，追求概念教學(xué)最小化和習(xí)題講解最大化，導(dǎo)致學(xué)生對概率統(tǒng)計基本概念死記硬背、機(jī)械記憶.章建躍指出，目前概念教學(xué)陷入“一個定義、二項(xiàng)注意、三個例題、N個強(qiáng)化訓(xùn)練題”怪圈，這與立德樹人背道而馳，不利于核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，制約學(xué)生能力發(fā)展，這是目前中學(xué)數(shù)學(xué)教育中最緊迫、最值得關(guān)注的課題.在概率統(tǒng)計復(fù)習(xí)中，針對核心概念（比如基本事件個數(shù)、條件概率、事件的獨(dú)立性等）要舍得花時間與精力，既要采取“正面突破”，又要輔以“事后補(bǔ)救”等策略[2]，通過正面與反面經(jīng)典案例來辨析概念，進(jìn)而鞏固概念、精致概念，悟透概念的本質(zhì)[3].

4.2 重視閱讀理解，提升學(xué)生在實(shí)際問題中抽象數(shù)學(xué)關(guān)系的建模能力

近年來，回歸分析、殘差分析等成為熱點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)，并有逐年加大考查力度的趨勢.這類試題文字篇幅較長、信息含量較大、符號圖表密集、運(yùn)算過程復(fù)雜、參考數(shù)據(jù)冗長、涉及公式較多.正如文[4]指出學(xué)生讀不懂題意是造成概率統(tǒng)計試題失分的主要原因之一，因此加強(qiáng)閱讀能力的培養(yǎng)是解決問題的關(guān)鍵.通過閱讀發(fā)現(xiàn)和提出概率統(tǒng)計問題.利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.

4.3 重視決策表述，提升學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的綜合能力

文[5]認(rèn)為基于決策提供情境而命制的情境化試題，不僅能在應(yīng)用性和綜合性上考查“四層”的相關(guān)內(nèi)容，還可以幫助學(xué)生通過相應(yīng)的情境活動堅定數(shù)學(xué)的價值認(rèn)同.比如，2017年全國Ⅰ卷理科20題概率統(tǒng)計與函數(shù)導(dǎo)數(shù)交匯、2019年全國Ⅰ卷理科概率與數(shù)列交匯、2021年全國新高考Ⅱ卷的概率與函數(shù)、方程交匯等，上述試題均對知識遷移提出較高要求.教學(xué)中要重視概率統(tǒng)計語言的準(zhǔn)確闡述，感受統(tǒng)計意義和價值，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計意識.再如，在投資收益類問題中，一般以期望作為決策的標(biāo)準(zhǔn);在沒有明確指明決策標(biāo)準(zhǔn)時，概率、期望和方差都可以作為決策依據(jù).意味著答案可能不唯一，只要言之有理都可以得分.可以預(yù)計開放式試題在高考中出現(xiàn)的頻率越來越多.

4.4 重視公式結(jié)論，提升學(xué)生在數(shù)字特征分析和應(yīng)用中的推理能力

相比于舊版教材，新版教材對一些公式、結(jié)論給出較為詳細(xì)的闡述.教師不僅要重視這些結(jié)論：E（X+Y）=E（X）+E（Y），D（X）=E（X2）-[E（X）]2，更要展示它們的推理論證過程：=∑ni=1（xi-）（yi-）∑ni=1（xi-）2=∑ni=1xiyi-n∑ni=1x2i-n2，以便考生得心應(yīng)手、運(yùn)用自如.

4.5 重視核心素養(yǎng)，提升學(xué)生在處理概率統(tǒng)計問題中的關(guān)鍵能力

統(tǒng)計是一門處理數(shù)據(jù)的科學(xué).統(tǒng)計學(xué)是研究如何收集、整理、分析數(shù)據(jù)以及由數(shù)據(jù)分析結(jié)果作出科學(xué)決策.概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的科學(xué).概率是一種度量，刻畫隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小.在解決概率統(tǒng)計問題過程中，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，形成數(shù)學(xué)的研究對象（培養(yǎng)抽象素養(yǎng)）;通過邏輯論證，促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部和諧的發(fā)展（培養(yǎng)邏輯素養(yǎng)）;通過構(gòu)建模型，構(gòu)建數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁（培養(yǎng)建模素養(yǎng)）;通過圖形、表格，將文字、圖表、數(shù)據(jù)、參考公式等融為一體（培養(yǎng)直觀素養(yǎng)）;通過優(yōu)化計算，求得運(yùn)算結(jié)果（培養(yǎng)運(yùn)算素養(yǎng)）;通過數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，作出決策（培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)）.由此可知概率統(tǒng)計問題囊括六大核心素養(yǎng)，這正是彰顯新高考導(dǎo)向下的命題理念的最佳素材.5 結(jié)束語

概率統(tǒng)計問題聚焦六大核心素養(yǎng)，是綜合考查學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察問題、用數(shù)學(xué)思維分析問題、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識解決問題的有效途徑，是全面落實(shí)立德樹人、發(fā)展素質(zhì)教育的重要載體，是優(yōu)化思維品質(zhì)、培養(yǎng)核心素養(yǎng)的經(jīng)典范例，這也正是近年來概率統(tǒng)計試題成為高考熱點(diǎn)、重點(diǎn)的緣由，更是逐年加大考查力度的依據(jù).然而，必須承認(rèn)概率統(tǒng)計是高中數(shù)學(xué)較為棘手的內(nèi)容，這也是導(dǎo)致考生心理畏懼概率統(tǒng)計試題的因素.難怪概率統(tǒng)計學(xué)家Kapadia與Borovcnik感嘆：“概率是一個難教又難學(xué)的內(nèi)容……，在概率統(tǒng)計中，無論是其非常核心的部分，還是它的概念及其比較簡單的應(yīng)用，到處都有似是而非和違背直覺的說法.”教師要努力提升自身的業(yè)務(wù)水平與專業(yè)素養(yǎng).正如文[6]警示：“通過調(diào)查研究以及收集的數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果表明，縱使是處于金字塔頂部的重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)教師，他們的概率統(tǒng)計知識儲備嚴(yán)重不足，80%以上的教師對大部分概率統(tǒng)計基本概念的認(rèn)識都處于模糊狀態(tài)，理解深度不夠，缺乏用這些概念答疑解惑的能力，影響概率統(tǒng)計知識的教學(xué)效果.”這就說明2022年及未來高考，一方面進(jìn)一步加大概率統(tǒng)計考查力度，另一方面考查難度與力度依然是一個緩慢提升的過程.如同文[7]指出，在高三復(fù)習(xí)備考過程中，教師要重視回歸教材、精致概念、強(qiáng)化閱讀、落實(shí)細(xì)節(jié)、滲透思想、培養(yǎng)素養(yǎng)等下功夫，以不變應(yīng)萬變.

參考文獻(xiàn)

[1] 王淼生.研究高考試題是倒逼教師提升專業(yè)素養(yǎng)的杠桿——以“2021年全國高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ第8題”為例[J] .中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中），2022（01）：5256.

[2] 王淼生.概念：數(shù)學(xué)教學(xué)永恒主題[M] . 廈門：廈門大學(xué)出版社，2018.

[3] 王淼生.與其滿腹困惑 不如求教專家[J] . 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2021（12）：16.

[4] 任子朝，陳昂，趙軒.加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀能力的考查展現(xiàn)邏輯思維功底[J]. 數(shù)學(xué)通報，2018（06）：813.

[5] 柯躍海.高考數(shù)學(xué)試題情境的創(chuàng)設(shè)實(shí)踐[J]. 中國考試，2020（06）：19.

[6] 李勇，章建躍，張淑梅，劉文慧.全國重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)教師概率統(tǒng)計知識儲備現(xiàn)狀調(diào)查[J].數(shù)學(xué)通報，2016（09）：19.

[7] 王淼生.統(tǒng)計試題得分低的原因及應(yīng)對策略——以“2020年福建省質(zhì)檢理科第20題”為例[J] .福建基礎(chǔ)教育研究，2020（08）：6468.

作者簡介 王淼生（1966—），男，正高級教師，特級教師，“蘇步青數(shù)學(xué)教育獎”一等獎獲得者，第六屆全國教育科學(xué)研究優(yōu)秀成果獎二等獎獲得者，“福建省基礎(chǔ)教學(xué)成果獎”特等獎獲得者，中國數(shù)學(xué)奧林匹克高級教練，福建省高層次人才，廈門市拔尖人才，廈門市首屆名師工作室領(lǐng)銜人，廈門市卓越教師，廈門市專家型教師，廈門市杰出教師.

周翔（1979—），男，高級教師，廈門市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，福建省第二屆教學(xué)技能大賽一等獎獲得者，廈門市中小學(xué)技能大賽一等獎獲得者，廈門市課堂教學(xué)創(chuàng)新大賽一等獎獲得者.